Центр масс —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31924

Два шара радиусом $30 см$ каждый касаются друг друга. На каком расстоянии (в $см$ ) от точки касания находится центр тяжести системы, если масса одного шара вдвое больше массы другого?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Пусть радиус шара равен $R$ , а расстояние от точки касания до центра масс $x$ , тогда

m1g (R − x) = m2g (R + x).

Так как $m1 = 2m2$ по условию, то

R- 2R − 2x = R + x ⇒ 3x = R ⇒ x = 3 = 10 см

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31925

Стержень длиной $0,8 м$ и шар радиусом $0,2 м$ соединены вместе, причем ось стержня и центр шара лежат на одной прямой. На каком расстоянии (в $см$ ) от середины стержня находится центр тяжести системы, если массы стержня и шара одинаковы?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Пусть опора находится в центре тяжести, то правило моментов запишется

( ) M gx = mg R + -l− x 2

Так как по условию $M = m$ , то

x = 0,2 + 0,4 − x ⇒ x = 30 см

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31926

Два однородных цилиндра соединены между собой так, что их оси лежат на одной линии. Масса одного цилиндра $3 к г$ , его длина $1 м$ . Масса второго $9 кг$ его длина $0,6 м$ . На каком расстоянии (в $см$ ) от центра большого цилиндра находится центр тяжести системы?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Пусть опора находится в центре тяжести, то правило моментов запишется

( ) m1gx = m2g l2+ l1− x 2 2

Так как $m = 3m 1 2$ , то

3x = 1(0,3 + 0,5 − x) ⇒ x = 0,2 м = 20 см

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31927

Четыре одинаковых шара массами $m1 = 1 кг$ , $m2 = 5 кг$ , $m3 = 7 к г$ и $m4 = 3 кг$ укреплены последовательно (в порядке номеров) на невесомом стержне та, что их центры находятся на оси стержня на равных расстояниях $0,2 м$ друг от друга. На каком расстоянии (в $см$ ) от центра третьего шара находится центр тяжести системы?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Пусть опора находится в центре тяжести, то правило моментов запишется

m1 (2a − x) + m2 (a − x) = m3 ⋅ x + m4 (a + x).

Или

0,4 − x + 1 − 5x = 7x + 0,6 + 3x ⇒ x = 0, 05 м = 5 см

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31928

Однородная тонкая пластина имеет форму равнобедренного треугольника с основанием $16 см$ и боковой стороной $10 см$ . На каком расстоянии (в $см$ ) от основания находится центр тяжести пластины?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Так как пластина однородная, то центр тяжести находится в точке пересечения медиан. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении $2 : 1$ (см. рис.)

Из прямоугольного треугольника $ABC$

√ -------- 3X = 102 − 82 = 6 ⇒ x = 2 см

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31929

В вершинах треугольника $ABC$ находятся соответственно массы $4$ , $6$ и $10 г$ . Стороны треугольника равны: $AB = 50 см$ , $BC = 40 см$ и $CA = 30 см$ . На каком расстояния (в $см$ ) от стороны $BC$ находится центр тяжести системы?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Стороны треугольника удовлетворяют равенству $a2 + b2 = c2$ , значит, угол $C$ – прямой. Расположим треугольник так, чтобы сторона $BC$ была вертикальная. Тогда в уравнение моментов относительно центра тяжести войдет искомое расстояние $x$ .

mAg (b − x ) − (mB + mC )gx = 0 ⇒ x = ------mAb-------= 6 см. mA + mB + mC

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#31930

В вершинах прямоугольного треугольника $ABC$ размещены соответственно массы $9 г$ , $2 г$ и $4 г$ . Катеты треугольника равны $AC = 4 см$ и $BC = 9 см$ . На каком расстояний (в $см$ ) от вершины $A$ находится центр тяжести системы?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Введем координаты так, как показано на рисунке ( $x; y$ ) – координаты центра тяжести

Тогда $x$ и $y$ равны

x = x1m1--+-x2m2-+--x3m3- = 2,4 см m1 + m2 + m3

y1m1--+-y2m2-+--y3m3- y = m + m + m = 1,2 см 1 2 3

Тогда искомое расстояние

∘ --------------------- √-- d = (x − x1 )2 + (y − y1)2 = (1,62 + 1,22) = 4 = 2 см

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#31931

В однородном шаре радиусом $28 см$ имеется шарообразная полость вдвое меньшего радиуса, касающаяся поверхности шара. На каком расстоянии (в $см$ ) от центра большого шара находится центр тяжести системы?
Черноуцан

Источники: Черноуцан

Показать ответ и решение

Масса шара пропорциональная кубу радиуса, то есть $3 m ∼ R$ , Пусть масса и радиус большего шара $M$ и $R$ , а меньшего $m$ и $r$ соответственно. Так как $R = 2r$ , то $M = 23m = 8m$ . Полость можно представить, как отрицательную массу, тогда относительно центра большего шара $O2$

M ⋅ 0 − m ⋅ r − m ⋅ r r x = ------------- = --------= − --= − 2 см M − m 8m − m 7

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31932

Найдите положение центра масс двух точек массами $m$ и $2m$ , расположенных на расстоянии $l$ друг от друга.

Показать ответ и решение

Возьмем точку отсчета в точке меньшей массы, тогда

m-⋅ 0-+-2m-⋅ l 2l x = m + 2m = 3 .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31933

Найдите положение центра масс однородного диска радиуса $R$ , из которого вырезано круглое отверстие радиуса $R ∕3$ . Центр вырезанного отверстия находится на расстоянии $R∕2$ от центра диска.

Показать ответ и решение

Центр массы будет находиться на оси симметрии, тогда его координата

m1x1--−-m2x2- Xc = m − m , 2 1

где $m1$ – масса диска, $m2$ – масса вырезанного отверстия, $x1$ и $x2$ – их положения относительно центра.
Откуда

2 0 − R--⋅ R- R-- X = -----9---2-= − 18-= − R-- c 2 R2- 8- 16 R − 9 9

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31934

Внутри однородного шара радиусом $R = 39 см$ находится сферическая полость радиусом $r = 13 см$ , касающаяся поверхности шара. На каком расстоянии от центра шара находится центр масс шара с полостью? Ответ выразить в сантиметрах.
(«Физтех», 2012, 10–11 )

Источники: Физтех, 2012, 10–11

Показать ответ и решение

Масса шара пропорциональная кубу радиуса, то есть $3 m ∼ R$ , Пусть масса и радиус большего шара $M$ и $R$ , а меньшего $m$ и $r$ соответственно. Тогда $( ) R- 3 M = r m$ . Полость можно представить, как отрицательную массу, тогда относительно центра шара шара $O$

M ⋅ − m (R − r) R − r x = ----------------= − ------3---- = 1 см M − m (R ∕r) − 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31935

Две стороны проволочной рамки, имеющей форму равностороннего треугольника, сделаны из алюминиевой проволоки, а третья — из медной вдвое большего диаметра. Плотность меди считайте в три раза большей плотности алюминия. Определите, на каком расстоянии от середины медной проволоки находится центр тяжести системы, если сторона треугольника равна $L$ .
(Всеросс., 2014, ШЭ, 10 )

Источники: Всеросс., 2014, ШЭ, 10

Показать ответ и решение

Центр тяжести алюминиевых частей находится в точке пересечения медиан:

√ -- L ∘ 3 h = 2-sin60 = -4-L

от центра медной проволокии. Общая масса алюминиевых частей равна $πd2- m = 2L 4 ρ.$ Масса медной проволоки

π(2d)2- mM = L 4 ⋅ 3ρ.

Для координаты $xC$ центра масс всей конструкции справедливо соотношение

√3-- xc(m + mM ) = m ---L. 4

Отсюда

1 √3-- √3-- x = ----------------L = ---L. 1 + (mM ∕m ) 4 28

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31936

Однородный стержень поставлен вертикально на гладкую горизонтальную поверхность и начинает движение из состояния покоя. По какой траектории будет двигаться центр стержня?

