Тема 5. Задачи на теорию вероятностей

5.02 Умножение вероятностей вдоль цепочки событий

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на теорию вероятностей

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#74202Максимум баллов за задание: 1

Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью $0,92.$ Если пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью $0,015.$ Известно, что $7%$ пациентов, поступающих с подозрением на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет положительным.

Показать ответ и решение

Пусть всего поступают в клинику $x$ человек. Тогда человек либо болен гепатитом и у него положительный тест, либо он здоров, но тест у него ложноположительный. Тогда вероятность первого события равна

0,07⋅0,92 =0,0644,

второго —

(1− 0,07)⋅0,015 = 0,01395,

а их сумма равна

0,0644 +0,01395 = 0,07835.

Ответ: 0,07835

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#75170Максимум баллов за задание: 1

Однажды после долгого и сложного вебинара Андрей Николаевич приехал в Великий Устюг, чтобы расслабиться и сыграть в шахматы с Дедом Морозом. Матч состоит из двух партий, по окончании первой соперники меняются цветом фигур. Вероятность того, что АН победит белыми равна $0,76.$ Вероятность того, что АН победит чёрными равна $0,8.$ Найдите вероятность того, что Дед Мороз проиграет обе партии.

Показать ответ и решение

В условии не уточняется то, каким цветов фигур оппоненты начинают игру, значит введём переменные:

Пусть $x$ — вероятность того, что АН первую партию будет играть белыми, тогда $(1 − x)$ — вероятность того, что АН первую партию будет играть черными.

Рассмотрим два варианта:

1. АН начинает белыми:

P (П олная побед а А Н бел -чёр) = x ⋅0,76 ⋅0,8 = 0,608x

2. АН начинает черными:

P (Полная побед а А Н чёр- бел) = (1 − x )⋅0,8⋅0,76 = 0,608− 0,608x.

Нас утроит оба исхода, причем события выше являются несовместными, значит, ответ:

P(П олная победа АН ) = P(П обеда бел-чёр) + P(Победа чёр- бел),

P(П олная победа АН ) = 0,608x + 0,608 − 0,608x = 0,608.

Ответ: 0,608

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#75423Максимум баллов за задание: 1

Паша, Маша и Миша играют в «Камень, ножницы, бумага». Паша точно знает, что выберет Маша. Маша точно знает, что выберет Миша. Порядок проведения раундов определяется жеребьёвкой, ничья невозможна. Найдите вероятность того, что в первом раунде выиграет мальчик. Ответ округлите до сотых.

Показать ответ и решение

Заметим, что в первом раунде возможны только следующие варианты противостояния:

1. Паш а VS М аш а,

2. М аш а VS М иш а,

3. Миш а VS Паш а.

Рассмотрим каждый вариант по отдельности.

1. По условию Паша точно знает, что выберет Маша, значит, он точно выиграет в раунде с ней.

2. По условию Маша точно знает, что выберет Миша, значит, она точно выиграет в раунде с ним.

3. И Миша, и Паша — мальчики, следовательно, в раунде с участием этих ребят в любом случае победит мальчик.

Таким образом (помним, что раз за выбор противников в первом раунде отвечает жеребьёвка, то у каждого варианта противостояния из трёх равные шансы быть осуществлённым в первом раунде):

P(В первом раунде выиграет мальчик) = P(В игре Паши против Маши победит Паша) +
P(В игре Маши против Миши победит Миша) +
P(В игре Миши против Паши победит Паша или Миша).

P = 1⋅1 + 1⋅0 + 1⋅1 = 2 ≈ 0,67. 3 3 3 3

Ответ: 0,67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#89266Максимум баллов за задание: 1

Биатлонист три раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что биатлонист попал в мишени не менее двух раз.

Показать ответ и решение

Рассмотрим все возможные исходы в рамках данного условия ( $∗$ — попадание, $∘$ — промах):

1. $∘,∘,∘$

2. $∘,∘,∗$

3. $∘,∗,∘$

4. $∘,∗,∗$

5. $∗,∘,∘$

6. $∗,∘,∗$

7. $∗,∗,∘$

8. $∗,∗,∗$

Нас устроят исходы с номерами 4, 6, 7 и 8. Найдём вероятность наступления каждого из них. Для этого нам понадобится вероятность промаха: $P (промах)= 1− 0,6= 0,4.$

Тогда имеем:

P(исход номер 4)= 0,4⋅0,6⋅0,6= 0,144.

P(исход номер 6)= 0,6⋅0,4⋅0,6= 0,144.

P(исход номер 7)= 0,6⋅0,6⋅0,4= 0,144.

P(исход номер 8)= 0,6⋅0,6⋅0,6= 0,216.

Таким образом, искомая вероятность равна

P(попадёт не менее 2 раз)= 0,144 +0,144+ 0,144+ 0,216= 0,648.

Ответ: 0,648

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#90759Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Источники: Банк ФИПИ | ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,8,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,8= 0,2.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок попал в первую, а последние три раза промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,8 ⋅0,2⋅0,2 ⋅0,2= 0,0064.

Ответ: 0,0064

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#137595Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7 . Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,7,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,7= 0,3.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок первые 2 раза попал, а остальные 2 раза промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,7⋅0,7⋅0,3⋅0,3= 0,0441

Ответ: 0,0441

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#137596Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,8,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,8= 0,2.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок первые 3 раза попал, а последний раз промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,8⋅0,8⋅0,8⋅0,2= 0,1024

Ответ: 0,1024

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#137597Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,9,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,9= 0,1.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок первый раз попал, а остальные 3 раза промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,9⋅0,1⋅0,1⋅0,1= 0,0009

Ответ: 0,0009

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#137598Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени и не попадёт в последнюю.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,9,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,9= 0,1.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок первые 3 раза попал, а последний раз промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,9⋅0,9⋅0,9⋅0,1= 0,0729

Ответ: 0,0729

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#137599Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,6,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,6= 0,4.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок первые 2 раза попал, а остальные 2 раза промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,6⋅0,6⋅0,4⋅0,4= 0,0576

Ответ: 0,0576

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#137600Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,7,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,7= 0,3.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок первый раз попал, а остальные 3 раза промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,7⋅0,3⋅0,3⋅0,3= 0,0189

Ответ: 0,0189

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#137601Максимум баллов за задание: 1

Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени и не попадёт в две последние.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Вероятность попадания равна $0,9,$ тогда вероятность промаха равна $1 − 0,9= 0,1.$ Так как нас интересует исход, когда стрелок первые 2 раза попал, а остальные 2 раза промахнулся, то искомая вероятность будет равна

0,9⋅0,9⋅0,1⋅0,1= 0,0081

Ответ: 0,0081

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#70231Максимум баллов за задание: 1

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,2. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Каждая лампа независимо от другой перегорает с вероятностью 0,2. Значит вероятность перегорания всех ламп равна:

0,2⋅0,2 ⋅0,2= 0,008

Заметим, что событие «не перегорит хотя бы одна лампа» и событие «перегорят все лампы» противоположные, то есть в сумме дают 1. Значит искомая вероятность равна:

1− 0,008 = 0,992.

Ответ: 0,992

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#137603Максимум баллов за задание: 1

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Каждая лампа независимо от другой перегорает с вероятностью 0,8. Значит вероятность перегорания всех ламп равна:

0,8⋅0,8 ⋅0,8= 0,512

1− 0,512 = 0,488.

Ответ: 0,488

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#137604Максимум баллов за задание: 1

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Каждая лампа независимо от другой перегорает с вероятностью 0,4. Значит вероятность перегорания всех ламп равна:

0,4⋅0,4 ⋅0,4= 0,064

1− 0,064 = 0,936.

Ответ: 0,936

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#137605Максимум баллов за задание: 1

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,9. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Каждая лампа независимо от другой перегорает с вероятностью 0,9. Значит вероятность перегорания всех ламп равна:

0,9⋅0,9 ⋅0,9= 0,729

1− 0,729 = 0,271.

