Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.05 Поиск точек экстремума у функций с тригонометрией

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32146

Найдите точку максимума функции $y =(2x− 3)cosx− 2sinx + 2$ на интервале $(0;2π).$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ ′ ′ ′ y= (2x− 3)cosx+ (2x− 3)⋅(cosx) − 2(sinx) = = 2cosx − (2x − 3)sin x− 2cosx= −(2x− 3)sinx

Найдем нули производной:

⌊ ⌊x = 3 y′ = 0 ⇒ ⌈2x − 3 = 0 ⇔ |⌈ 2 sin x= 0 x = πn,n∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков, учитывая, что в промежуток $(0;2π )$ попадают нули производной $3 x= 2;π$ :

$PICT$

Следовательно, $3 x= 2$ является точкой максимума на указанном промежутке, так как в этой точке производная меняет знак с «+» на «-» при проходе слева направо.

Ответ: 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32199

Найдите точку минимума функции $y = (0,5− x)cosx+ sinx$ на интервале $( π-) 0;2 .$

Показать ответ и решение

y′ = (0,5 − x)′cosx + (0,5− x)⋅(cosx)′+ (sin x)′

y′ = − cosx− (0,5− x)sinx+ cosx= (x− 0,5)sinx

Найдем нули производной:

⌊ ⌊ ′ ⌈ x− 0,5= 0 | x= 0,5 y = 0 ⇒ sinx = 0 ⇔ ⌈ x= πn,n ∈ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков, учитывая, что на промежуток $( ) 0; π2$ попадают нуль производной $x = 0,5 :$

$PICT$

Следовательно, $x =0,5$ является точкой минимума на указанном промежутке, так как производная в этой точке меняет знак с «-» на «+» при проходе слева направо.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#40088

Найдите точку минимума функции $y = 3+ 5π − 5πx − 5√2-cosπx 4$ на отрезке $[ ] 0; 1 . 2$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ √ - y = −5π+ 5 2π sinπx

Найдем нули производной:

√ - y′ = 0 ⇒ √2sinπx= 1 ⇔ sinπx= --2 ⇔ x = 1+2n; 3+2n,n ∈ℤ 2 4 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[0; 1] 2$ попадает только нуль производной $1 x = 4$ .

$PICT$

При $[ ) x∈ 0; 14$ производная отрицательна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $x = 0$ ), при $( ] x∈ 14; 12$ производная положительна (подставляем $x= 12$ ). Следовательно, $x = 14$ — точка минимума функции $y = y(x).$

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#40089

Найдите точку максимума функции $y = 2tg πx− 4πx+ π− 3$ на отрезке $[ 1 1] − 3;3 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= 1 +k,k ∈ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 2π 1− 2cos2πx cos2πx y = cos2πx-− 4π = 2π⋅--cos2πx---= −2π ⋅cos2πx-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ cos2πx = 0 ⇔ x= 1+ 1n,n ∈ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

cosx⁄= 0 ⇔ x ⁄= 1+ k,k ∈ ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] − 13; 13$ попадают нули производной $x = − 14; 14$ .

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ возрастает на $[− 1;− 1) 3 4$ , затем убывает на $(− 1; 1) 4 4$ , затем снова возрастает на $(1 1] 4;3$ , следовательно, $1 x= − 4$ — точка максимума функции $y = y(x).$

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#40090

Найдите точку минимума функции $y = −14πx+ 7tgπx + 7π+ 11 2$ на отрезке $[ ] − 1; 1 . 3 3$

Показать ответ и решение

′ 7π 1− 2cos2πx cos2πx y = −14π+ cos2-πx = 7π ⋅-cos2πx---= −7π ⋅cos2πx-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ cos2πx = 0 ⇔ x= 1+ 1n,n ∈ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

cosx⁄= 0 ⇔ x ⁄= 1+ k,k ∈ ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] − 13; 13$ попадают нули производной $x = − 14; 14$ .

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ возрастает на $[− 1;− 1) 3 4$ , затем убывает на $(− 1; 1) 4 4$ , затем снова возрастает на $(1 1] 4;3$ , следовательно, $1 x= 4$ — точка минимума функции $y = y(x).$

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#40091

Найдите $3xmax π$ , где $xmax$ — точка максимума функции $y = 12cosx+ 6√3 ⋅x− 2√3π+ 6$ на отрезке $[ π] 0;2$ .