Показать ответ и решение

Вдоль поверхности на стержень не действует внешних сил, следовательно, центр масс системы движется вдоль вертикальной линии. Нижняя точка А стержня движется горизонтально без отрыва от поверхности. Положение мгновенного центра вращения (МЦВ) в произвольный момент указано на рисунке. Расстояние от точки В до МЦВ в любой момент времени равно $l∕2$ . Следовательно, МЦВ движется вдоль четверти окружности радиусом $l∕2$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31937

Составной стержень представляет собой два соосных цилиндра, прижатых друг к другу торцами. Оказалось, что центр масс такого стержня находится в стыковочном сечении. Цилиндры изготовлены из одинакового материала, но площадь сечения одного цилиндра в три раза больше площади сечения другого. Определить отношение длин цилиндров.
(МФТИ, 1984 )

Источники: МФТИ, 1984

Показать ответ и решение

Объем цилиндра равен $V = πR2L = SL,$ где $R$ - радиус окружности цилиндра, $S$ – площадь сечения, $L$ – длина цилиндра. Пусть $L1$ и $S1$ – длина и площадь сечения большего цилиндра, $L2$ и $S2$ – длина и площадь сечения меньшего цилиндра, $ρ$ – плотность материала. Так как цилиндра можно считать однородными, то центр масс каждого из цилиндров находится в геометрическом центре, то есть по середине. Найдем положение центра масс составного цилиндра относительно стыка

L1- L2- L21 L22 m1--2-+-m2--2-- S1-2-+-S2--2-- xc = m1 + m2 = S1L1 + S2L2 .

Так как по условию центр масс находится в стыке, то $xc = 0$ , откуда

S1L21 = S2L22.

По условию $S1 = 3S2$ , тогда

∘ --- -- L1- = S1-= √ 3. L2 S2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#31938

На гладком льду лежит однородная доска длиной $l = 2 м$ . К одному из концов доски привязали верёвку и стали медленно тянуть её вверх. Когда угол между доской и поверхностью льда стал равен $60∘$ , вертикально натянутая верёвка оборвалась. На какое расстояние сместится при падении доски её нижний конец?
(«Курчатов», 2014, 9–10 )

Источники: Курчатов, 2014, 9–10

Показать ответ и решение

Поскольку лёд гладкий, то нет трения, следовательно вдоль горизонтали на доску не действуют никакие силы. Значит, центр масс доски в конце падения окажется в точке, над которой он находился в начале падения. Расстояние от этой точки до нижнего края доски в начале падения $l ∘ l 2 cos60 = 4,$ в конце падения – $l 2$ , и искомое смещение равно $-l= 50 см 4$ .
(Официальное решение Курчатов)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано, что по горизонтали никакие силы не действуют	2

Сказано конечное положение центра масс относительно исходного	2

Найдено расстояние от края доски до центра масс в начале падения	2

Найдено расстояние от края доски до центра масс в конце падения	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#31939

Сидевший на корточках человек резко выпрямляется и, оттолкнувшись от пола, подпрыгивает так, что его центр тяжести поднимается на высоту $h$ , равную $3∕4$ его роста $l$ (высота отсчитывается от пола). Найдите среднюю силу, с которой человек отталкивается от пола. Центр тяжести человека, когда он стоит выпрямившись, находится на высоте $l∕2$ от пола. Перед прыжком центр тяжести человека находился на высоте $l∕4$ от пола. Масса человека $m = 75 кг$ .
(Всеросс., 1995, финал, 9 )

Источники: Всеросс., 1995, финал, 9

Показать ответ и решение

Сила реакции пола в момент толчка

N = m (g+ a)

Пусть $v$ – скорость центра тяжести в момент отрыва ног от пола, тогда ускорение

-v2- a = 2l∕4

При этом, из закона сохранения энергии следует:

l 2gl v2 = 2g(h− -) =--- 2 4

Отсюда:

a = g

Таким образом, средняя сила давления на пол равна

N = 2mg = 1500 Н

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#114003

Два шара массами $m$ и $2m,$ радиусами $2R$ и $R$ соответственно, скреплены стержнем. Найдите расстояние от центра правого шара до центра тяжести системы, если длина стержня $L.$

Показать ответ и решение

1. Наша система представляет из себя два шара разной массы, скрепленные жестким стержнем. Центр масс системы будет располагаться так, как показано на рисунке ниже (точка $C$ соответсвует положению центра масс, система отсчета выбрана так, что эта точка соответствует её началу):

Тогда воспользуемся формулой для координаты центра масс системы:

∑ xc =-∑-ximi-⇒ 0 = l1m1-+-l2m2-- mi m1 + m2

От знаменателя избавляемся и получаем полезное соотношение, которым можно пользоваться на олимпиадах без вывода:

l1 = m2- l2 m1

2. Теперь воспользуемся нашей формулой и получим ответ на вопрос задачи:

L x+ 2x = L +3R ⇒ x = R +-- 3

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#114005

От однородного стержня отрезали кусок длиной $l = 46 см.$ На сколько из-за этого сместился центр тяжести стержня?

