Тема 6. Решение уравнений

6.10 Задачи повышенного уровня сложности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#91316Максимум баллов за задание: 1

Найдите целочисленные решения уравнения $x2− 5x− |x − 4|+ 1= 0.$

Показать ответ и решение

Раскроем модуль:

{ 2 x2 − 5x − (x − 4)+ 1, если x − 4≥ 0 x − 5x− |x − 4|+ 1= x2 − 5x +(x − 4)+ 1, если x − 4< 0

Тогда при $x≥ 4$ уравнение примет вид

2 x − 5x − (x− 4)+ 1= 0 x2− 5x− x+ 4+ 1 =0 x2− 6x+ 5= 0 2 D = 36 − 4 ⋅5= 16= 4 x1,2 = 6±-4 2 x1 = 5 x2 = 1 — не соответствует условию x≥ 4

Таким образом, $x = 5$ — целочисленное решение уравнения.

Рассмотрим случай $x < 4:$

x2− 5x+ x− 4+ 1 =0 x2− 4x− 3= 0 ( √-)2 D = 16+ 4 ⋅3 = 28= 2 7 √- x1,2 = 4±-2-7- √- 2 x1 =2 + 7 — не соответствует условию x< 4 x2 = 2− √7

$√ - x= 2 − 7$ не является целочисленным решением, поэтому ответ: $x = 5.$

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#91317Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $√----- x+ 3 x− 3− 13 =0.$

Показать ответ и решение

Преобразуем левую часть уравнения:

x+ 3√x-− 3-− 13 = (x − 3)+ 3√x-−-3− 10= (√x−-3)2+ 3√x-− 3-− 10.

Пусть $√x-−-3= t≥ 0.$ Тогда

(√----)2 √----- 2 x − 3 + 3 x − 3− 10= t +3t− 10.

Значит, имеем уравнение

2 t + 3t− 10 =0 (t+ 5[)(t− 2)= 0 t= −5 t= 2

Заметим, что $t≥ 0,$ поэтому $t =2.$ Тогда

√----- x − 3 = 2 x− 3= 4 x =7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#126495Максимум баллов за задание: 1

Найдите все отрицательные значения $k,$ при которых прямая $y = kx$ пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

{x − 4, если x ≥3 y = 2− x, если x < 3

Показать ответ и решение

При $x =3$ имеем $y = −1$ , то есть $A(−3;1)$ — место сгиба ломаной. Изобразим график ломаной:

$PIC$

Прямая $y = kx$ проходит через начало координат $O$ и находится во II и IV четвертях. Изменяя $k$ от $− ∞$ до $0$ прямая $y =kx$ вращается против часовой стрелки. Вращая так прямую, находим граничное положение прямой: $y1$ , которая проходит через точку $A$ и имеет с ломаной одну общую точку. Двигаясь дальше против часовой стрелки, все получаемые прямые уже будут иметь две общие точки с ломаной вплоть до прямой $y2 = 0$ (все прямые, находящиеся в области, обозначенной розовым цветом).

Так как $A ∈y1$ , то $− 1= k⋅x$ , откуда $k = − 1 3$ , следовательно, $y1 = − 1x 3$ .

Значит, ответ: $k ∈ (− 1;0). 3$

Ответ:

$( ) k ∈ − 1;0 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#126496Максимум баллов за задание: 1

Постройте график функции $y = f(x),$ где

(| x+-6- ||{− 2 , если x≤ −2 f(x)= |− 2, если − 2< x < 2 ||(− x+-2, если x≥ 2 2

Найдите значение функции при $x = −20.$

Показать ответ и решение

Будем строить прямые, найдя по две точки, принадлежащие этим прямым.

Для $x+6 y1 = − 2$ , $x ≤ −2$ имеем $y1(−6)= 0$ , $y1(− 2)= −2$ .

Для $y2 = −2$ , $− 2< x< 2$ имеем отрезок с концами в $A (− 2;− 2)$ и $B (2;−2)$ .

Для $y3 = − x+22$ , $x ≥ 2$ имеем $y3(2)= − 2$ , $y3(4)= −3$ .

Тогда график функции $y = f(x)$ выглядит следующим образом:

$PIC$

$f(−20)= y1(− 20)= 7$ .

