Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Поиск наибольшего/наименьшего значения у функций с тригонометрией

Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.11 Поиск наибольшего/наименьшего значения у функций с тригонометрией

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#32217Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 16tgx− 16x+ 4π − 5$ на отрезке $[− π;π]. 4 4$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π+ πk,k∈ ℤ 2$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ 16 1 − cos2x y = cos2x-− 16 =16⋅--cos2x-

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇔ 1− cos2x =0 ⇔ cosx =±1 ⇔ x =πn,n∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

π cosx ⁄=0 ⇔ x⁄= 2 + πk,k∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] − π4;π4$ попадает только нуль производной $x = 0$ .

$PICT$

При $[ π ) x∈ −4;0$ производная положительна (для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $π x= −-6$ ), при $( π] x ∈ 0;4$ производная также положительна (подставляем $π x= 6$ ). Следовательно, функция $y = y(x)$ возрастает на всем отрезке $[ ] − π4;π4$ , значит, наибольшее значение принимает в конце отрезка, и оно равно

( ) ( ) y π = 16tg π − 16⋅ π+ 4π− 5= 16 − 4π+ 4π− 5= 11. 4 4 4

Ответ: 11

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#32218Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y =3x − 3 tg x− 5$ на отрезке $[ π-] 0; 4 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех

π x ⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ

Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

2 y′ = 3−--32--= −3⋅ 1−-co2s-x- cos x cos x

Найдем нули производной:

y′ = 0 1− cos2x= 0 cosx =±1 x= πk, k ∈ ℤ

Найдем точки, где производная не существует:

cosx ⁄= 0 ⇔ x⁄= π-+ πk, k ∈ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, в отрезок $[ π] 0;4$ попадает только нуль производной $x =0.$

$PICT$

При $x∈ [0; π4]$ производная неположительна, что устанавливается подстановкой $x = π4.$ Следовательно, функция $y = y(x)$ убывает на всем отрезке $[0; π]. 4$ Значит, наибольшее значение функция принимает в левом конце отрезка:

y (0)= 0− 3tg0− 5 =− 5

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#32219Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y =14x − 7 tgx − 3,5π+ 11$ на отрезке $[ π- π] −3 ;3 .$

Показать ответ и решение

Функция $y = y(x)$ определена при всех $π x ⁄= 2 + πk,$ $k ∈ ℤ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

7 2cos2x− 1 cos2x y′ =14 − cos2x-= 7⋅-cos2-x--= 7 ⋅cos2x-

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ cos2x =0 ⇔ x= π-+ πk, k ∈ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

π- cosx ⁄= 0 ⇔ x⁄= 2 + πk, k ∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− π3; π3]$ попадают нули производной $x = − π; π. 4 4$

$PICT$

Тогда функция $y = y(x)$ убывает на $[− π3;− π4),$ затем возрастает на $(− π4; π4),$ затем снова убывает на $(π4; π3].$ Следовательно, наибольшее значение функция принимает в одной из точек $π x =− 3$ или $π x = 4.$ Найдем значение функции в этих точках и сравним:

( π) 14π √ - 7π y − 3- = −-3- + 7 3− -2 + 11 = √ - 49π 49⋅3 = 11 +7 3− -6- <11 +7 ⋅2− -6--= = 11 +14 − 24,5= 0,5 ( π) 7π 7π y 4- = 2-− 7− -2 + 11 = 4

Тогда наибольшее значение функции на данном отрезке равно 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#32221Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = −2tgx+ 4x− π − 3$ на отрезке $[ π-π] − 3;3 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x⁄= π2 + πk,k ∈ℤ$ . Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

′ --2-- 2cos2-x−-1 cos2x- y = −cos2x +4 = 2⋅ cos2x = 2⋅ cos2x

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ cos2x= 0 ⇔ x = π-+ πn,n∈ ℤ 4 2

Найдем точки, где производная не существует:

cosx ⁄= 0 ⇔ x⁄= π-+ πk,k ∈ ℤ 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Тогда из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[ ] − π3; π3$ попадают нули производной $x = − π4; π4$ .

$PICT$

Тогда функция $y =y(x)$ убывает на $[ ) − π3;− π4$ , затем возрастает на $( ) − π4; π4$ , затем снова убывает на $( ] π4; π3$ , следовательно, наибольшее значение принимает в одной из точек $π x= − 3$ или $π x= -4$ . Найдем значение функции в этих точках и сравним:

( ) y − π = 2√3− 4π − π− 3= 2√3-− 3− 7π 3 3 3 ( π) y 4 =− 2+ π− π − 3 = −5

Так как $√ - 3< 2$ и $π >3,$ то имеем:

2√3 − 3− 7π < 4− 3− 7= −6 < −5 3

Тогда получаем, что $y = −5$ — наибольшее значение.

Ответ: -5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#32224Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $√- √- y =12sinx− 6x 3 +π 3+ 6$ на отрезке $[ π] 0;2 .$

Показать ответ и решение

Функция $y =y(x)$ определена при всех $x ∈ ℝ.$ Определим участки, на которых функция возрастает или убывает. Для этого найдем ее производную:

√- y′ = 12cosx− 6 3

Найдем нули производной:

√3 y′ =0 ⇒ cosx = -2- π- x =± 6 +2πk, k ∈ ℤ

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[0; π2]$ попадает только нуль производной $x = π. 6$

$PICT$

При $x∈ [0; π6)$ производная положительна, для проверки можно подставить в производную точку из этого промежутка $x = 0.$ При $x∈ (π; π] 6 2$ производная отрицательна, для проверки подставляем $x = π. 2$ Следовательно, функция $y = y(x)$ принимает наибольшее значение в точке $π x= 6 :$

( ) √- √ - y π- = 6− π 3+ π 3+ 6= 12 6

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#74185Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = tgx − 2x + 3π+ 6,4 2$ на отрезке $[3π 5π] 4-;4- .$

Показать ответ и решение

Найдём производную функции $y′$ :

′ --1-- --1-- y = cos2x − 2− 0+ 0= cos2x − 2.

Приравняем производную $′ y$ к нулю и найдём критические точки:

-12--− 2 = 0, cos x

1 = 2cos2x,

cosx = ±√1-, 2

$⌊ π- ⌈ x = 4 +πn,n ∈ ℤ, x= − π+ πn,n ∈ℤ. 4$

Из всех точек этой серии на отрезок $[3π4 ; 54π]$ попадают точки $34π$ и $5π4$ .

Рассмотрим значения функции в точках экстремума и на границах отрезка $[34π; 5π4-]:$

$y(3π4 )= tg(34π)− 2⋅ 3π4 + 3π + 6,4= 5,4. 2$

$(5π) (5π) 5π 3π y 4 = tg 4 − 2⋅ 4 + 2 + 6,4= − π+ 7,4 < 7,4− 3= 4,4.$

Наибольшее значение функции на отрезке равно $5,4.$

Ответ: 5,4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#137874Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 10cosx + 14x + 9$ на отрезке $[ ] 0; 3π . 2$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

′ y = −10sin x+ 14

Заметим, что производная всегда положительна, так как $−1 ≤ sinx ≤1.$ Таким образом функция всегда возрастает, а значит минимальное значение достигает на левом конце отрезка:

y(0)= 10+ 9 =19.

Ответ: 19

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#137875Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 10cosx − 14x + 5$ на отрезке $[ ] − 3π;0 . 2$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

′ y = −10sin x− 14

Заметим, что производная всегда отрицательна, так как $− 1≤ sin x≤ 1.$ Таким образом функция всегда убывает, а значит минимальное значение достигает на правом конце отрезка:

y(0)= 10+ 5 =15.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#137877Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 2cosx+ 5x+ 7$ на отрезке $[ ] 0; 3π . 2$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

′ y = −2sin x+ 5

y(0)= 2+ 7 =9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#137878Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 3cosx− 5x+ 5$ на отрезке $[ ] − 3π;0 . 2$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

′ y = −3sin x− 5

y(0)= 3+ 5 =8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#137879Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 10cosx + 36x− 6 π$ на отрезке $[ 2π ] − 3-;0 .$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

′ 36 y =− 10sinx + π

( ) ( ) ( ) y − 2π = 10 ⋅ − 1 + 36 ⋅ − 2π − 6= 3 2 π 3 = −5− 24− 6= −35.

Ответ: -35

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#137880Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 12cosx + 45x− 4 π$ на отрезке $[ 2π ] − 3-;0 .$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

′ 45 y =− 12sinx + π

( ) ( ) ( ) y − 2π = 12 ⋅ − 1 + 45 ⋅ − 2π − 4= 3 2 π 3 = −6− 30− 4= −40.

Ответ: -40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#137881Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 10 sinx− 36x + 7 π$ на отрезке $[ 5π ] − 6-;0 .$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

′ 36 y = 10cosx− π

Заметим, что производная всегда отрицательна, так как $− 1≤ cosx≤ 1.$ Таким образом функция всегда убывает, а значит максимальное значение достигает на левом конце отрезка: