Главная
Каталог задач
Каталог заданий по Олимпиады - Математика
Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Тема Тождественные преобразования

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела тождественные преобразования

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#40726

Найдите значение суммы

( 1)2 ( 1)2 ( 1 )2 2+ 2 + 4+ 4 +...+ 22025+ 22025

в замкнутом виде (без знаков многоточия).

Показать ответ и решение

Так как для любого натурального $k$ верно $(2k+ 1)2 =22k+ 2+ -1- 2k 22k$ , то, обозначив $n= 2025,$ получаем

( 1)2 ( 1 )2 ( 1 )2 21+ 21 + 22+ 22 + ...+ 2n+ 2n =

= 22+ 24 +...+22n+ 2n + 12-+...+ 12n-=2n +Sn, 2 2

где $Sn$ — сумма геометрической прогресии с первым членом $22 +212n$ и знаменателем $22,$ которая считается по формуле

S =(22 +-1-) ⋅ 22n-− 1. n 22n 4− 1

В итоге при $n= 2025$ получаем

42026+ 1 42025− 1 2⋅2025+ S2025 = 4050+--42025--⋅---3---.

Ответ:

$4050+ 42026+1-⋅ 42025− 1 42025 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#47166

В строчку выписаны 2025 единиц; между каждыми двумя соседними единицами оставлено место для знака арифметического действия. На все свободные места всеми способами вписываются знаки $+$ , $−$ , $×$ и $:$ , и для каждого способа подсчитывается результат. Найдите сумму всех полученных результатов.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Понятно, что сначала нужно посчитать кол-во способов. Их 4^2020. Понятно, что считать каждый способ не представляется возможным. Значит, если бы могли как-то разбить их на группы, сумма в которых как-то явным образом связана с кол-вом чисел в этой группе, то было бы хорошо и удобно. Попробуйте как-то удачно разбить эти числа на группы.

Подсказка 2

«Разбить на группы», беее… Звучит даже как-то страшно. А вот «разбить на пары» уже интереснее. Вопрос только по какому критерию разбивать. Наверное, вы решали на информатике задачу из ЕГЭ, когда берут число, потом инвертируют в нем все разряды(то есть ноль меняют на единицу и наоборот), и складывают, а потом что-то просят найти. Так вот, эта задача решалась тем, что сумма начального числа и «инвертированного» равна 255(там было сказано, что число 8 значное). Попробуйте здесь также инвертировать знаки и посмотреть на сумму начального числа и инвертированного.

Подсказка 3

Не ТрУдНо ЗаМеТиТь, что сумма инвестированного и начального чисел равна 2, так как от замены деления на умножения ничего не происходит, а от замены минуса на плюса, просто все числа, что после первой единицы сократятся попарно. Поэтому сумма начального числа и инвестированного равна 2. Но и кол-во чисел в этой группе тоже 2. Ого! Значит сумма чисел равна…

Показать ответ и решение

Всего способов расставить знаки $42024$ .

Поделим их на пары, сопоставляя минусам плюсы, а делению — умножение. Последняя замена ничего не меняет, а первая делает из числа $x$ число $2− x$ (знак минус появится везде, кроме первого унарного плюса). Отсюда в каждой паре сумма равна двум. Например,

(1 +1− 1∗1∕1∗...1)+ (1 − 1+ 1∕1∗1∕...∕1)=2

Причём пары различны и числа внутри пары различны. Так что в итоге сумма всех полученных чисел равна количеству способов, то есть $42024$ .

Ответ:

$42024$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#123689

Найти минимальное натуральное $k> 2025,$ при котором число

-----1---- -----1------ -----------1----------- 1 +√32 + 3√4 + √34-+ 3√6+ 3√9-+ ...+ 3√k2−-2k+1-+√3k2-− k-+ 3√k2

является рациональным.