Ответ: 7

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#126497Максимум баллов за задание: 1

Постройте график функции

(| 2,5x− 1, если x< 2, { y = |( −3,5x + 11, если 2≤ x≤ 3, x− 2,5, если x> 3,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110yyyyy = = = = = m0m4m,,,,5m0m,<5><04,m5< 4$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 0,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m = 0,5,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $0,5< m < 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно три точки пересечения с графиком.
Если $m = 4,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m > 4,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно в двух точках. Тогда нам подходят $m = 0,5$ и $m = 4.$

Ответ:

$m ∈ {0,5; 4}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#126498Максимум баллов за задание: 1

Постройте график функции

{ 1 y = 2x− 1, если x ≥ 4, −x+ 5, если x< 4,

и определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110yyy = = = m1m,, mm <> 11$

$y = m$ — множество горизонтальных прямых. Начнем перебирать значения $m$ с $− ∞.$

Если $m < 1,$ то прямая $y = m$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $m = 1,$ то прямая $y =m$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $m > 1,$ то прямая $y = m$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $m,$ при которых прямая $y = m$ пересекает график ровно одной точке. Тогда нам подходит $m = 1.$

Ответ:

$m = 1$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#126499Максимум баллов за задание: 1

Найдите все положительные значения $k,$ при которых прямая $y = kx$ пересекает в двух точках ломаную, заданную условиями:

(| −2x− 5, если x < −3, y = { 1, если − 3 ≤x ≤ 3, |( 2x− 5, если x >3.

Показать ответ и решение

Построим график функции.

$xy110$

$y = kx, k > 0$ — множество прямых, проходящих через точку $(0,0),$ при этом их графики лежать только в 1 и 3 четвертях. Начнем перебирать значения $k$ с $0.$

Если $0< k < 1, 3$ то прямая $y = kx$ не имеет точек пересечения с графиком.
Если $k = 13,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.
Если $1 3 < k < 2,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно две точки пересечения с графиком.
Если $m ≥ 2,$ то прямая $y = kx$ имеет ровно одну точку пересечения с графиком.

По условию на нужно найти такие значения $k,$ при которых прямая $y = kx$ пересекает график ровно в двух точках. Тогда нам подходит $(1 ) k ∈ 3;2 .$

Ответ:

$( ) k ∈ 1;2 3$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#126500Максимум баллов за задание: 1

График функции состоит из двух лучей и отрезка (см. рисунок). Задайте функцию формулами.

$xy110−5−−423$

Показать ответ и решение

На интервале $(− ∞;− 2]$ график является частью прямой, проходящей через точки $(− 4;0)$ и $(−2;−3).$ Подставим эти точки в общее уравнение прямой $y = kx+ b$ , чтобы записать уравнение интересующей нас:

{0 = −4k+ b, − 3= −2k+ b.

Вычтем из первого уравнения второе, получим:

3 3= −2k ⇔ k = −2.

Подставим найденное значение $k$ в первое уравнение и найдем $b:$

( ) 0= −4 ⋅ − 3 + b ⇔ b= −6. 2

Таким образом, при $x≤ − 2$ график функции описывается уравнением $y = −1,5x − 6.$

На отрезке $(−2; 0]$ график является частью прямой, проходящей через точки $(− 2;− 3)$ и $(0;0).$ Последнее значит, что коэффициент $b$ равен 0. Подставим точку $(− 2;− 3)$ в общее уравнение прямой $y = kx+ 0= kx,$ чтобы записать уравнение интересующей нас:

−3 = −2k ⇔ k = 1,5.

Таким образом, при $− 2< x ≤0$ график функции описывается уравнением $y = 1,5x.$

Наконец на положительном направлении оси абсцисс $x> 0$ график является частью прямой, проходящей через точки $(0;0)$ и $(5;− 2).$ Прямая проходит через начало координат, значит, коэффициент $b= 0.$ Подставим точку $(5;−2)$ в общее уравнение прямой $y = kx+ 0= kx,$ чтобы записать уравнение интересующей нас:

−2 = 5k ⇔ k = −0,4.

Таким образом, при $x> 0$ график функции описывается уравнением $y = −0,4x.$

Ответ:

$( |{−1,5x− 6, если x≤ −2, y = 1,5x, если − 2 < x≤ 0, |(−0,4x, если x > 0.$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#375Максимум баллов за задание: 1

Найдите сумму корней уравнения, если известно, что все они различны.

1 3 2 2 πx − πx − 2π + πx = 0

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx+ d = 0$ сумма его корней (при учёте того, что все они различны) равна $b − a,$ тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно

2 2 π − -π1 = --⋅--= 2 − π π 1

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#376Максимум баллов за задание: 1

Найдите значение выражения

x1x2-+-x1x3 +-x2x3 x1x2x3 ,

где $x1,$ $x2,$ $x3$ – различные корни уравнения $x3 − 10x2 − 225x + 2250 = 0.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx+ d = 0$ отношение $c a$ равно значению выражения $x1x2 +x2x3 + x3x1,$ где $x1,$ $x2,$ $x3$ – корни этого уравнения (при учёте того, что все они различны), тогда значение выражения $x1x2 + x2x3 + x3x1$ для исходного уравнения равно

− 225 --1--= − 225

По теореме Виета для уравнения третьей степени $ax3 + bx2 + cx+ d = 0$ произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно $− da$ , тогда произведение $x1x2x3$ корней рассматриваемого уравнения равно

− 2250= − 2250 1

В итоге

x1x2 +-x1x3 +-x2x3-=-− 225-= 0,1 x1x2x3 − 2250

Ответ: 0,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#2711Максимум баллов за задание: 1

Найдите произведение корней уравнения, если известно, что все они различны.

3 2 2 2 11π+ πx + (− 11π+ 1 − π )x + (− 11+ 11π − π )x = 0

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx + d = 0$ произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно $d − --, a$ тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно

− 11π-= − 11 π

Ответ: -11

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#2177Максимум баллов за задание: 1

Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь многочлена с целыми коэффициентами. Антон придумал себе уравнение

∘ -2------- ∘ ----2----------- x − 0,5x − 0,5x + 0,5x + 0,5 = 0

Сколько алгебраических корней у этого уравнения?

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 2 x − 02,5x ≥ 0 0,5x + 0,5x+ 0,5 ≥ 0

Исходное уравнение равносильно уравнению

∘ -2------- ∘ ----2----------- x − 0,5x = 0,5x + 0,5x+ 0,5

Так как левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, то уравнение, получающееся из данного возведением в квадрат левой и правой частей, равносильно исходному на ОДЗ.

x2 − 0,5x = 0,5x2 +0,5x + 0,5 ⇔ x2 − 2x − 1 = 0

Таким образом, всякое решение исходного уравнения является корнем многочлена $x2 − 2x− 1,$ следовательно, всякое решение исходного уравнения будет алгебраическим.

Решениями последнего уравнения будут $1± √2.$ Прямой проверкой убеждаемся, что оба корня подходят по ОДЗ. Например, для $x = 1− √2 :$

√- √- √ - x2 − 0,5x = 1 − 2 2+ 2 − 0,5 + 0,5 2 = 2,5 − 1,5 2 > 2,5 − 1,5 ⋅1,5 = 0,25 ≥ 0 2 √- √- √- 0,5x + 0,5x + 0,5 = 0,5(1− 2 2 + 2)+ 0,5− 0,5 2 +0,5 = 2,5− 1,5 2 ≥ 0

Таким образом, у исходного уравнения два алгебраических корня.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#2183Максимум баллов за задание: 1

Сколько корней имеет данное уравнение?

∘--4---3---2------- ∘ -3----2------- x + x + x + x + 1+ x + 3x + x + 1 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 4 3 2 x3 + x +2 x + x + 1 ≥ 0 x + 3x + x+ 1 ≥ 0

Так как при любом $a ≥ 0$ имеем $√ -- a ≥ 0,$ то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда

{√ -4---3----2------- √ x-+-x--+-x-+-x+ 1 = 0 x3 + 3x2 + x+ 1 = 0 ,

что равносильно

{ x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 x3 + 3x2 + x+ 1 = 0.

Из второго уравнения получаем:

3 2 2 3 2 2 x + x +3x + x+ 1 = 0 ⇔ x + x + x+ 1 = − 2x

Подставляя это в первое уравнение, находим:

√ - √ - x4 − 2x2 = 0 ⇔ x2(x − 2)(x + 2) = 0

Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа $0,$ $√- 2,$ $√ - − 2.$

Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при $√ - x = − 2 :$

√- √- √ - x4 + x3 + x2 + x + 1 = 4 − 2 2+ 2 − 2 + 1 = 7− 3 2 ⁄= 0

В итоге, ответ: 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#1465Максимум баллов за задание: 1

Найдите корень уравнения $√1-(√11π)−2−6x = (√11)−2−6x. π$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ:

Разделим левую и правую часть уравнения на $√ -- ( 11)−2−6x :$

1 (√-)−2−6x √π- π = 1 (√--)−2−6x (√--)1 π = π

Последнее уравнение имеет стандартный вид и равносильно $− 2 − 6x = 1,$ что равносильно $x= − 0,5$ — подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#120804Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $|x − 2|+ 3x= |x− 5|+ 18.$

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

|x − 2|+ 3x =|x− 5|+ 18 |x− 2|+ 3x− |x − 5|− 18= 0

Найдем нули модулей:

1. $|x − 2|= 0 ⇔ x = 2;$

2. $|x − 5|= 0 ⇔ x = 5.$

Раскроем модули:

( |{(x− 2)+ 3x− (x− 5)− 18, если x≥ 5 |x− 2|+3x − |x− 5|− 18 = (x− 2)+ 3x+ (x− 5)− 18, если 2≤ x< 5 |(− (x − 2)+ 3x+ (x− 5)− 18, если x <2

Рассмотрим случай $x ≥ 5:$

x − 2+ 3x− x+ 5− 18= 0 3x =15 x =5

Рассмотрим случай $2 ≤ x< 5:$

x − 2+ 3x+ x− 5− 18= 0 5x =25 x = 5 — не соответствует условию 2≤ x< 5

Рассмотрим случай $x < 2:$

−x +2 +3x +x − 5− 18 = 0 3x =21 x= 7 — не соответствует условию x <2

Таким образом, $x = 5$ — единственный корень уравнения.

Ответ: 5

Критерии оценки

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#120803Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $|1− x|+ 4x= |x|+ 15.$

Показать ответ и решение

Так как $|1− x|= |x − 1|,$ то можем преобразовать уравнение

|1− x|+ 4x= |x|+ 15 |x − 1|+ 4x− |x|− 15 =0

Найдем нули модулей:

1. $|x − 1|= 0 ⇔ x = 1;$

2. $|x|= 0 ⇔ x = 0.$

Раскроем модули:

( |{(x− 1)+ 4x− x− 15, если x ≥ 1 |x− 1|+4x − |x|− 15 = − (x − 1)+ 4x− x − 15, если 0≤ x< 1 |(− (x − 1)+ 4x+ x − 15, если x< 0

Рассмотрим случай $x ≥ 1:$

x− 1+ 4x− x − 15 =0 4x =16 x =4

Рассмотрим случай $0 ≤ x< 1:$

− x+ 1+ 4x− x− 15= 0 2x =14 x = 7 — не соответствует условию 0≤ x< 1

Рассмотрим случай $x < 0:$

− x+ 1+ 4x+ x− 15= 0 4x =14 x = 14 4 x = 3,5 — не соответствует условию x< 0

Значит, решением уравнения является $x= 4.$

Ответ: 4

Критерии оценки

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#126502Максимум баллов за задание: 1

Постройте график функции

(| x− 2,5 при x < 2, { y = |( −x +1,5 при 2 ≤x ≤ 3, x− 5 при x > 3.

Определите, при каких значениях $m$ прямая $y = m$ имеет с графиком ровно две общие точки.

Источники: Банк ФИПИ; Сборник И.В. Ященко 2024, Вариант 13

Показать ответ и решение

Графиком каждой из трех линейных функций $y = x− 2,5,$ $y = −x +1,5$ и $y = x− 5$ является прямая.

Составим таблицу для функции $y = x− 2,5 :$

-x---0-----2--- -y--−2,5--−0,5--

Составим таблицу для функции $y = −x +1,5:$

-x---2-----3--- -y--−0,5--−1,5--

Составим таблицу для функции $y = x− 5:$

|x-|-3--|4--| -y--−-2--−1-

Отмечаем полученные точки на координатной плоскости и строим график функции. При $x = 3$ график исходной функции терпит разрыв, $(3;−2)$ — выколотая точка, $(3;− 1,5)$ — закрашенная точка, $(2;− 0,5)$ — точка стыка.

$110xy−−−−−123421012,5,5,5$

Изобразим положения горизонтальной прямой $y = m,$ при которых она имеет с графиком этой функции ровно две общие точки:

$110xy−123y(1y(2y(31=)=)=) −−−210,5,5$

Нам подходят все положения между 1 и 2, не включая 1 и 2, а также положение 3.

Положение 1: прямая $y =m$ проходит через выколотую точку $(3;−2),$ значит, $m = −2.$

Положение 2: прямая $y =m$ проходит через точку $(3;− 1,5),$ значит, $m = − 1,5.$

Положение 3: прямая $y = m$ проходит через точку стыка $(2;− 0,5),$ значит, $m = − 0,5.$

Следовательно,

m ∈ (−2;−1,5)∪ {−0,5} .

Ответ:

$m ∈ (−2;−1,5)∪ {−0,5}$

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

График построен верно, верно найдены искомые значения параметра	2

График построен верно, но искомые значения параметра найдены неверно или не найдены	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2