Ответ: 0,271

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#137606Максимум баллов за задание: 1

Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Каждая лампа независимо от другой перегорает с вероятностью 0,7. Значит вероятность перегорания всех ламп равна:

0,7⋅0,7 ⋅0,7= 0,343

1− 0,343 = 0,657.

Ответ: 0,657

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#17015Максимум баллов за задание: 1

В коробке лежат 11 синих, 6 красных и 8 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры?

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Из всех возможных элементарных исходов нам подходят два:

сначала взяли синий (С), затем красный (К): $(С; К );$
сначала взяли красный (К), затем синий (С): $(К; С ).$

Нарисуем дерево, которое отражает процесс выбора двух фломастеров. При этом изобразим только интересующие нас ветви.

$122212СККС15656414$

Всего фломастеров $11+ 6+ 8= 25.$ Вероятность первым взять синий фломастер равна $11. 25$ Вероятность взять красный при условии, что один синий уже взят, равна $6 24,$ потому что из оставшихся 24 фломастеров 6 красных. Тогда вероятность цепочки равна

P(С;К )= 11⋅-6 = 0,11. 25 24

Вероятность первым взять красный равна $-6, 25$ так как мы выбираем фломастеры равновероятно. Вероятность взять синий при условии, что один красный уже взят, равна $11 24,$ потому что из оставшихся 24 фломастеров ровно 11 синих. Тогда вероятность цепочки равна

P(К;С )= 6-⋅ 11 = 0,11. 25 24

Складываем вероятности этих элементарных исходов:

0,11 + 0,11= 0,22

Таким образом, вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры равна 0,22.

Ответ: 0,22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#137607Максимум баллов за задание: 1

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Из всех возможных элементарных исходов нам подходят два:

сначала взяли синий (С), затем красный (К): $(С; К );$
сначала взяли красный (К), затем синий (С): $(К; С ).$

$2222СККС55959454$

Всего фломастеров $5+ 9+ 11= 25.$ Вероятность первым взять синий фломастер равна $5-. 25$ Вероятность взять красный при условии, что один синий уже взят, равна $9 24,$ потому что из оставшихся 24 фломастеров 9 красных. Тогда вероятность цепочки равна

P(С;К)= -5 ⋅ 9-= 0,075. 25 24

Вероятность первым взять красный равна $-9, 25$ так как мы выбираем фломастеры равновероятно. Вероятность взять синий при условии, что один красный уже взят, равна $-5 24,$ потому что из оставшихся 24 фломастеров ровно 5 синих. Тогда вероятность цепочки равна

P(К;С)= -9 ⋅ 5-= 0,075. 25 24

Складываем вероятности этих элементарных исходов:

0,075 + 0,075= 0,15

Таким образом, вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры равна 0,15.

Ответ: 0,15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#137608Максимум баллов за задание: 1

В коробке 6 синих, 9 красных и 10 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Из всех возможных элементарных исходов нам подходят два:

сначала взяли синий (С), затем красный (К): $(С; К );$
сначала взяли красный (К), затем синий (С): $(К; С ).$

$2222СККС65959464$

Всего фломастеров $6+ 9+ 10= 25.$ Вероятность первым взять синий фломастер равна $6-. 25$ Вероятность взять красный при условии, что один синий уже взят, равна $9 24,$ потому что из оставшихся 24 фломастеров 9 красных. Тогда вероятность цепочки равна

P(С;К )= 6-⋅-9 = 0,09. 25 24

Вероятность первым взять красный равна $-9, 25$ так как мы выбираем фломастеры равновероятно. Вероятность взять синий при условии, что один красный уже взят, равна $-6 24,$ потому что из оставшихся 24 фломастеров ровно 6 синих. Тогда вероятность цепочки равна

P(К;С )= 9-⋅-6 = 0,09. 25 24

Складываем вероятности этих элементарных исходов:

0,09 + 0,09= 0,18

Таким образом, вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры равна 0,18.

Ответ: 0,18