Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Тема Тождественные преобразования

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40726

Найдите значение суммы

( 1)2 ( 1)2 ( 1 )2 2+ 2 + 4+ 4 +...+ 22025+ 22025

в замкнутом виде (без знаков многоточия).

Показать ответ и решение

Так как для любого натурального $k$ верно $(2k+ 1)2 =22k+ 2+ -1- 2k 22k$ , то, обозначив $n= 2025,$ получаем

( 1)2 ( 1 )2 ( 1 )2 21+ 21 + 22+ 22 + ...+ 2n+ 2n =

= 22+ 24 +...+22n+ 2n + 12-+...+ 12n-=2n +Sn, 2 2

где $Sn$ — сумма геометрической прогресии с первым членом $22 +212n$ и знаменателем $22,$ которая считается по формуле

S =(22 +-1-) ⋅ 22n-− 1. n 22n 4− 1

В итоге при $n= 2025$ получаем

42026+ 1 42025− 1 2⋅2025+ S2025 = 4050+--42025--⋅---3---.

Ответ:

$4050+ 42026+1-⋅ 42025− 1 42025 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47166

В строчку выписаны 2025 единиц; между каждыми двумя соседними единицами оставлено место для знака арифметического действия. На все свободные места всеми способами вписываются знаки $+$ , $−$ , $×$ и $:$ , и для каждого способа подсчитывается результат. Найдите сумму всех полученных результатов.

Показать ответ и решение

Всего способов расставить знаки $42024$ .

Поделим их на пары, сопоставляя минусам плюсы, а делению — умножение. Последняя замена ничего не меняет, а первая делает из числа $x$ число $2− x$ (знак минус появится везде, кроме первого унарного плюса). Отсюда в каждой паре сумма равна двум. Например,

(1 +1− 1∗1∕1∗...1)+ (1 − 1+ 1∕1∗1∕...∕1)=2

Причём пары различны и числа внутри пары различны. Так что в итоге сумма всех полученных чисел равна количеству способов, то есть $42024$ .

Ответ:

$42024$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#81373

Для каждого натурального числа $n$ положим

-(−3)n-- p(n)= 3n+ 317

Вычислите сумму

p(1)+ p(2)+ ...+p(33)

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.3 (см. www.fa.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что для $1≤ n≤ 17$

-(−3)n-- -(−-3)34−n-- -(−1)n-- (−1)n317−n n p(n)+p(34 − n)= 3n+ 317 + 334−n+ 317 = 1+ 317−n + 1+ 317−n =(−1)

Тогда

(−1)17 − 1 p(1)+ p(2)+ ...+ p(33)= (− 1)1+ (− 1)2+ ...(−1)16+ --2-- =-2-

Ответ:

$− 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#82698

Упростите выражение (в ответе не должно быть многоточия и знаков суммирования):

( 2)( 3 6) ( 9 18) ( 3n 2⋅3n) 1 +3+ 3 ⋅1+ 3 + 3 ⋅ 1+ 3 +3 ⋅...⋅1 +3 + 3

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

3 3 2 2 a − b = (a − b)(a + ab+b )

Умножим и разделим наше выражение на $2= (3− 1)$

2 3 6 9 18 3n 2⋅3n 3−-1 2 3 6 3n 2⋅3n (1+3 +3 )(1+ 3 + 3)(1 +3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )= 2 (1+ 3+ 3)(1+3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )

По формуле, приведённой выше, имеем

3− 1 n n 1 n n -2--(1 +3+ 32)(1+ 33+36)...(1+33 + 32⋅3 )= 2(33− 1)(1+ 33 +36)...(1+33 + 32⋅3 )

Заметим, что каждую следующую тоже можно будет свернуть. Например, после второго применения формулы получится

1 (33− 1)(1+ 33 +36)...(1 +33n + 32⋅3n)= 1(39− 1)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n) 2 2

Аналогичным образом свернем все скобки и получим

(1+ 3+ 32)(1+33+ 36)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n)= 1(33n+1 − 1) 2

Ответ:

$1 (33n+1 − 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#83299

На плоскости нарисовано 300 прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной - на гиперболе $y = 3x+5 x$ в точках с абсциссой $x= n,n= 1,2,3,...,300$ , со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найти площадь $D$ .

Источники: Росатом - 2024, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Показать ответ и решение

Обозначим $3+ 5 x$ через $f(x)$ .

У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой $f(n)− f(n +1)$ (если считать $f(301)= 0$ , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)

Поэтому сумма площадей таких областей равна

f(1)− f(2)+f(2)− f(3)+...+ f(299)− f(300)+f(300)− 0= f(1)= 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#85545

Определим

-(2x− 1)6x- f(x)= 22x−1+ 32x−1.

Вычислите сумму

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (2023) f 2024 + f 2024- +f 2024- +...+f 2024- .

Показать ответ и решение

Заметим, что

(2− 2x−-1)61−x (2x-− 1)61−x-⋅62x−1 f(1− x)= 21−2x+ 31− 2x =− 22x−1 +32x−1 = −f(x)

Тогда в нашем выражении все слагаемые, кроме $(1012) f 2024 ,$ разбиваются на пары с суммой $0.$ При этом также понятно, что

( ) ( ) ( ) f 12001224 =f 12 =− f 12 ,

откуда $f(12001224) =0,$ и вся сумма равна нулю.

Ответ:

$0$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#88066

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88710

Величина $z$ является корнем уравнения

5 4 x + x = 1

Вычислить величину $S = ∏ ∞n=0 (1 +z2n)=$

= (1 +z)(1+z2)(1+ z4)(1+ z8)(1+ z16)⋅...

Источники: САММАТ - 2024, 11.8 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=x5+ x4− 1$ . Её производная $5x4+4x3 = x3(5x+ 4)$ имеет на отрезке $(−∞;0]$ корни $0$ и $− 4. 5$ При $x≤ 0$ максимальное значение функции равно $4 4 4 4 f(−5)= (−5)(−5 +1)− 1< 0,$ а при $x ≥0$ функция монотонно возрастает, поэтому может иметь не более одного пересечения с осью абсцисс. Заметим, что $f(0)=− 1,f(1) =1,$ поэтому по теореме о промежуточном значении корень находится на интервале $(0;1).$

Значит, величина $z ∈ (0;1).$ А в искомой величине произведение $N$ первых множителей равно

2 2N (1+z)(1+z2)...(1+z2N)= (1−-z)(1+-z)(1+z-)...(1+-z-) = 1− z

1−-z2N+1- =/многократно применяем формулу разности квадратов/= 1− z

При $N → ∞$ числитель стремится к единице, поэтому искомая величина равна $-1- 1−z$ .

Ответ:

$--1- 1 − z$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#92258

Вычислите сумму

-11-- --11--- ----11---- -----11------ 1+2 + 1+2 +3 +1 +2+ 3+ 4 + ...+ 1+ 2+...+10.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии каждый знаменатель имеет вид $1+ ...+ k= k(k+1). 2$ Отсюда получаем, что каждое слагаемое можно представить в виде

22 k +1− k ( 1 1 ) k(k+-1) =22-k(k+-1) =22 k − k+-1

Тогда искомая сумма равна

( ) 22 1 − 1+ 1− 1+ ...+ -1− -1 = 2 3 3 4 10 11

( ) = 22 1− -1 = 11− 2= 9 2 11

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#94036

Докажите тождество

(n−-1)n(n+-1) 1 ⋅2 +2⋅3+ ...+ (n − 1)⋅n= 3

Показать доказательство

Первое решение. Попробуем телескопировать эту сумму. Для этого надо выразить $k(k+ 1)$ как разность двух выражений, похожих на то, что должно получиться в ответе. Заметим, что $k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1) k(k+ 1)= 3 .$ Тогда

n∑−1 n∑−1 k(k+ 1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (n−-1)n(n+-1) k=1 3k=1 3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. При $n= 2$ в левой части получаем $1⋅2,$ а в правой $1⋅2⋅3 =2, 3$ так что равенство выполнено. Предположим, что равенство верно при $n= p,$ то есть

p∑−1 p−∑1 k(k +1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (p−-1)p(p-+1) k=1 3k=1 3

Тогда при $n= p+ 1$ имеем

p∑ p∑−1 k(k+ 1) = 1 (k(k +1)(k +2)− (k − 1)k(k+ 1))+ p(p +1)= (p−-1)p(p-+1)+ p(p+ 1) k=1 3 k=1 3

после вынесения за скобки $p(p +1)$ и преобразований получается

(p−-1)p(p+-1) p−-1+-3 p(p-+1)(p+-2) 3 +p(p+1)= p(p +1) 3 = 3

Шаг индукции доказан. Значит, утверждение задачи выполнено при любых натуральных $n ≥2.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#94166

Вычислите разность сумм

2 2 2 2 (1⋅3+ 3⋅5+ 5⋅7+ ...+99⋅101)− (2 +4 + 6 + ...+100 )

Показать ответ и решение

Заметим, что слагаемые из первой и второй скобки можно разбить в пары вида $(2k− 1)(2k+ 1)$ и $4k2.$ Разность в каждой паре равна

2 2 2 (2k− 1)(2k+1)− 4k = 4k − 1− 4k =− 1

Раз всего таких пар $50,$ то исходная разность равна $− 50.$

Ответ:

$− 50$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#94375

Найдите сумму

--1-- --2-- --3-- ---1010---- 12⋅32 + 32⋅52 + 52⋅72 + ...+ 20192⋅20212.

Показать ответ и решение

Заметим, что

--1---- --1---- 4k2-+4k+-1−-4k2-+4k−-1 ------8k------ (2k− 1)2 − (2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2

Используем это и преобразуем исходную сумму

( ) 8 ⋅ -21-2 +-222-+ -32-2-+...+---10210--2 = 8 1 ⋅3 3 ⋅5 5 ⋅7 2019 ⋅2021

( ) = 1⋅ -1− -1 +-1 −-1 +...+ --1--− -1--- 8 12 32 32 52 20192 20212

Получаем телескопическую сумму, все члены этой суммы, кроме первого и последнего уходят, значит, она равна

1( 1 ) 2020⋅2022 8 1− 20212 = -8⋅20212-.

Ответ:

$2020⋅2022 8⋅20212$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#104971

Найдите сумму

1!⋅1+ 2!⋅2+ 3!⋅3 +...+ 100!⋅100

Показать ответ и решение

Заметим, что $n⋅n!=(n+ 1)!− n!.$ Поэтому наша сумма равна

(2!− 1!)+ (3!− 2!)+ (4!− 3!)+ ...+(101!− 100!)= 101!− 1!

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#104972

Найдите сумму

---1--- --1---- ---1--- ----1----- √1+ √2 + √2+ √3 + √3-+√4-+ ...+ √k+ √k-+1

Показать ответ и решение

Домножим каждую дробь на сопряженное, то есть

1 √i-+1− √i √ ---- √- √i+-√i+-1 =--i+1−-i- = i+1− i

Тогда наша сумма теперь выглядит так:

(√2− √1)+ (√3-− √2-)+...+ (√k+-1− √k)= √k+-1− √1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#104977

Докажите неравенство

2 5 8 999998 -1- 3 ⋅6 ⋅9⋅⋅⋅⋅999999 > 100

Показать доказательство

Обозначим левое произведение дробей за $A.$ Пусть

1 4 7 999997 B = 2 ⋅5 ⋅8...⋅ 999998

3 6 9 999999 C = 4 ⋅7 ⋅ 10-...1000000

Заметим, что

A ⋅B⋅C = --1---= -1-3 1000000 100

Поэтому, если мы докажем, что $A2 > B ⋅C$ мы решим задачу, так как $A3 > ABC = 11003.$ Для этого достаточно доказать, что для $k ≥2$ верно

--k2--> k−-1⋅ k-+1 (k +1)2 k k +2

Это равносильно

k4+ 2k3 >(k2− 1)(k2+2k+ 1) =⇒ 0> −1 − 2k

а это верно в нашем случае.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#41771

Вычислите сумму

1- 2- 2022 2! + 3! +...+ 2023!

Показать ответ и решение

Как в задаче такого сорта на телескопические суммы, попробуем разложить каждое слагаемое на разность двух дробей:

--n--- n-+1−-1 -1 ---1-- (n+ 1)! = (n +1)! =n! − (n+ 1)!

Получены разности дробей, зависящих от соседних индексов, откуда сумма немедленно сворачивается как труба телескопа:

1-−-1+ 1-− 1-+...+--1- −--1- = 1− -1-- 1! 2! 2! 3! 2022! 2023! 2023!

Ответ:

$1−--1- 2023!$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#49784

Найдите сумму

∑n 1 arctgk2+-k+-1 k=0

Показать ответ и решение

Из известного тождества $tg(x− y)= tgx−-tgy- 1+tgxtgy$ следует формула $arctgx− arctg y = arctg( x−y-). 1+xy$ Тогда для любого $k$ справедливо:

1 ( (k +1)− k ) arctg(1+-k+-k2)=arctg 1+-k⋅(k+-1) = arctg(k +1)− arctg(k)

Поэтому сумма из условия равна

(arctg1− arctg0)+ (arctg2− arctg1)+...+(arctg(n+ 1)− arctgn)= arctg(n +1)

Ответ:

$arctg(n+ 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#69825

Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа, такие что несократимая дробь представима в виде суммы

a 1 1 1 -1- 1-- b = 1− 2 +3 − 4 + ...− 118 + 119

Докажите, что число $a$ делится на 179.

Источники: САММАТ-2023, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Показать доказательство

a 1 1 1 -1- -1- b =1− 2 + 3 − 4 + ...− 118 + 119 =

1 1 1 1 1 ( 1 1 1 ) = 1+ 2 + 3 + 4 + ...+ 118-+ 119-− 2 2 + 4 + ...+ 118 =

( ) = 1+ 1+ 1 + 1+ ...+ 1--+-1- − 1+ 1+ ...+ 1- = 2 3 4 118 119 1 2 59

1- 1- 1- -1- 1-- = 60 + 61 + 62 + ...+ 118 + 119

В сумме 60 слагаемых, разбиваем их на пары

--1--+ --1---= -----179------ 59+ k 120 − k (59+ k)(120− k)

для любого $k$ от 1 до 30.

a = ---179⋅30---- b 60 ⋅61⋅...⋅119

Так как 179 простое, то получившаяся дробь после сокращения все равно будет иметь в числителе множитель 179 , а значит утверждение доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#75158

Вычислите сумму

∑n k (k+-1)! k=0

Показать ответ и решение

Раскроем нашу сумму:

0- 1- 2- --n--- 1! + 2! + 3! + ...+ (n+ 1)!

Заметим, что:

--k---= 1-− --1--- (k+1)! k! (k +1)!

Тогда мы можем представить каждое наше слагаемое как разность:

(1-− 1) + (1-− 1) +( 1-−-1)+ ...+ (-1− ---1--) 0! 1! 1! 2! 2! 3! n! (n+ 1)!

Тогда в нашей сумме уничтожатся все слагаемые, кроме первого и последнего, в итоге получим:

1 1 1 0! − (n+-1)! = 1− (n+-1)!

Ответ:

$1−---1-- (n+ 1)!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#30983

Вычислите

( 2)( 4)( 8) ( 1024) (1 +2) 1+2 1+ 2 1+ 2 ⋅...⋅ 1+ 2

Показать ответ и решение

Домножим первую скобку на $(2− 1)= 1$ , значение всего выражения от этого не изменится. Получится $(22− 1)$ . При перемножении этого выражения со второй скобкой по формуле разности квадратов получится $4 (2 − 1)$ . На очередном шаге мы будем получать $2k 2k 2k+1 (2 − 1)(2 +1)= 2 − 1$ при перемножении очередных двух скобок. Таким образом, в конце останется $2048 2 − 1$ .

Ответ:

$22048− 1$