Тема 2. Таблицы истинности

2.01 Составление таблицы истинности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела таблицы истинности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#7076Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

-------- (x-→ y) ∧ (z → y)

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых $F = 1.$

Показать ответ и решение

Решение программой

count = 0
for x in range(2):
    for y in range(2):
        for z in range(2):
            if (((not(x)) <= (not(y))) and not(z <= y)):
                count += 1
            # count += (((not(x)) <= (not(y))) and not(z <= y))
print(count)

Решение ручками

|---|--|--|---| |x |y |z |F | |---|--|--|---| |0--|0-|0-|0--| |0--|0-|1-|1--| |0--|1-|0-|0--| |0 |1 |1 |0 | |---|--|--|---| |1--|0-|0-|0--| |1--|0-|1-|1--| |1--|1-|0-|0--| |1 |1 |1 |0 | --------------

Функция будет истинной в том случае, когда обе скобки будут истинны. Вторая скобка будет истинна при $z = 1, y = 0.$ В таком случае $x$ может быть равен как $0$ , так и $1$ . При этом первая скобка будет тоже истинна. Следовательно $F = 1$ во второй и шестой строчках. Всего $2$ таких строчек.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#16292Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(a → (b∧ c))∧ (b → c)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений $c$ , при которых $F = 1$ .

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |a |b |c |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|1-| |0-|0-|1-|1-| |0 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|1-| |1-|0-|0-|0-| |1 |0 |1 |0 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|0-| -1--1--1--1--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Заметим, что функция истинна, когда обе скобки истинны.

2. Первая скобка ложна, когда $a = 1,$ а хотя бы одна из переменных $b$ , $c$ равна $0$ . Используя этот факт отметим, что пятая, шестая и седьмая строчки таблицы истинности принимают значение 0.

3. Вторая скобка ложна, когда $b = 1$ ; $c = 0$ . Следовательно, третья строчка принимает значение $0$ .

4. Значит в остальных строчках таблицы истинности функция истинна.

В таком случае сумма значений $c$ равна $3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#16293Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ∨y) → (x ≡ z)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений $z$ , при которых $F = 0$ .

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|1-| |0-|0-|1-|1-| |0 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|1-| |1-|0-|0-|1-| |1 |0 |1 |0 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|1-| -1--1--1--0--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Импликация ложна в том случае, если первая скобка принимает значение $1$ , а вторая значение $0$ . Следовательно, для этого $x = z$ . Этому условию подходят первая, третья, шестая и восьмая строчки.

2. Для истинности первой скобки хотя бы одна из переменных $x,y$ должна быть равна $1$ . Используя этот факт, мы оставляем третью, шестую и восьмую строчки. Именно в этих строчках $F = 0$ .

3. Посчитаем сумму значений $z$ , при которых $F = 0$ . Получим ответ $2$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#16296Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ∧y) ≡ (x ∨y-∨ z)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений $x$ , при которых $F = 0$ .

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|0-| |0-|0-|1-|0-| |0 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|1-| |1-|0-|0-|1-| |1 |0 |1 |1 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|0-| -1--1--1--0--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Поймём для начала, когда эквивалентность будет истинна. На основе этого найдём, когда будет ложна. Можно понять, что $F = 1$ , если $x = 1, y = 0$ . Значит $F = 1$ на пятой и шестой строчке таблицы истинности. В этом случае обе скобки примут значение $1$ .

2. Обе скобки будут ложными, а эквивалентность истинна только тогда, когда $x = 0, y = 1, z = 1$ (этот вывод можно сделать исходя из второй скобки). При этих же значениях переменных первая скобка будет тоже ложна, а значит, эквивалентность будет истинна. То есть четвёртая строка тоже даст $F = 1$ .

3. Следовательно, наборы переменных в остальных строчках дадут нам $F = 0$ . Посчитаем сумму значений $x$ и получим ответ $2$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#16297Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ≡ (y-∨z))∧ (x → y)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых $F = 1$ .

Показать ответ и решение

Решение программой

print(’x y z’)
for x in [0, 1]:
    for y in [0, 1]:
        for z in [0, 1]:
            f = (x == ((not y) or z)) and (x <= (not y))
            if f == 1:
                print(x, y, z)

Решение аналитически

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|0-| |0-|0-|1-|0-| |0 |1 |0 |1 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|0-| |1-|0-|0-|1-| |1 |0 |1 |1 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|0-| -1--1--1--0--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Конъюнкция будет равна истинна, если каждая из скобок будет истинна. Обратим внимание на вторую скобку. Если $x = 1, y = 1,$ то $F = 0.$ Следовательно, в седьмой и восьмой строчках $F = 0$ .

2. В первой скобке если $x = 1$ , то $(y∨ z) = 1$ , Причём $(y∨ z) = 0$ тогда, когда $z = 0, y = 1$ (в этом случае $F = 0$ , это седьмая строчка). Если $x = 0$ , то $(y∨ z) = 0$ . Причём $(y∨ z) = 1$ тогда, когда $z = 1, y = 0,$ либо $z = 1, y = 1,$ либо $z = 0, y = 0$ . Таким образом, в первой, второй и четвёртой строчках $F = 0$ . Следовательно, в третьей, пятой и шестой строчках $F = 1$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#16300Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ∧y ∧z)∨ (z ∧ x)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых $F = 0.$

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|0-| |0-|0-|1-|1-| |0 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|1-| |1-|0-|0-|0-| |1 |0 |1 |0 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|1-| -1--1--1--0--

В таблице $23 = 8$ строк.

Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одна из скобок истинна. Первая скобка истинна при $x = 1, y = 1, z = 0,$ поэтому в седьмой строке $F = 1.$ Вторая скобка истинна при $z = 1, x = 0,$ значит, во второй и четвертой строках $F = 1.$ Тогда в первой, третьей, пятой, шестой, восьмой строках $F = 0.$

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#16303Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x-∧y) ≡ z$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых $F = 1.$

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|1-| |0-|0-|1-|0-| |0 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|1-| |1-|0-|0-|1-| |1 |0 |1 |0 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|1-| -1--1--1--0--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Если $z = 1,$ то и конъюнкция должна быть истинна. То есть $y = 1, x = 0.$ Следовательно, в четвёртой строке $F = 1.$

2. Если $z = 0,$ то $F = 1$ в любых комбинациях $x,y$ кроме той, когда $x = 0, y = 1.$ Значит первая, пятая и седьмая строки дают нам $F = 1.$ Суммарно $4$ строки, в которых $F = 1.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#16710Максимум баллов за задание: 1

Сколько существует наборов значений логических переменных $x,y,z,w$ , что функция

(x → (y → (z → w ))) ∧(w → (z → (y → x)))

на них ложна?

Показать ответ и решение

1. Конъюнкция ложна, когда хотя бы один из операндов ложный.

2. Оба операнда — импликации. Рассмотрим левую импликацию:

$(x → (y → (z → w )))$

Она ложна, когда $x = 1$ , $(y → (z → w)) = 0$

Это выражение, в свою очередь, ложно, когда $y = 1$ , а $(z → w) = 0$ , то есть когда $z = 1$ , а $w = 0$ .

Таким образом, левый операнд нашей конъюнкции ложный при наборе $x = y = z = 1$ , $w = 0$

Аналогично, правый операнд ложный при наборе $x = 0$ , $y = z = w = 1$

Заметим, что это два разных набора, на каждом из которых конъюнкция ложна.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#16711Максимум баллов за задание: 1

Сколько существует наборов значений логических переменных $x,y,z,w$ , что функция

(x → (y → (z → w ))) ∧(w → (z → (y → x)))

на них истинна?

Показать ответ и решение

Всего существует $24 = 16$ наборов значений логических переменных $x,y,z,w$ (так как каждая из них может принимать по два значения — $0$ и $1$ ). На двух наборах наша функция ложна (см. $1$ задачу), значит на остальных $14$ она истинна.

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#16712Максимум баллов за задание: 1

Петя начал изучать алгеру логики и решил составить таблицу истинности следующего выражения:

$F = ¯x ∨y ∨ (¯z ∧x¯)$

Так как Петя только изучает АЛ, он сделал несколько ошибок. Сколько их?

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |0-|0-|0-|1-| |--|--|--|--| |0-|0-|1-|0-| |0 |1 |0 |1 | |0-|1-|1-|1-| |--|--|--|--| |1-|0-|0-|0-| |1 |0 |1 |1 | |1-|1-|0-|0-| |--|--|--|--| -1--1--1--0--

Показать ответ и решение

Чтобы проверить Петю, тоже составим таблицу истинности. Давайте посмотрим, когда наша функция ложна. Мы имеем несколько дизъюнкций, которые ложны, когда ее операнды ложны. То есть, $x¯= 0$ , $y = 0$ , $¯z ∧x¯= 0$

Имеем: $x = 1$ , $y = 0$ , $¯z ∧ 0 = 0$ , то есть $z$ может быть любым.

Значит, в таблице истинности должны стоять нули только в строках $100$ и $101$ .

|--|--|--|--| |x-|y-|z-|F-| |0-|0-|0-|1-| |0 |0 |1 |1 | |--|--|--|--| |0-|1-|0-|1-| |0-|1-|1-|1-| |1 |0 |0 |0 | |--|--|--|--| |1-|0-|1-|0-| |1-|1-|0-|1-| |1 |1 |1 |1 | -------------

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#16714Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

-- (x ∧ y) ≡ z

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите сумму значений $z$ , при которых $F = 0$ .

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|1-| |0-|0-|1-|0-| |0 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|1-| |1-|0-|0-|1-| |1 |0 |1 |0 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|1-| -1--1--1--0--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Если $z = 1,$ то $F = 1$ , когда конъюнкция истинна. То есть при $y = 1, x = 0.$ Значит, $F$ ложна на остальных $3$ наборах.

2. Если $z = 0$ , то каким бы не было $F$ , сумму $z$ это не изменит.

Ответ: 3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#21437Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ≡ y) ≡ (y ≡ z)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых $F = 0.$

Показать ответ и решение

Решение программой

print(’x y z f’)
for x in [0, 1]:
    for y in [0, 1]:
        for z in [0, 1]:
            f = (x == (not y)) == (y == (not z))
            print(x, y, z, f)

Решение аналитически

|--|--|--|--| |x-|y-|z-|F-| |0 |0 |0 |1 | |--|--|--|--| |0-|0-|1-|0-| |0-|1-|0-|1-| |0 |1 |1 |0 | |--|--|--|--| |1-|0-|0-|0-| |1-|0-|1-|1-| |1 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| -1--1--1--1--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. $F = 0$ в случае, когда одна скобка будет истинна, а вторая ложна. Разберем случай, когда первая скобка истинна. Тогда $x, y$ принимают разные значения. Тогда вторая скобка должна быть ложна. И там уже $y, z$ принимают одинаковые значения. Этому условию удовлетворяют четвёртая, пятая строки.

2. Разберём случай, когда вторая скобка истинна, а первая ложна. Первая скобка ложна в случае одинаковых значений переменных $x, y.$ Вторая скобка истинна в том случае, если $y, z$ имеют разные значения. Этому условию удовлетворяют вторая и седьмая строки. Таким образом, всего четыре строки, в которых $F = 0.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#21439Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ∧y)∨ ((y ≡ z) ≡ x)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых $F = 0.$

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|1-| |0-|0-|1-|0-| |0 |1 |0 |0 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|1-| |1-|0-|0-|0-| |1 |0 |1 |1 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|1-| -1--1--1--1--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. Дизъюнкция ложна тогда, когда обе скобки ложные. Если $x = 1,$ то $y = 0$ (следует из первой скобки). Тогда из второй скобки следует, что $z = 0$ (чтобы эквивалентность была ложной). Значит в пятой строчке $F = 0.$

2. Если $x = 0,$ то $y = 0,$ либо $y = 1.$ В первом случае для ложности эквивалентности $z = 1,$ во втором случае $z = 0.$ Таким образом, вторая и третья строчки дают нам $F = 0.$ Суммарно таких строк $3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#29020Максимум баллов за задание: 1

Логическая функция $F$ задаётся выражением:

$(x ≡ y) ≡ (y ≡ z)$

Составьте таблицу истинности. В качестве ответа введите количество строк, в которых $F = 0.$

Показать ответ и решение

|--|--|--|--| |x |y |z |F | |--|--|--|--| |0-|0-|0-|1-| |0-|0-|1-|0-| |0 |1 |0 |1 | |--|--|--|--| |0-|1-|1-|0-| |1-|0-|0-|0-| |1 |0 |1 |1 | |--|--|--|--| |1-|1-|0-|0-| -1--1--1--1--

В таблице $23 = 8$ строк.

1. $F = 0$ в случае, когда одна скобка будет истинна, а вторая ложна. Разберем случай, когда первая скобка истинна. Тогда $x,y$ принимают разные значения. Тогда вторая скобка должна быть ложна. И там уже $y,z$ принимают одинаковые значения. Этому условию удовлетворяют четвёртая, пятая строки.

2. Разберём случай, когда вторая скобка истинна, а первая ложна. Первая скобка ложна в случае одинаковых значений переменных $x,y.$ Вторая скобка истинна в том случае, если $y,z$ имеют разные значения. Этому условию удовлетворяют вторая и седьмая строки. Таким образом, всего четыре строки, в которых $F = 0.$