Источники: Газпром - 2025, вариант 2, 11.1 (см. olympiad.gazprom.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Глобальная идея решения такая: нужно некоторым образом преобразовать каждое слагаемое так, чтобы большинство слагаемых взаимно уничтожились.

Подсказка 2

Если не понимаете, как преобразовать, то вот над чем стоит задуматься: в знаменателе присутствуют кубические корни. От них было бы хорошо избавиться, вероятно, возведением в куб.

Подсказка 3

Ещё каждый знаменатель является неполным квадратом. Было бы неплохо домножить и поделить каждую дробь на скобочку, которой не хватает до разности кубов в знаменателе.

Показать ответ и решение

Преобразуем исходное выражение, перемножив каждую дробь на числовое выражение для получения разности кубов в знаменателях дробей:

1 1− 3√2 1 √32-− 3√3 1 3√k−-1− 3√k ---3√---√3-2 ⋅1−-3√2-+ 3√-2-3√-3√----3√-2 ⋅√32-−-3√3 + ...+ √3-2--√3----3√---3√-2 ⋅3√k−-1−-3√k-= 1+ 2 + 2 2 + 2 3+ 3 k− 1+ k− 1 k+ k

- - - ---- √ - 1-−√32 3√-2−√33 3√k-− 1-−-3k = 1− 2 + 2− 3 + ...+ (k − 1)− k =

√ - √- √- √---- √- =− (1− 3 2)− (32− 33)− ...− (3k− 1− 3k)=

√3- 3√- 3√- √3---- 3√- = −1 + 2− 2+ 3 − ...− k− 1+ k=

- = 3√k − 1

Это число будет рациональным, когда $k$ является полным кубом. Итак,

k= 133 = 2197> 2025.

Ответ:

$2197$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81373

Для каждого натурального числа $n$ положим

-(−3)n-- p(n)= 3n+ 317

Вычислите сумму

p(1)+ p(2)+ ...+p(33)

Источники: Миссия выполнима - 2024, 11.3 (см. www.fa.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда у нас есть такая вот телескопическая сумма, то что мы обычно любим делать? Либо преобразовывать каждый элемент, либо брать их по группам и говорить, что в каждой группе сумма хорошая. Но обычно группы из двух чисел. Какие тогда два числа мы обычно берем из таких сумм?

Подсказка 2

Сумма первого и последнего равна (-1)^n. А может быть, так работает и для суммы k-ого с начала и k-ого с конца? Проверьте это и запишите ответ.

Показать ответ и решение

Заметим, что для $1≤ n≤ 17$

-(−3)n-- -(−-3)34−n-- -(−1)n-- (−1)n317−n n p(n)+p(34 − n)= 3n+ 317 + 334−n+ 317 = 1+ 317−n + 1+ 317−n =(−1)

Тогда

(−1)17 − 1 p(1)+ p(2)+ ...+ p(33)= (− 1)1+ (− 1)2+ ...(−1)16+ --2-- =-2-

Ответ:

$− 1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#82698

Упростите выражение (в ответе не должно быть многоточия и знаков суммирования):

( 2)( 3 6) ( 9 18) ( 3n 2⋅3n) 1 +3+ 3 ⋅1+ 3 + 3 ⋅ 1+ 3 +3 ⋅...⋅1 +3 + 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Заметим, что 1 + 3 + 3² = 1 + 3 * 1 + 3². Это очень похоже на одну формулу сокращенного умножения. Может, попробовать ее применить?

Подсказка 2

Вспомним формулу (a - b)(a² + ab + b²) = a³ + b³. Начнем с первой скобки. Для нее a = 3, b = 1. Умножим и разделим наше выражение на (3 - 1). Тогда (3 - 1)(3² + 3 + 1) = 3³ + 1³. А можно ли как-то приспособить полученное для следующих множителей?

