Планиметрия на ОММО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
длины сторон равны 
, 
и 
. Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек 
внутри
треугольника 
, для которых выполняется условие 
Источники:
Подсказка 1
Расстояния между точками удобно считать, когда есть система координат. Как было бы удобно расположить наш треугольник в декартовой системе координат?
Подсказка 2
Заметим, что высота, проведенная к стороне длины 4, равна целочисленному числу, поэтому удобно ввести систему координат так, чтобы Оу было вдоль этой высоты, а Ох — вдоль упомянутой стороны треугольника. Тогда координаты вершин треугольника принимают целочисленные значения.
Подсказка 3
Пусть (x; y) — координаты X. Тогда выражение XA² + XB² + XC² можно представить как сумму двух квадратов с некоторыми коэффициентами, что очень напоминает уравнение окружности с центром в (x; y). А так как нам дано неравенство, то наша фигура в X — это круг! Останется лишь показать, что все его точки лежат внутри △ABC.
Первое решение. Обозначим 
.
Докажем утверждение, известное как теорема Лейбница в геометрии. Пусть 
- точка пересечения медиан треугольника 
.
Представим
тогда
Поскольку 
центр тяжести треугольника 
, то
и
С учётом доказанной выше теоремы задача эквивалентна
то есть неравенство сводится к
Итак, геометрическим местом точек 
, удовлетворяющих поставленному условию, является круг радиуса 
с
центром в точке пересечения медиан треугольника 
.
Этот круг принадлежит треугольнику, если его радиус не больше, чем одна треть наименьшей из высот 
:
Значит, при выполнении условия
искомая площадь равна 
. По формуле Герона найдем площадь треугольника:
Вычислим
Поскольку 
, условие 
выполняется:
Значит, ответ: 
.
Второе решение. Высота треугольника, проведенная к стороне длины 
, равна 
. Основание высоты делит эту сторону на отрезки,
равные 
и 
. Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда 
.
Перепишем неравенство
так:
Оно определяет круг радиуса 
с центром в точке 
. Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику
. Для этого найдем расстояния от точки 
до сторон треугольника. Уравнение стороны 
, расстояние до неё
равно 
. Уравнение стороны 
, расстояние 
. И
расстояние от точки 
до стороны 
равно, очевидно, 
. Наименышее из расстояний 
, тем не менее, больше,
чем радиус круга 
. Поэтому весь круг и является той фигурой, площадь которой требуется найти, откуда
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