Показать ответ и решение

Пусть $C2$ — центр масс отрезанного куска, $C1$ — центр масс оставшегося куска, а $C$ - начальный центр масс стержня. В силу того, что стержень однородный, центр масс каждого из кусков в отдельности располагается ровно в его середине.

Введем систему отсчета так, как показано на рисунке ниже, введем также линейную плотность стержня: $λ = Δm-- Δl$ .

Далее воспользуемся формулой $∑ x m xc =-∑-imii$ и вычислим координату центра масс укороченного стержня.

0⋅λL + (L+ l)∕2⋅λl 1 L + l xc = ------------------= -l⋅----- λL+ λl 2 L + l

Окончательно получаем: $x = 1l. c 2$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#114007

1) Три одинаковые массы расположены в вершинах треугольника. Где находится центр масс данной системы?
2) Где находится центр масс однородной треугольной пластины?

Показать ответ и решение

1. Удобно заменить две одинаковые массы на одну эквивалентную так, как показано на рисунке:

Понятно, что центр масс системы будет располагаться на линии, соединяющей эффективную массу $2m$ и массу $m$ . Воспользуемся известной формулой, связывающей расстояния от двух тел до центра масс системы, которую они образуют, и массы каждого из тел:

l1 2 m1l1 = m2l2 ⇒ l-= 1 2

Из уравнения ясно, что центр масс разбивает высоту треугольника в отношении $2 : 1$ , считая от вершины.

2. Разделим наш треугольник на бесконечное количество тонких полосочек. Каждую такую полоску можно воспринимать как однородный стержень, центр масс которого располагается ровно в его середине. Выходит, что центры масс каждого элемента разбиения лежат на медиане треугольника.

По аналогии можно сделать разбиение, параллельное оставшимся двум сторонам трегольника. Центры масс каждого элемента разбиения снова будут лежать на медиане. Из этих соображений нетрудно сделать вывод о том, что центр масс всей системы должен располагаться в точке пересечения всех трех медиан треугольника.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#114012

Найдите положение центра масс системы касающихся друг друга шаров (рис.). Все шары имеют одинаковый диаметр $a = 3 см,$ а их массы возрастают по закону: $m1 = m, m2 = 3m,m3 = 5m, ...,mN = (2N − 1)m,$ где $N = 500.$ Плотность каждого шара постоянна.

(Всеросс., 1997, ОЭ, 10)

Источники: Всеросс., 1997, ОЭ, 10

Показать ответ и решение

1. Введем координатную ось так, как показано на рисунке:

Воспользуемся формулой для координаты центра масс системы:

∑ xc = -∑mixi-= x1m1-+-x2m2-+-...x500m500 = 0⋅m-+-a-⋅3m--+2a-⋅5m-+-3a⋅7m-+-...499a-⋅999m- mi m1 + m2 + ...m500 m + 3m + 5m + ...999m

Перепишем в виде ряда:

∑500 ∑500 2 xc = --i=1∑(5i0−0-1)a⋅(2i−-1)m--= a--i=1∑(25i00−-2i−-i+-1) i=1(2i− 1)m i=1(2i− 1)

Воспользуемся свойством $∑ ∑ ∑ (ai + bi) = ai + bi$ и получим (для компактности записи не будем писать индексы суммирования):

∑ ∑ ∑ x = a2---i2 −∑-3-∑i+---1- c 2 i− 1

2. Посчитать слагаемые $∑ i$ и $∑ 1$ не составляет труда. В первом случае это сумма арифметической прогрессии, во втором — просто единица взятая $500$ раз. А как быть с суммированием квадратов?

Заметим следующее: при суммировании $k−$ ых степеней мы получаем в итоге многочлен $k+ 1$ ой степени относительно $n$ — это не сложно проверить как-минимум для $0$ -ых и $1$ -ых степеней.