Тема . Тождественные преобразования

Телескопические ряды: группировка и свёртка слагаемых/множителей

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела тождественные преобразования
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#94375

Найдите сумму

--1--  --2--  --3--      ---1010----
12⋅32 + 32⋅52 + 52⋅72 + ...+ 20192⋅20212.
Показать ответ и решение

Заметим, что

--1----  --1----  4k2-+4k+-1−-4k2-+4k−-1  ------8k------
(2k− 1)2 − (2k+ 1)2 =    (2k− 1)2(2k+ 1)2   = (2k− 1)2(2k+ 1)2

Используем это и преобразуем исходную сумму

   (                                  )
8 ⋅ -21-2 +-222-+ -32-2-+...+---10210--2 =
8   1 ⋅3   3 ⋅5   5 ⋅7       2019 ⋅2021

    (                               )
= 1⋅ -1− -1 +-1 −-1 +...+ --1--− -1---
  8  12  32  32  52      20192  20212

Получаем телескопическую сумму, все члены этой суммы, кроме первого и последнего уходят, значит, она равна

1(     1  )  2020⋅2022
8 1− 20212 = -8⋅20212-.
Ответ:

 2020⋅2022
 8⋅20212

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!