Показать ответ и решение

′ √ - ( √3) y = −12sinx + 6 3= − 12 sinx − 2

Найдем нули производной:

( √- ) √ - y′ = 0 ⇔ − 12 sin x− -3- = 0 ⇔ sin x= --3 2 2

$PICT$

На отрезке $[ ] 0; π2$ содержится одна точка $x = π3$ , в которой производная равна нулю. При $x∈ [0; π3)$ функция $y = y(x)$ возрастает, так как $√- sinx < 23$ , следовательно, $y′ > 0$ , а при $x∈ (π; π] 3 2$ функция убывает.

Следовательно, $π x = 3$ — точка максимума функции на отрезке $[ π] 0;2$ .

Следовательно, ответ: $1.$

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40093

Найдите точку минимума функции $y = 14πx− 7tgπx− 3,5π+ 11$ на отрезке $[1 ] 6;1 .$

Показать ответ и решение

′ 7π 2cos2πx − 1 cos2πx y = 14π− cos2-πx = 7π ⋅-cos2πx---= 7π⋅cos2πx

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ cos2πx = 0 ⇔ x= 1+ 1n,n ∈ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

cosx⁄= 0 ⇔ x ⁄= 1+ k,k ∈ ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] 16;1$ попадают нули производной $x= 14; 34$ .

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ возрастает на $[1; 1) 6 4$ , затем убывает на $(1; 3) 4 4$ , затем снова возрастает на $(3 ] 4;1$ , $3 x= 4$ — точка минимума $y =y(x).$

Ответ: 0,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40095

Найдите точку максимума функции $y = −2tgπx+ 4πx − 4π − 13$ на отрезке $[3;4].$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= 1 +πk,k ∈ℤ. 2$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 2π 2cos2 πx− 1 cos2πx y = −cos2πx + 4π =2π ⋅-cos2πx---= 2π ⋅cos2πx-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ cos2πx = 0 ⇔ x= 1+ 1n,n ∈ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

cosπx ⁄= 0 ⇔ x⁄= 1 + k,k ∈ ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[3;4]$ попадают точки $x = 143 ; 72; 154 .$

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ возрастает на $[ 13) 3;4$ , затем убывает на $(13 7) 4 ;2 ,$ затем убывает на $( ) 72; 154 ,$ затем возрастает на $( ] 154 ;4 .$ Следовательно, $x = 143$ — точка максимума функции $y = y(x).$

Ответ: 3,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#40096

Найдите сумму точек экстремума функции $y = 12sinπx− 6π√3x +√3-π+ 6$ на отрезке $[0;2].$

Показать ответ и решение

′ √- y = 12πcosπx− 6π 3

Найдем нули производной:

- ′ √-3 1 y = 0 ⇒ cosπx= 2 ⇔ x =± 6 +2n,n ∈ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[0;2]$ попадают нули $1 11 x= 6; 6$ .

$PICT$

При $[ 1) x∈ 0;6$ производная положительна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $x = 0$ ), при $( ) x∈ 16; 161$ производная отрицательна (подставляем $x = 12$ ), при $x ∈[116 ;2]$ производная положительна (подставляем $x= 2$ ). Следовательно, на отрезке $[0;2]$ точки экстремума — это $1 11- x = 6;6$ . Их сумма равна $2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#41106

Найдите точку минимума функции

y = (1− 2x)cosx+ 2sin x+ 7,

принадлежащую промежутку $( π) 0;2 .$

Показать ответ и решение

′ ′ ′ ′ y = (1− 2x) cosx+ (1 − 2x)⋅(cosx)+ 2(sinx)

′ y = − 2cosx − (1− 2x)sin x+ 2cosx= (2x − 1)sinx

Найдем нули производной:

⌊ ⌊ y′ = 0 ⇒ ⌈ 2x− 1= 0 ⇔ |⌈x= 0,5 sinx = 0 x= πn,n ∈ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков, учитывая, что в промежуток $( π) 0;2$ попадают нуль производной $x = 0,5 :$

$PICT$

Следовательно, $x= 0,5$ является точкой минимума на указанном промежутке, так как производная в этой точке меняет знак с « $−$ » на « $+$ » при проходе слева направо.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#75430

Найдите сумму двух наименьших положительных абсцисс точек экстремума функции $y = − cosx+ sinx+ x.$ Ответ округлите до целых.

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

y′ = sinx + cosx+ 1.

Приравняем производную $y′$ к нулю и найдём критические точки производной (вспомним метод вспомогательного угла и разделим всё уравнение на $√ - 2$ ):