Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите тождество
Подсказка 1
Такие тождества удобно доказывать по индукции. База очевидна. Будем полагать, что при n = p утверждение верно. Как свести доказываемое утверждение при n = p+1 к предположению индукции?
Подсказка 2
Верно! Сумма, в которой последнее слагаемое получается при n = p + 1 содержит в себе сумму всех слагаемых для n = p. Как тогда применить предположение?
Первое решение. Попробуем телескопировать эту сумму. Для этого надо выразить 
как разность двух выражений, похожих на
то, что должно получиться в ответе. Заметим, что 
Тогда
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. При 
в левой части получаем 
а в правой 
так что равенство выполнено. Предположим, что
равенство верно при 
то есть
Тогда при 
имеем
после вынесения за скобки 
и преобразований получается
Шаг индукции доказан. Значит, утверждение задачи выполнено при любых натуральных 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