Показать ответ и решение

Вспомним формулу сокращенного умножения:

3 3 2 2 a − b = (a − b)(a + ab+b )

Умножим и разделим наше выражение на $2= (3− 1)$

2 3 6 9 18 3n 2⋅3n 3−-1 2 3 6 3n 2⋅3n (1+3 +3 )(1+ 3 + 3)(1 +3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )= 2 (1+ 3+ 3)(1+3 + 3 )...(1+ 3 + 3 )

По формуле, приведённой выше, имеем

3− 1 n n 1 n n -2--(1 +3+ 32)(1+ 33+36)...(1+33 + 32⋅3 )= 2(33− 1)(1+ 33 +36)...(1+33 + 32⋅3 )

Заметим, что каждую следующую тоже можно будет свернуть. Например, после второго применения формулы получится

1 (33− 1)(1+ 33 +36)...(1 +33n + 32⋅3n)= 1(39− 1)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n) 2 2

Аналогичным образом свернем все скобки и получим

(1+ 3+ 32)(1+33+ 36)(1+ 39 +318)...(1+ 33n +32⋅3n)= 1(33n+1 − 1) 2

Ответ:

$1 (33n+1 − 1) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#83299

На плоскости нарисовано 300 прямоугольников с вершиной в начале координат, с противоположной вершиной - на гиперболе $y = 3x+5 x$ в точках с абсциссой $x= n,n= 1,2,3,...,300$ , со сторонами параллельными координатным осям. Область $D$ содержит те точки плоскости, которые принадлежат только одному из прямоугольников. Найти площадь $D$ .

Источники: Росатом - 2024, московский вариант, 11.4 (см. olymp.mephi.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

По своей сути задача геометрическая, а самая важная часть геометрической задачи – рисунок. Постройте график функции f(x) = 3 + 5/x и обозначенные прямоугольники. А теперь посмотрите, что за площади нас просят найти.

Подсказка 2

Каждый прямоугольник будет иметь вверху прямоугольную часть, которая принадлежит только ему. Как можно вычислить её площадь?

Подсказка 3

Как произведение сторон прямоугольника! У него одна сторона равна единице, а вторая разности значений функции в соседних натуральных аргументах. Только вот рассмотрите отдельно последний прямоугольник: у него одна из сторон лежит просто на оси абсцисс.

Подсказка 4

Остаётся только записать и вычислить сумму всех площадей. Поверьте, она удобно сворачивается!

Показать ответ и решение

Обозначим $3+ 5 x$ через $f(x)$ .

У каждого прямоугольника от первого до трёхсотого есть область, содержащаяся только в нём. Эта область является прямоугольником с шириной 1 и высотой $f(n)− f(n +1)$ (если считать $f(301)= 0$ , ведь у последнего прямоугольника нижнее основание лежит уже на оси абсцисс)

Поэтому сумма площадей таких областей равна

f(1)− f(2)+f(2)− f(3)+...+ f(299)− f(300)+f(300)− 0= f(1)= 8

Ответ: 8

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#85545

Определим

-(2x− 1)6x- f(x)= 22x−1+ 32x−1.

Вычислите сумму

( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) (2023) f 2024 + f 2024- +f 2024- +...+f 2024- .

Показать ответ и решение

Заметим, что

(2− 2x−-1)61−x (2x-− 1)61−x-⋅62x−1 f(1− x)= 21−2x+ 31− 2x =− 22x−1 +32x−1 = −f(x)

Тогда в нашем выражении все слагаемые, кроме $(1012) f 2024 ,$ разбиваются на пары с суммой $0.$ При этом также понятно, что

( ) ( ) ( ) f 12001224 =f 12 =− f 12 ,

откуда $f(12001224) =0,$ и вся сумма равна нулю.

Ответ:

$0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#88066

Сравните числа $(tg1∘+ tg 2∘ +...+ tg44∘)$ и 22.

Источники: Межвед - 2024, 11.5 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать сумму тангенсов. На что намекают их аргументы?

Подсказка 2

Если разделить тангенсы на пары: первый с последним, второй с предпоследним и так далее, то сумма аргументов будет 45. Какую формулу тогда нужно применить?

Подсказка 3

Формулу суммы тангенсов! Количество дробей намекает на то, что можно доказать, что каждая из них меньше 1 (дробей 22).

Подсказка 4

В знаменателе можно применить формулу произведения косинусов. Тогда один из них будет всегда равен половине числителя.

Показать ответ и решение

Сгруппируем крайние члены

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ (tg1 +tg2 + ...+tg44 )=(tg1 +tg44 )+...+ (tg22 + tg 23 )

По формуле суммы тангенсов

∘ ∘ ∘ ∘ --sin45∘--- ---sin45∘--- (tg1 +tg44)+ ...+ (tg22 + tg23 )= cos1∘cos44∘ +...+cos22∘ cos23∘

Заменим синус от 45 градусов на равный ему косинус и воспользуемся формулой произведения косинусов

cos45∘ cos45∘ 2cos45∘ 2cos45∘ cos1∘cos44∘-+...+cos22∘-cos23∘ = cos43∘+-cos45∘ + ...+ cos1∘-+cos45∘

Осталось заметить, что функция $f(x)= cosx$ убывает на отрезке $π [0;2]$ , а значит, верны неравенства $cosn∘ > cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , следовательно, верны неравенства $cosn∘+ cos45∘ > 2cos45∘$ для всех $n ∈{43,41,...,1}$ , т.е. каждое слагаемое в сумме меньше 1. Таким образом, вся сумма меньше 22.

Ответ:

$(tg1∘+tg2∘+ ...+ tg44∘)< 22$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#88710

Величина $z$ является корнем уравнения

5 4 x + x = 1

Вычислить величину $S = ∏ ∞n=0 (1 +z2n)=$

= (1 +z)(1+z2)(1+ z4)(1+ z8)(1+ z16)⋅...

Источники: САММАТ - 2024, 11.8 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

На что похоже выражение, которое надо найти? С чем ассоциируются скобки такого вида?

Подсказка 2

С разностью квадратов! А какой скобки не хватает?

Подсказка 3

(1 - z). Значит, мы ищем (1 - z)S/(1 - z). Попробуем преобразовать

Подсказка 4

После преобразований числителя он станет равным 1 - z^(2^(N + 1)). В таком случае хотелось бы узнать что-то про z… как мы можем понять, в каком интервале он лежит?

Подсказка 5

Исследуем функцию x^5 + x^4 - 1. В этом нам поможет производная ;) Теперь мы сможем найти, где функция меняет знак, и понять, к чему стремится нужная нам дробь при N, стремящемся к бесконечности.

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $f(x)=x5+ x4− 1$ . Её производная $5x4+4x3 = x3(5x+ 4)$ имеет на отрезке $(−∞;0]$ корни $0$ и $− 4. 5$ При $x≤ 0$ максимальное значение функции равно $4 4 4 4 f(−5)= (−5)(−5 +1)− 1< 0,$ а при $x ≥0$ функция монотонно возрастает, поэтому может иметь не более одного пересечения с осью абсцисс. Заметим, что $f(0)=− 1,f(1) =1,$ поэтому по теореме о промежуточном значении корень находится на интервале $(0;1).$

Значит, величина $z ∈ (0;1).$ А в искомой величине произведение $N$ первых множителей равно

2 2N (1+z)(1+z2)...(1+z2N)= (1−-z)(1+-z)(1+z-)...(1+-z-) = 1− z

1−-z2N+1- =/многократно применяем формулу разности квадратов/= 1− z

При $N → ∞$ числитель стремится к единице, поэтому искомая величина равна $-1- 1−z$ .

Ответ:

$--1- 1 − z$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#92258

Вычислите сумму

-11-- --11--- ----11---- -----11------ 1+2 + 1+2 +3 +1 +2+ 3+ 4 + ...+ 1+ 2+...+10.

Источники: ДВИ - 2024, вариант 244, задача 2 (pk.math.msu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какую закономерность можно заметить в знаменателях у слагаемых суммы? Можно ли её посчитать?

