Тема Механика. Динамика и Статика

21 Центр масс

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела механика. динамика и статика

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#114014Максимум баллов за задание: 10

В пустую цилиндрическую бочку высотой $H = 1 м,$ имеющую массу $m = 5 кг,$ наливают мед с постоянным массовым расходом $μ = 80 г/c.$ Через какое время от начала заполнения скорость центра тяжести системы «бочка-мед» окажется минимальной? Найдите скорость движения центра тяжести системы сразу после начала заполнения. Масса полной бочки с медом $M = 45 кг.$ Массой и толщиной дна бочки пренебречь.

Показать ответ и решение

1. Пусть $t−$ время от начала заполнения бочки, $h−$ уровень меда в этот момент.

Тогда масса меда в бочке:

( h {M ′ = (M − m)t- h- ( ′ ⇒ (M − m) ⋅H = μt M = μt

Центр масс бочки расположен на высоте $H 2-,$ центр масс меда в ней — на $h 2-.$

Тогда координата центра масс системы «бочка + мёд»:

m ⋅ H-+ M ′ ⋅ h m ⋅ H-+ (M − m )⋅ h-h 2 2 x = ---2-----′-2--= ---2-------------2H--= mH---+-(M-−-m-)h-- m + M m + (M − m ) h 2(mH +(M − m)h) H

Возьмем производную по h:

′ 2h⋅(M-−-m-)⋅2(mH--+-(M--−-m)h)−-(mH2--+-(M--−-m)h2)⋅2(M-−-m-) x(h) = 4(mH + (M − m )h) =

= 2h2(M-−-m-)2 +-2h(M-−-m-)⋅mH-− mH2-(M--−-m-)−-h2(M--−-m)2 = h2(M-−-m-)2-+-2h(M--−-m)mH--−-mH2-(M-−-m-) 2(mH + (M − m)h) 2(mH + (M − m )h)

Приравняем производную к $0$ :

h2(M − m )2 + 2h(M − m )mH − mH2 (M − m) = 0

(M − m)h2 +2hmHh − mH2 = 0

Положительный корень: $∘ --- h = -m---( M-− 1) H M −m m$

Такому уровню соответсвует время:

(∘ --- ) (M-−-m-)h m- M-- t0 = μH = μ m − 1 = 125 c.

2. Пусть $Δt−$ малый промежуток времени сразу после начала заполнения бочки:

μH- Δh = m Δt

Δx M − m ---= x ′(0) = −------- Δt 2m

Отсюда $| | v = ||Δx-||= μH- = 8 мм/ с. 0 |Δt | 2m$

Ответ: