Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Тема Тождественные преобразования

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81373

Для каждого натурального числа $n$ положим

-(−3)n-- p(n)= 3n+ 317

Вычислите сумму

p(1)+ p(2)+ ...+p(33)

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда у нас есть такая вот телескопическая сумма, то что мы обычно любим делать? Либо преобразовывать каждый элемент, либо брать их по группам и говорить, что в каждой группе сумма хорошая. Но обычно группы из двух чисел. Какие тогда два числа мы обычно берем из таких сумм?

Подсказка 2

Сумма первого и последнего равна (-1)^n. А может быть, так работает и для суммы k-ого с начала и k-ого с конца? Проверьте это и запишите ответ.

Показать ответ и решение

Заметим, что для $1≤ n≤ 17$

-(−3)n-- -(−-3)34−n-- -(−1)n-- (−1)n317−n n p(n)+p(34 − n)= 3n+ 317 + 334−n+ 317 = 1+ 317−n + 1+ 317−n =(−1)

Тогда

(−1)17 − 1 p(1)+ p(2)+ ...+ p(33)= (− 1)1+ (− 1)2+ ...(−1)16+ --2-- =-2-

Ответ:

$− 1 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#82698

Упростите выражение (в ответе не должно быть многоточия и знаков суммирования):

( 2)( 3 6) ( 9 18) ( 3n 2⋅3n) 1 +3+ 3 ⋅1+ 3 + 3 ⋅ 1+ 3 +3 ⋅...⋅1 +3 + 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что 1 + 3 + 3² = 1 + 3 * 1 + 3². Это очень похоже на одну формулу сокращенного умножения. Может, попробовать ее применить?

Подсказка 2

Вспомним формулу (a - b)(a² + ab + b²) = a³ + b³. Начнем с первой скобки. Для нее a = 3, b = 1. Умножим и разделим наше выражение на (3 - 1). Тогда (3 - 1)(3² + 3 + 1) = 3³ + 1³. А можно ли как-то приспособить полученное для следующих множителей?

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

3 3 2 2 a − b = (a − b)(a + ab+b )

Умножим и разделим наше выражение на $2= (3− 1)$

2 3 6 9 18 3n 2⋅3n 3−-1 2 3 6 3n 2⋅3n (1+3 +3 )(1+ 3 + 3)(1 +3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )= 2 (1+ 3+ 3)(1+3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )

По формуле, приведённой выше, имеем

3− 1 n n 1 n n -2--(1 +3+ 32)(1+ 33+36)...(1+33 + 32⋅3 )= 2(33− 1)(1+ 33 +36)...(1+33 + 32⋅3 )

Заметим, что каждую следующую тоже можно будет свернуть. Например, после второго применения формулы получится

1 (33− 1)(1+ 33 +36)...(1 +33n + 32⋅3n)= 1(39− 1)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n) 2 2

Аналогичным образом свернем все скобки и получим

(1+ 3+ 32)(1+33+ 36)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n)= 1(33n+1 − 1) 2

Ответ:

$1 (33n+1 − 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#83299

На плоскости нарисовано 300 прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной - на гиперболе $y = 3x+5 x$ в точках с абсциссой $x= n,n= 1,2,3,...,300$ , со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найти площадь $D$ .

Источники: Росатом - 2024, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По своей сути задача геометрическая, а самая важная часть геометрической задачи – рисунок. Постройте график функции f(x) = 3 + 5/x и обозначенные прямоугольники. А теперь посмотрите, что за площади нас просят найти.

Подсказка 2

Каждый прямоугольник будет иметь вверху прямоугольную часть, которая принадлежит только ему. Как можно вычислить её площадь?

Подсказка 3

Как произведение сторон прямоугольника! У него одна сторона равна единице, а вторая разности значений функции в соседних натуральных аргументах. Только вот рассмотрите отдельно последний прямоугольник: у него одна из сторон лежит просто на оси абсцисс.

Подсказка 4

Остаётся только записать и вычислить сумму всех площадей. Поверьте, она удобно сворачивается!

Показать ответ и решение

Обозначим $3+ 5 x$ через $f(x)$ .

У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой $f(n)− f(n +1)$ (если считать $f(301)= 0$ , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)

Поэтому сумма площадей таких областей равна

f(1)− f(2)+f(2)− f(3)+...+ f(299)− f(300)+f(300)− 0= f(1)= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#85545

Определим

-(2x− 1)6x- f(x)= 22x−1+ 32x−1.

Вычислите сумму

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (2023) f 2024- +f 2024- + f 2024 + ...+ f 2024

Показать ответ и решение

Заметим, что

(2− 2x−-1)61−x (2x-− 1)61−x-⋅62x−1 f(1− x)= 21−2x+ 31− 2x =− 22x−1 +32x−1 = −f(x)

Тогда в нашем выражении все слагаемые, кроме $(1012) f 2024 ,$ разбиваются на пары с суммой $0.$ При этом также понятно, что

( ) ( ) ( ) f 12001224 =f 12 =− f 12 ,

откуда $f(12001224) =0,$ и вся сумма равна нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#88066

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать сумму тангенсов. На что намекают их аргументы?

Подсказка 2

Если разделить тангенсы на пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее, то сумма аргументов будет 45. Какую формулу тогда нужно применить?

Подсказка 3

Формулу суммы тангенсов! Количество дробей намекает на то, что можно доказать, что каждая из них меньше 1 (дробей 22).

Подсказка 4

В знаменателе можно применить формулу произведения косинусов. Тогда один из них будет всегда равен половине числителя.

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#88710

Величина $z$ является корнем уравнения

5 4 x + x = 1

Вычислить величину $S = ∏ ∞n=0 (1 +z2n)=$

= (1 +z)(1+z2)(1+ z4)(1+ z8)(1+ z16)⋅...

Источники: САММАТ - 2024, 11.8 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похоже выражение, которое надо найти? С чем ассоциируются скобки такого вида?

Подсказка 2

С разностью квадратов! А какой скобки не хватает?

Подсказка 3

(1 - z). Значит, мы ищем (1 - z)S/(1 - z). Попробуем преобразовать

Подсказка 4

После преобразований числителя он станет равным 1 - z^(2^(N + 1)). В таком случае хотелось бы узнать что-то про z… как мы можем понять, в каком интервале он лежит?

Подсказка 5

Исследуем функцию x^5 + x^4 - 1. В этом нам поможет производная ;) Теперь мы сможем найти, где функция меняет знак, и понять, к чему стремится нужная нам дробь при N, стремящемся к бесконечности.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=x5+ x4− 1$ . Её производная $5x4+4x3 = x3(5x+ 4)$ имеет на отрезке $(−∞;0]$ корни $0$ и $− 4. 5$ При $x≤ 0$ максимальное значение функции равно $4 4 4 4 f(−5)= (−5)(−5 +1)− 1< 0,$ а при $x ≥0$ функция монотонно возрастает, поэтому может иметь не более одного пересечения с осью абсцисс. Заметим, что $f(0)=− 1,f(1) =1,$ поэтому по теореме о промежуточном значении корень находится на интервале $(0;1).$

Значит, величина $z ∈ (0;1).$ А в искомой величине произведение $N$ первых множителей равно

2 2N (1+z)(1+z2)...(1+z2N)= (1−-z)(1+-z)(1+z-)...(1+-z-) = 1− z

1−-z2N+1- =/многократно применяем формулу разности квадратов/= 1− z

При $N → ∞$ числитель стремится к единице, поэтому искомая величина равна $-1- 1−z$ .

Ответ:

$--1- 1 − z$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92258

Вычислите сумму

-11-- --11--- ----11---- -----11------ 1+2 + 1+2 +3 +1 +2+ 3+ 4 + ...+ 1+ 2+...+10.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какую закономерность можно заметить в знаменателях у слагаемых суммы? Можно ли её посчитать?

Подсказка 2

Знаменатель каждого из слагаемых представляет собой сумму членов арифметической прогрессии! Попробуйте расписать ее для произвольного k-го слагаемого

Подсказка 3

Полученная дробь разбивается на разность двух более простых дробей. (Разбиение нетрудно подобрать руками, но можно его найти и через метод неопределенных коэффициентов)

Подсказка 4

Благополучно почти все дроби сократятся! Остается посчитать разность двух дробей

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии каждый знаменатель имеет вид $1+ ...+ k= k(k+1). 2$ Отсюда получаем, что каждое слагаемое можно представить в виде

22 k +1− k ( 1 1 ) k(k+-1) =22-k(k+-1) =22 k − k+-1

Тогда искомая сумма равна

( ) 22 1 − 1+ 1− 1+ ...+ -1− -1 = 2 3 3 4 10 11

( ) = 22 1− -1 = 11− 2= 9 2 11

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#94036

Докажите тождество

(n−-1)n(n+-1) 1 ⋅2 +2⋅3+ ...+ (n − 1)⋅n= 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такие тождества удобно доказывать по индукции. База очевидна. Будем полагать, что при n = p утверждение верно. Как свести доказываемое утверждение при n = p+1 к предположению индукции?

Подсказка 2

Верно! Сумма, в которой последнее слагаемое получается при n = p + 1 содержит в себе сумму всех слагаемых для n = p. Как тогда применить предположение?

Показать доказательство

Первое решение. Попробуем телескопировать эту сумму. Для этого надо выразить $k(k+ 1)$ как разность двух выражений, похожих на то, что должно получиться в ответе. Заметим, что $k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1) k(k+ 1)= 3 .$ Тогда

n∑−1 n∑−1 k(k+ 1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (n−-1)n(n+-1) k=1 3k=1 3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. При $n= 2$ в левой части получаем $1⋅2,$ а в правой $1⋅2⋅3 =2, 3$ так что равенство выполнено. Предположим, что равенство верно при $n= p,$ то есть

p∑−1 p−∑1 k(k +1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (p−-1)p(p-+1) k=1 3k=1 3

Тогда при $n= p+ 1$ имеем

p∑ p∑−1 k(k+ 1) = 1 (k(k +1)(k +2)− (k − 1)k(k+ 1))+ p(p +1)= (p−-1)p(p-+1)+ p(p+ 1) k=1 3 k=1 3

после вынесения за скобки $p(p +1)$ и преобразований получается

(p−-1)p(p+-1) p−-1+-3 p(p-+1)(p+-2) 3 +p(p+1)= p(p +1) 3 = 3

Шаг индукции доказан. Значит, утверждение задачи выполнено при любых натуральных $n ≥2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#94166

Вычислите разность сумм

2 2 2 2 (1⋅3+ 3⋅5+ 5⋅7+ ...+99⋅101)− (2 +4 + 6 + ...+100 )

Показать ответ и решение

Заметим, что слагаемые из первой и второй скобки можно разбить в пары вида $(2k− 1)(2k+ 1)$ и $4k2.$ Разность в каждой паре равна

2 2 2 (2k− 1)(2k+1)− 4k = 4k − 1− 4k =− 1

Раз всего таких пар $50,$ то исходная разность равна $− 50.$

Ответ:

$− 50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#94375

Найдите сумму

--1-- --2-- --3-- ---1010---- 12⋅32 + 32⋅52 + 52⋅72 + ...+ 20192⋅20212.

Показать ответ и решение

Заметим, что

--1---- --1---- 4k2-+4k+-1−-4k2-+4k−-1 ------8k------ (2k− 1)2 − (2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2

Используем это и преобразуем исходную сумму

( ) 8 ⋅ -21-2 +-222-+ -32-2-+...+---10210--2 = 8 1 ⋅3 3 ⋅5 5 ⋅7 2019 ⋅2021

( ) = 1⋅ -1− -1 +-1 −-1 +...+ --1--− -1--- 8 12 32 32 52 20192 20212

Получаем телескопическую сумму, все члены этой суммы, кроме первого и последнего уходят, значит, она равна

1( 1 ) 2020⋅2022 8 1− 20212 = -8⋅20212-.

Ответ:

$2020⋅2022 8⋅20212$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#41771

Вычислите сумму

1- 2- 2022 2! + 3! +...+ 2023!

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таком виде посчитать сумму тяжеловато. Давайте представим каждое слагаемое как разность двух чисел, чтобы получить телескопическую сумму. Слагаемые имеют вид n/(n+1)!.

Подсказка 2

n / (n+1)! можно представить, как разность 1/n! - 1/(n+1)!. Получилась телескопическая сумма, которую легко посчитать. Каким же будет ответ на задачу?

Показать ответ и решение

Как в задаче такого сорта на телескопические суммы, попробуем разложить каждое слагаемое на разность двух дробей:

--n--- n-+1−-1 -1 ---1-- (n+ 1)! = (n +1)! =n! − (n+ 1)!

Получены разности дробей, зависящих от соседних индексов, откуда сумма немедленно сворачивается как труба телескопа:

1-−-1+ 1-− 1-+...+--1- −--1- = 1− -1-- 1! 2! 2! 3! 2022! 2023! 2023!

Ответ:

$1−--1- 2023!$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#49784

Найдите сумму

∑n 1 arctgk2+-k+-1 k=0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим сумму, а значит, нам надо представить наши выражения как разность, чтобы почти всё сократилось. Давайте рассмотрим дробь в общем виде. Её знаменатель можно записать как k(k+1) + 1, а числитель (k+1) - k. Где вы могли видеть похожее выражение в формулах по тригонометрии?

Показать ответ и решение

Из известного тождества $tg(x− y)= tgx−-tgy- 1+tgxtgy$ следует формула $arctgx− arctg y = arctg( x−y-). 1+xy$ Тогда для любого $k$ справедливо:

1 ( (k +1)− k ) arctg(1+-k+-k2)=arctg 1+-k⋅(k+-1) = arctg(k +1)− arctg(k)

Поэтому сумма из условия равна

(arctg1− arctg0)+ (arctg2− arctg1)+...+(arctg(n+ 1)− arctgn)= arctg(n +1)

Ответ:

$arctg(n+ 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69825

Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа, такие что несократимая дробь представима в виде суммы

a 1 1 1 -1- 1-- b = 1− 2 +3 − 4 + ...− 118 + 119

Докажите, что число $a$ делится на 179.

Источники: САММАТ-2023, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Считать знакопеременную сумму явно не нужно. Заметим, что с минусами у нас стоят дроби с чётным знаменателем. Что стоит добавить и одновременно вычесть из суммы, чтобы все минусы ушли?

Подсказка 2

Будем вычитать и добавлять те дроби, в которых есть минус. Например, -1/2 = 1/2 - 2 * (1/2) = 1/2 - 1, -1/4 = 1/4 - 2*(1/4) = 1/4 - 1/2, -1/6 = 1/6 - 1/3 и так далее. Какая в итоге получится сумма?

Подсказка 3

Конечно, все слагаемые вплоть до 1/59 взаимоуничтожаются, и остаётся сумма от 1/60 до 1/119. Вновь посчитать её явно не выйдет, поэтому воспользуемся приемом - разобьём все дроби(их 60 штук) на пары. Как это будет сделать удобнее всего?

Подсказка 4

Будем брать первое с начала и первое с конца, второе с начала и второе с конца, и т.д. Тогда сумма в каждой паре будет иметь вид 1/(59+k) + 1/(120-k), что равно 179/(59+k)(120-k). Почему в результате сокращения и приведения к общему знаменателю знаменатель всегда будет оставаться кратным 179?

Показать доказательство

a 1 1 1 -1- -1- b =1− 2 + 3 − 4 + ...− 118 + 119 =

1 1 1 1 1 ( 1 1 1 ) = 1+ 2 + 3 + 4 + ...+ 118-+ 119-− 2 2 + 4 + ...+ 118 =

( ) = 1+ 1+ 1 + 1+ ...+ 1--+-1- − 1+ 1+ ...+ 1- = 2 3 4 118 119 1 2 59

1- 1- 1- -1- 1-- = 60 + 61 + 62 + ...+ 118 + 119

В сумме 60 слагаемых, разбиваем их на пары

--1--+ --1---= -----179------ 59+ k 120 − k (59+ k)(120− k)

для любого $k$ от 1 до 30.

a = ---179⋅30---- b 60 ⋅61⋅...⋅119

Так как 179 простое, то получившаяся дробь после сокращения все равно будет иметь в числителе множитель 179 , а значит утверждение доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#75158

Вычислите сумму

∑n k (k+-1)! k=0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем сначала сумму в привычном нам виде для наглядности. Наша главная цель, чтобы в результате каких-то преобразований и суммирования почти все слагаемые сократились. Подумайте, как бы хорошо было представить каждую дробь в виде разности дробей.

Подсказка 2

Понятно, что скорее всего удобно представить разность со знаменателями вида k! и (k+1)!, потому что тогда слагаемые как раз нужным образом сократятся. Теперь попробуйте угадать или посчитать методом неопределённых коэффициентов числители дробей.

Подсказка 3

Ага, в итоге, у вас получатся разности вида 1/k! - 1/(k+1)!. Теперь осталось только сократить слагаемые и получить ответ. Победа!

Показать ответ и решение

Раскроем нашу сумму:

0- 1- 2- --n--- 1! + 2! + 3! + ...+ (n+ 1)!

Заметим, что:

--k---= 1-− --1--- (k+1)! k! (k +1)!

Тогда мы можем представить каждое наше слагаемое как разность:

(1-− 1) + (1-− 1) +( 1-−-1)+ ...+ (-1− ---1--) 0! 1! 1! 2! 2! 3! n! (n+ 1)!

Тогда в нашей сумме уничтожатся все слагаемые, кроме первого и последнего, в итоге получим:

1 1 1 0! − (n+-1)! = 1− (n+-1)!

Ответ:

$1−---1-- (n+ 1)!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#30983

Вычислите

( 2)( 4)( 8) ( 1024) (1 +2) 1+2 1+ 2 1+ 2 ⋅...⋅ 1+ 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Суммы, суммы... Как будто не хватает разности. Нам нужна такая разность, которая при домножении на нее никак не изменит выражение и поможет продвинуться дальше.

Подсказка 2

2-1=1 :) а дальше применяем разность квадратов много раз.

Показать ответ и решение

Домножим первую скобку на $(2− 1)= 1$ , значение всего выражения от этого не изменится. Получится $(22− 1)$ . При перемножении этого выражения со второй скобкой по формуле разности квадратов получится $4 (2 − 1)$ . На очередном шаге мы будем получать $2k 2k 2k+1 (2 − 1)(2 +1)= 2 − 1$ при перемножении очередных двух скобок. Таким образом, в конце останется $2048 2 − 1$ .

Ответ:

$22048− 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#30995

Для каждого натурального $n ≥2$ вычислите сумму

1 1 1 -1- -1- ---1---- ----1--- 1 + 2 + ...+ n + 1⋅2 +1 ⋅3 +...+ (n − 1)⋅n + ...+ 1⋅2⋅...⋅n.

(В знаменателях стоят все возможные произведения нескольких из чисел $1$ , $2$ , …, $n$ . Произведение одного числа равно самому этому числу.)

Показать ответ и решение

Рассмотрим произведение скобок

( 1) ( 1) ( 1) S = 1+ 1 1+ 2 ... 1+ n

Можно заметить, что при их раскрытии получится сумма прозведений по всем подмножествам (включая пустое - произведение по нему будем считать равным 1) множества ${ } 11,12 ...1n$ - для получения каждого множества достаточно взять его элементы из скобок, где они стоят, а из остальных скобок единицы.

Значит, чтобы получить из $S$ искомую сумму, надо вычесть 1, тогда искомая сумма равна:

S− 1= 2⋅ 3 ⋅ 4...n-+1 − 1 = n+1-− 1 =n 1 2 3 n 1

Ответ:

$n$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32983

Найдите значение выражения

( 1)( 1) ( -1) ( -1-) 1− 4 1 −9 1− 16 ... 1− 1002

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В знаменателях встречается 4, 9, 16 и тд. Полные квадраты. Это намек на то, чтобы в этих скобках применить разности квадратов.

Подсказка 2

Отлично, вот мы их записали. Возьмем - и посчитаем скобки: тогда получатся дроби вида 1/2, 2/3, 3/4 и тд, а также будут дроби вида 3/2, 4/3 и тд. Будто суммы каким-то образом создают дроби, которые являются обратными к дробям, которые создаются разностями. Воспользуемся этим.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов, получим

( 1)( 1)( 1) ( 1) ( -1-)( -1-) 1− 2 1+ 2 1 −3 1+ 3 ... 1− 100 1+ 100

Сгруппируем суммы и разности в скобках отдельно:

= 1⋅ 2 ... 99-⋅ 3⋅ 4...101=-1-⋅ 101= 101 2 3 100 2 3 100 100 2 200

Ответ:

$101 200$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#32984

Найдите сумму

-22- -42 62- -1002-- 1⋅3 + 3⋅5 + 5⋅7 + ...+ 99 ⋅101

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нужно выделить целую часть в каждой дроби, для этого надо как-то поработать с знаменателями. Смотрите: 1*3 = 2²-1, а, например, 5*7=6²-1. Найдем ли мы такие знаменатели в числителях?

Подсказка 2

Да запросто: в каждой дроби числитель получился на единичку больше, чем знаменатель. Дробей, как четных чисел от единицы до сотни, ровно 100/2 = 50, значит, в нашем выражении выделяется целая часть 50, а также остаются дроби с числителями, равными 1. Теперь остается обработать только эти дроби.

Подсказка 3

Вернем знаменатели дробей к первоначальному виду и подумаем, как можно представить дробь вида 1/(k*(k+2)) через дроби со знаменателями k и k+2. Сначала, наверное, будет легче поработать с дробью 2/(k*(k+2)), а потом результат разделить на 2. Тогда и сработает телескоп :)

Показать ответ и решение

Для начала давайте в каждой дроби выделим целую часть:

----k2---- ----1----- (k − 1)(k+ 1) = 1(k− 1)(k+1).

Отдельно сложим целые части, получим 50. Осталось посчитать оставшиеся дроби. Заметим, что

--1-− --1- = ----2-----, k− 1 k+ 1 (k− 1)(k+ 1)

поэтому после умножения всех дробей на 2 их сумму можно представить как

1− 1+ 1 − 1 + 1− 1+ ...+ 1-−-1-= 1 −-1-= 100. 1 3 3 5 5 7 99 101 1 101 101

Тогда сумма исходных дробей равна

100 -50- 50 +101 :2 =50101.

Ответ:

$5100 101$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#32985

Найдите значения выражения

∘ ∘ ∘ ∘ tg1 ⋅tg2 ⋅...⋅tg 88 ⋅tg89

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Правда ли, что tg(α)*ctg(α) = 1? Естественно, правда. Только, правда, пока что здесь не видно подобных связок. Но что, если начать группировать первый с последним, второй с предпоследним и тд?

Подсказка 2

Конечно, tg(89°)=ctg(1°), а tg(1°)*ctg(1°) = 1, ура, классно зателескопили! Правда, один момент мы не учли. Он в серединке всего этого выражения. Когда его учтем, тогда задача и будет решена.

Показать ответ и решение

Распишем как частное синуса и косинуса и применим формулу приведения
$∘ sin(90 − α)=cosα$ :

sin1∘⋅sin2∘⋅...⋅sin89∘ cos89∘⋅cos88∘⋅...⋅cos1∘ cos1∘⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-= cos1∘-⋅cos2∘⋅...⋅cos89∘-=1.

Ответ:

$1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#33907

Найдите сумму

--3-- --5-- --7-- --9-- ---199-- 12⋅22 + 22⋅32 + 32⋅42 + 42⋅52 +...+992⋅1002.

Показать ответ и решение

Поскольку каждая дробь имеет вид $-2k+1--= (k+1+k)(k+1−-k)-= (k+1)2−k2= -1− --1-- k2⋅(k+1)2 k2⋅(k+1)2 k2⋅(k+1)2 k2 (k+1)2$ , то можно переписать выражение так:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 9999 12 − 22 + 22 − 32 + 32 − 42 + ...+ 992 − 1002-= 1− 10000 = 10000.

Ответ:

$0,9999$

Предыдущий раздел

Следующий раздел