Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вычислите сумму
Подсказка 1
Запишем сначала сумму в привычном нам виде для наглядности. Наша главная цель, чтобы в результате каких-то преобразований и суммирования почти все слагаемые сократились. Подумайте, как бы хорошо было представить каждую дробь в виде разности дробей.
Подсказка 2
Понятно, что скорее всего удобно представить разность со знаменателями вида k! и (k+1)!, потому что тогда слагаемые как раз нужным образом сократятся. Теперь попробуйте угадать или посчитать методом неопределённых коэффициентов числители дробей.
Подсказка 3
Ага, в итоге, у вас получатся разности вида 1/k! - 1/(k+1)!. Теперь осталось только сократить слагаемые и получить ответ. Победа!
Раскроем нашу сумму:
Заметим, что:
Тогда мы можем представить каждое наше слагаемое как разность:
Тогда в нашей сумме уничтожатся все слагаемые, кроме первого и последнего, в итоге получим:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