Подсказка 2

Знаменатель каждого из слагаемых представляет собой сумму членов арифметической прогрессии! Попробуйте расписать ее для произвольного k-го слагаемого

Подсказка 3

Полученная дробь разбивается на разность двух более простых дробей. (Разбиение нетрудно подобрать руками, но можно его найти и через метод неопределенных коэффициентов)

Подсказка 4

Благополучно почти все дроби сократятся! Остается посчитать разность двух дробей

Показать ответ и решение

По формуле суммы арифметической прогрессии каждый знаменатель имеет вид $1+ ...+ k= k(k+1). 2$ Отсюда получаем, что каждое слагаемое можно представить в виде

22 k +1− k ( 1 1 ) k(k+-1) =22-k(k+-1) =22 k − k+-1

Тогда искомая сумма равна

( ) 22 1 − 1+ 1− 1+ ...+ -1− -1 = 2 3 3 4 10 11

( ) = 22 1− -1 = 11− 2= 9 2 11

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#94036

Докажите тождество

(n−-1)n(n+-1) 1 ⋅2 +2⋅3+ ...+ (n − 1)⋅n= 3

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Такие тождества удобно доказывать по индукции. База очевидна. Будем полагать, что при n = p утверждение верно. Как свести доказываемое утверждение при n = p+1 к предположению индукции?

Подсказка 2

Верно! Сумма, в которой последнее слагаемое получается при n = p + 1 содержит в себе сумму всех слагаемых для n = p. Как тогда применить предположение?

Показать доказательство

Первое решение. Попробуем телескопировать эту сумму. Для этого надо выразить $k(k+ 1)$ как разность двух выражений, похожих на то, что должно получиться в ответе. Заметим, что $k(k+1)(k+2)−(k−1)k(k+1) k(k+ 1)= 3 .$ Тогда

n∑−1 n∑−1 k(k+ 1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (n−-1)n(n+-1) k=1 3k=1 3

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. При $n= 2$ в левой части получаем $1⋅2,$ а в правой $1⋅2⋅3 =2, 3$ так что равенство выполнено. Предположим, что равенство верно при $n= p,$ то есть

p∑−1 p−∑1 k(k +1)= 1 (k(k+ 1)(k+ 2)− (k− 1)k(k+ 1))= (p−-1)p(p-+1) k=1 3k=1 3

Тогда при $n= p+ 1$ имеем

p∑ p∑−1 k(k+ 1) = 1 (k(k +1)(k +2)− (k − 1)k(k+ 1))+ p(p +1)= (p−-1)p(p-+1)+ p(p+ 1) k=1 3 k=1 3

после вынесения за скобки $p(p +1)$ и преобразований получается

(p−-1)p(p+-1) p−-1+-3 p(p-+1)(p+-2) 3 +p(p+1)= p(p +1) 3 = 3

Шаг индукции доказан. Значит, утверждение задачи выполнено при любых натуральных $n ≥2.$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#94166

Вычислите разность сумм

2 2 2 2 (1⋅3+ 3⋅5+ 5⋅7+ ...+99⋅101)− (2 +4 + 6 + ...+100 )

Показать ответ и решение

Заметим, что слагаемые из первой и второй скобки можно разбить в пары вида $(2k− 1)(2k+ 1)$ и $4k2.$ Разность в каждой паре равна

2 2 2 (2k− 1)(2k+1)− 4k = 4k − 1− 4k =− 1

Раз всего таких пар $50,$ то исходная разность равна $− 50.$

Ответ:

$− 50$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#94375

Найдите сумму

--1-- --2-- --3-- ---1010---- 12⋅32 + 32⋅52 + 52⋅72 + ...+ 20192⋅20212.

Показать ответ и решение

Заметим, что

--1---- --1---- 4k2-+4k+-1−-4k2-+4k−-1 ------8k------ (2k− 1)2 − (2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2 = (2k− 1)2(2k+ 1)2

Используем это и преобразуем исходную сумму

( ) 8 ⋅ -21-2 +-222-+ -32-2-+...+---10210--2 = 8 1 ⋅3 3 ⋅5 5 ⋅7 2019 ⋅2021

( ) = 1⋅ -1− -1 +-1 −-1 +...+ --1--− -1--- 8 12 32 32 52 20192 20212

Получаем телескопическую сумму, все члены этой суммы, кроме первого и последнего уходят, значит, она равна

1( 1 ) 2020⋅2022 8 1− 20212 = -8⋅20212-.

Ответ:

$2020⋅2022 8⋅20212$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#104971

Найдите сумму

1!⋅1+ 2!⋅2+ 3!⋅3 +...+ 100!⋅100

Показать ответ и решение

Заметим, что $n⋅n!=(n+ 1)!− n!.$ Поэтому наша сумма равна

(2!− 1!)+ (3!− 2!)+ (4!− 3!)+ ...+(101!− 100!)= 101!− 1!

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#104972

Найдите сумму

---1--- --1---- ---1--- ----1----- √1+ √2 + √2+ √3 + √3-+√4-+ ...+ √k+ √k-+1

Показать ответ и решение

Домножим каждую дробь на сопряженное, то есть

1 √i-+1− √i √ ---- √- √i+-√i+-1 =--i+1−-i- = i+1− i

Тогда наша сумма теперь выглядит так:

(√2− √1)+ (√3-− √2-)+...+ (√k+-1− √k)= √k+-1− √1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#104977

Докажите неравенство

2 5 8 999998 -1- 3 ⋅6 ⋅9⋅⋅⋅⋅999999 > 100

Показать доказательство

Обозначим левое произведение дробей за $A.$ Пусть

1 4 7 999997 B = 2 ⋅5 ⋅8...⋅ 999998

3 6 9 999999 C = 4 ⋅7 ⋅ 10-...1000000

Заметим, что

A ⋅B⋅C = --1---= -1-3 1000000 100

Поэтому, если мы докажем, что $A2 > B ⋅C$ мы решим задачу, так как $A3 > ABC = 11003.$ Для этого достаточно доказать, что для $k ≥2$ верно

--k2--> k−-1⋅ k-+1 (k +1)2 k k +2

Это равносильно

k4+ 2k3 >(k2− 1)(k2+2k+ 1) =⇒ 0> −1 − 2k

а это верно в нашем случае.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#41771

Вычислите сумму

1- 2- 2022 2! + 3! +...+ 2023!

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таком виде посчитать сумму тяжеловато. Давайте представим каждое слагаемое как разность двух чисел, чтобы получить телескопическую сумму. Слагаемые имеют вид n/(n+1)!.

Подсказка 2

n / (n+1)! можно представить, как разность 1/n! - 1/(n+1)!. Получилась телескопическая сумма, которую легко посчитать. Каким же будет ответ на задачу?

Показать ответ и решение

Как в задаче такого сорта на телескопические суммы, попробуем разложить каждое слагаемое на разность двух дробей:

--n--- n-+1−-1 -1 ---1-- (n+ 1)! = (n +1)! =n! − (n+ 1)!

Получены разности дробей, зависящих от соседних индексов, откуда сумма немедленно сворачивается как труба телескопа:

1-−-1+ 1-− 1-+...+--1- −--1- = 1− -1-- 1! 2! 2! 3! 2022! 2023! 2023!

Ответ:

$1−--1- 2023!$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#49784

Найдите сумму

∑n 1 arctgk2+-k+-1 k=0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Видим сумму, а значит, нам надо представить наши выражения как разность, чтобы почти всё сократилось. Давайте рассмотрим дробь в общем виде. Её знаменатель можно записать как k(k+1) + 1, а числитель (k+1) - k. Где вы могли видеть похожее выражение в формулах по тригонометрии?

Показать ответ и решение

Из известного тождества $tg(x− y)= tgx−-tgy- 1+tgxtgy$ следует формула $arctgx− arctg y = arctg( x−y-). 1+xy$ Тогда для любого $k$ справедливо:

1 ( (k +1)− k ) arctg(1+-k+-k2)=arctg 1+-k⋅(k+-1) = arctg(k +1)− arctg(k)

Поэтому сумма из условия равна

(arctg1− arctg0)+ (arctg2− arctg1)+...+(arctg(n+ 1)− arctgn)= arctg(n +1)

Ответ:

$arctg(n+ 1)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#69825

Пусть $a$ и $b$ — натуральные числа, такие что несократимая дробь представима в виде суммы

a 1 1 1 -1- 1-- b = 1− 2 +3 − 4 + ...− 118 + 119

Докажите, что число $a$ делится на 179.

Источники: САММАТ-2023, 11.6 (см. sammat.samgtu.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Считать знакопеременную сумму явно не нужно. Заметим, что с минусами у нас стоят дроби с чётным знаменателем. Что стоит добавить и одновременно вычесть из суммы, чтобы все минусы ушли?

Подсказка 2

Будем вычитать и добавлять те дроби, в которых есть минус. Например, -1/2 = 1/2 - 2 * (1/2) = 1/2 - 1, -1/4 = 1/4 - 2*(1/4) = 1/4 - 1/2, -1/6 = 1/6 - 1/3 и так далее. Какая в итоге получится сумма?

Подсказка 3

Конечно, все слагаемые вплоть до 1/59 взаимоуничтожаются, и остаётся сумма от 1/60 до 1/119. Вновь посчитать её явно не выйдет, поэтому воспользуемся приемом - разобьём все дроби(их 60 штук) на пары. Как это будет сделать удобнее всего?

Подсказка 4

Будем брать первое с начала и первое с конца, второе с начала и второе с конца, и т.д. Тогда сумма в каждой паре будет иметь вид 1/(59+k) + 1/(120-k), что равно 179/(59+k)(120-k). Почему в результате сокращения и приведения к общему знаменателю знаменатель всегда будет оставаться кратным 179?

Показать доказательство

a 1 1 1 -1- -1- b =1− 2 + 3 − 4 + ...− 118 + 119 =

1 1 1 1 1 ( 1 1 1 ) = 1+ 2 + 3 + 4 + ...+ 118-+ 119-− 2 2 + 4 + ...+ 118 =

( ) = 1+ 1+ 1 + 1+ ...+ 1--+-1- − 1+ 1+ ...+ 1- = 2 3 4 118 119 1 2 59

1- 1- 1- -1- 1-- = 60 + 61 + 62 + ...+ 118 + 119

В сумме 60 слагаемых, разбиваем их на пары

--1--+ --1---= -----179------ 59+ k 120 − k (59+ k)(120− k)

для любого $k$ от 1 до 30.

a = ---179⋅30---- b 60 ⋅61⋅...⋅119

Так как 179 простое, то получившаяся дробь после сокращения все равно будет иметь в числителе множитель 179 , а значит утверждение доказано.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#75158

Вычислите сумму

∑n k (k+-1)! k=0

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Запишем сначала сумму в привычном нам виде для наглядности. Наша главная цель, чтобы в результате каких-то преобразований и суммирования почти все слагаемые сократились. Подумайте, как бы хорошо было представить каждую дробь в виде разности дробей.

Подсказка 2

Понятно, что скорее всего удобно представить разность со знаменателями вида k! и (k+1)!, потому что тогда слагаемые как раз нужным образом сократятся. Теперь попробуйте угадать или посчитать методом неопределённых коэффициентов числители дробей.

Подсказка 3

Ага, в итоге, у вас получатся разности вида 1/k! - 1/(k+1)!. Теперь осталось только сократить слагаемые и получить ответ. Победа!

Показать ответ и решение

Раскроем нашу сумму: