Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите сумму
Подсказка 1
Нужно выделить целую часть в каждой дроби, для этого надо как-то поработать с знаменателями. Смотрите: 1*3 = 2²-1, а, например, 5*7=6²-1. Найдем ли мы такие знаменатели в числителях?
Подсказка 2
Да запросто: в каждой дроби числитель получился на единичку больше, чем знаменатель. Дробей, как четных чисел от единицы до сотни, ровно 100/2 = 50, значит, в нашем выражении выделяется целая часть 50, а также остаются дроби с числителями, равными 1. Теперь остается обработать только эти дроби.
Подсказка 3
Вернем знаменатели дробей к первоначальному виду и подумаем, как можно представить дробь вида 1/(k*(k+2)) через дроби со знаменателями k и k+2. Сначала, наверное, будет легче поработать с дробью 2/(k*(k+2)), а потом результат разделить на 2. Тогда и сработает телескоп :)
Для начала давайте в каждой дроби выделим целую часть:
Отдельно сложим целые части, получим 50. Осталось посчитать оставшиеся дроби. Заметим, что
поэтому после умножения всех дробей на 2 их сумму можно представить как
Тогда сумма исходных дробей равна
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
