Тема Десятичная запись и цифры

Последняя цифра

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела десятичная запись и цифры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100776Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что при любом $n$ или в записи числа $n3+ n,$ или в записи числа $n3− n$ последняя цифра равна нулю.

Источники: Муницип - 2023, Брянск, 7.5 (см. Докажите, что при любом $n$ или в записи числа $n^3 + n,$ или в записи числа $n^3 - n$)

Показать доказательство

Рассмотрим последние цифры чисел $n3+ n$ и $n3− n$ в зависимости от последней цифры числа $n$ . Результаты удобно расположить в виде следующей таблицы:


$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

$3 n$	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9

$n3+ n$	$0$	2	$0$	$0$	8	$0$	2	$0$	$0$	8

$n3− n$	$0$	$0$	6	4	$0$	$0$	$0$	4	4	$0$

Из полученной таблицы непосредственно видно, что, по крайней мере, одно из чисел $n3+$ $n$ или $n3 − n$ оканчивается нулём.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33108Максимум баллов за задание: 7

Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А от чего зависит последняя цифра произведения нескольких чисел?

Подсказка 2

Как раз от последних цифр чисел, которые мы перемножаем! Рассмотрите все возможные последние цифры двузначных чисел.

Показать ответ и решение

Среди двузначных чисел есть числа, оканчивающиеся на $0$ , например, $10$ . Если мы перемножим несколько чисел, одно из которых оканчивается на $0$ , то результат будет оканчиваться также на $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33109Максимум баллов за задание: 7

Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

А от чего зависит последняя цифра суммы нескольких чисел?

Подсказка 2

От суммы последних цифр чисел, которые мы складываем! А последние цифры могут повторяться?

Подсказка 3

Да! Давайте тогда разобьём все трёхзначные числа на блоки по 10, в них последними цифрами будут 0,1,2,...,9. Посчитайте их сумму.

Подсказка 4

Cколько всего будет таких блоков?

Показать ответ и решение

Разобьем все трехзначные числа на десятки подряд идущих. Рассмотрим один десяток. В этом десятке числа оканчиваются на $0$ , $1$ , $2$ , …, $9$ . Последняя цифра суммы в этом десятке зависит только от последних цифр самих чисел. Поэтому сумма оканчивается на ту же цифру, что и $0+ 1+2+ ...+ 9= 45$ , то есть на $5$ .

Итак, в каждом десятке сумма всех чисел оканчивается на $5$ . Поэтому вместо того, чтобы складывать все трехзначные числа и честно находить последнюю цифру, мы можем сложить только пятерки в количестве, равном количеству десятков. Трехзначных чисел, как мы считали в предыдущих уроках, $900$ , поэтому десятков $900:10= 90$ . Значит, мы должны сложить $90$ пятерок. Но это то же самое, что умножить $5$ на $90$ . Результат оканчивается на $0$ , значит, и сумма всех трехзначных чисел оканчивается на $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33110Максимум баллов за задание: 7

На арифмантике юным волшебникам задали перемножить первые сто простых чисел, к результату прибавить $2019$ и найти последнюю цифру полученной суммы. Сильная волшебница Гермиона справилась с заданием с помощью магии, не перемножая числа. Какой ответ у нее получился? Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два делителя: $1$ и само число.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам нужна лишь последняя цифра суммы, то и у произведения простых чисел нужно знать только последнюю цифру. Попробуйте посмотреть на изменение последней цифры этого произведения при небольшом количестве множителей.

Подсказка 2

Отлично! Из-за того, что числа 2 и 5 простые, то наше произведение точно оканчивается на 0. Тогда чему равна последняя цифра нашей суммы?

Показать ответ и решение

Заметим, что среди первых сто простых чисел есть числа $2$ и $5$ , поэтому произведение ста простых чисел делится и на $2$ , и на $5$ . Тогда это произведение делится на $10$ , значит, оканчивается на $0$ . Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому цифра такая же, как при сложении $0$ и $9$ , то есть $9$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33111Максимум баллов за задание: 7

У Гарри и Рона есть по $9$ карточек с цифрами от $1$ до $9$ . Они составляют из этих карточек число. Своим ходом нужно положить одну из своих карточек слева или справа от уже имеющегося числа. Игра заканчивается, когда получилось $18$ -значное число, то есть когда все карточки выложены на стол. Если получившееся число делится на $5$ , то побеждает Рон, в противном случае побеждает Гарри. Начинает Гарри, кладя любую из своих карточек на стол. Кто из мальчиков может выиграть независимо от действий соперника?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно, чтобы число в конце делилось на 5. Тогда что можно сказать про его последнюю цифру?

Подсказка 2

Верно! Это либо 0, либо 5. Значит, выигрывает тот, кто положит цифру 5 в конец числа и сделает его 18-значным. Тогда кто же из мальчиков является победителем?

Показать ответ и решение

Заметим, что Рон сделает последних ход в этой игре, так как он ходит вторым, а ходов Гарри и Рон сделают поровну. Покажем, как на месте Рона получить последним ходом число, делящееся на $5$ . Прибережем карточку с цифрой $5$ до последнего хода, а остальными карточками будем ходить как угодно. Последним же ходом положим карточку $5$ справа от уже имеющегося числа. Таким образом, полученное $18$ -значное число будет оканчиваться на $5$ , а значит и делиться на $5$ . Значит, Рон победит.

Ответ: Рон

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33115Максимум баллов за задание: 7

В кабинете профессора Макгонагалл написано произведение $1⋅2⋅3⋅...⋅2029$ . Какие числа надо обязательно вычеркнуть из произведения, чтобы значение полученного выражения оканчивалось на $9$ ? Сколько таких чисел?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы хотим, чтобы последняя цифра равнялась 9. Какие числа в произведении могут нам помешать?

Подсказка 2

Например, если оставить двойку, то число получится чётным. Значит, на 9 оно оканчиваться не будет!

Подсказка 3

Нам надо исключить все чётные числа. Что еще нам может помешать?

Подсказка 4

Если число делится на 5, то оно оканчивается либо на 5, либо на 0, что нас не устраивает.

Подсказка 5

Заметим, что числа, оканчивающиеся на 0, являются чётными, значит, в случае делимости на 5 нам достаточно рассмотреть числа с последней цифрой 5. Посчитайте количество всех чётных чисел от 1 до 2029.

Подсказка 6

Это будут числа 2, 4, 6, 8, ... , 2028. А изменится ли их количество, если все числа поделить на 2?

Подсказка 7

Нет, значит, всего чисел будет 1014. Теперь посчитайте количество чисел, оканчивающихся на 5.

Подсказка 8

Можно заметить, что в каждом десятке ровно одно такое число.

Подсказка 9

Осталось только доказать, что произведение остальных чисел действительно будет оканчиваться на 9. Какие могут быть последние цифры в оставшихся числах?

Подсказка 10

Останутся только 1, 3, 7 и 9. Чему равно их произведение?

Подсказка 11

189, как раз оканчивается на 9. Но ведь мы будем умножать не один раз... Какие степени 9 (помимо первой) будут оканчиваться на 9?

Подсказка 12

Например, третья, пятая, седьмая и так далее. Другими словами, нечётные.

Подсказка 13

Попробуйте разбить десятки чисел на пары.

Показать ответ и решение

Во-первых, надо вычеркнуть все четные числа, так как иначе результат будет четным, а значит, он не будет оканчиваться на нечетную цифру $9$ . Во-вторых, надо вычеркнуть все числа, оканчивающиеся на $5$ , иначе результат будет делиться на $5$ , значит, оканчиваться либо на $5$ , либо на $0$ , но никак не на $9$ .

Посчитаем сначала количество четных чисел от $1$ до $2029$ . Это числа $2$ , $4$ , …, $2028$ . Поделим каждое число на $2$ , тогда их количество не изменится. Получим числа $1$ , $2$ , …, $1014$ , коих ровно $1014$ штук, значит, четных чисел от $1$ до $2029$ тоже $1014$ .

Теперь считаем количество чисел от $1$ до $2029$ , оканчивающихся на $5$ . В каждом десятке такое число ровно одно, десятков от $1$ до $2000$ всего $2000:10= 200$ , и еще остались числа $2005$ , $2015$ и $2025$ . Всего получилось $203$ числа. Если сложить их с количеством четных, получится $1014+ 203= 1217$ чисел, которые точно надо вычеркнуть.

Объясним, почему все остальные числа можно оставить. В каждом десятке остались числа, оканчивающиеся на $1$ , $3$ , $7$ и $9$ . Произведение четырех таких чисел оканчивается всегда на $9$ . Поэтому произведение чисел в каждом десятке оканчивается на $9$ .

Разобьем первые $200$ десятков на пары. В каждой паре произведение будет оканчиваться на ту же цифру, что и $9⋅9= 81$ , то есть на $1$ . Перемножая много чисел, оканчивающихся на $1$ , мы все равно будем получать число, оканчивающееся на $1$ . Значит, произведение оставшихся чисел до $2000$ равно $1$ .

Остались еще три полных десятка. В каждом из них произведение оканчивается на $9$ , поэтому произведение оставшихся чисел будет оканчиваться на ту же цифру, что и число $1⋅9⋅9⋅9=729$ , то есть на $9$ . Значит, произведение всех оставшихся чисел после вычеркивания четных и делящихся на $5$ оканчивается на $9$ . Поэтому их смело можно оставлять.

Ответ: Все четные и делящиеся на 5. Таких чисел 1014+203=1217.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33300Максимум баллов за задание: 7

Докажите, что последняя цифра суммы нескольких чисел зависит только от последних цифр самих чисел. То есть чтобы найти последнюю цифру суммы, достаточно смотреть только на последние цифры слагаемых.

Показать ответ и решение

Сложим числа столбиком. Последняя цифра суммы зависит только от последнего столбика. А в этом столбике записаны только последние цифры слагаемых, значит, только от них и зависит последняя цифра.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#39056Максимум баллов за задание: 7

На доске написаны два натуральных числа, сумма которых равна $47531$ . Если из одного числа стереть последнюю цифру, то получится второе. Также известно, что одно из чисел делится на $10$ . Чему равна разность этих чисел?

Показать ответ и решение

Раз одно из чисел делится на $10$ , то оно оканчивается на $0$ . Оба числа не могут оканчиваться на $0$ , иначе их сумма тоже будет оканчиваться на $0$ , а по условию это не так. Получается, что из числа, которое оканчивается на $0$ стирают цифру и получают второе. Таким образом, наши числа имеют вид $x$ и $10x$ . Тогда их сумма равна $11x =47531$ , откуда $x =4321$ . Значит, их разность равна $10x− x= 9x= 9⋅4321= 38889$ .

Ответ: 38889

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#135024Максимум баллов за задание: 7

Произведение цифр натурального числа $n$ равно $x,$ а произведение цифр числа $n +1$ равно $y.$ Может ли так случиться, что произведение цифр некоторого натурального числа $m$ равно $y− 1,$ а произведение цифр числа $m +1$ равно $x− 1?$

Источники: ВСОШ, РЭ, 2022, 11.7 (см. olympiads.mccme.ru)

Показать ответ и решение

Из условия следует, что $x,y ≥1,$ поскольку произведение цифр натурального числа не может быть отрицательным. Следовательно, числа $n$ и $n +1$ не содержат нулей в десятичной записи. Тогда эти числа отличаются лишь последней цифрой, причём у числа $n +1$ она больше на один. Таким образом, $y > x.$ Если $x − 1> 0,$ то, рассуждая аналогично, мы получим, что $y− 1 <x − 1,$ это противоречит доказанному выше. Следовательно, $x − 1= 0.$ Тогда $x= 1,$ и в десятичной записи числа $n$ все цифры равны 1. Отсюда следует, что в числе $n+ 2$ последняя цифра — двойка, а остальные цифры — единицы, поэтому $y =2.$ Значит, $y − 1 =1,$ и число $m$ состоит лишь из единиц. Но тогда число $m +1$ не содержит нулей в десятичной записи. Однако, произведение его цифр равно нулю, противоречие.

Ответ:

не может

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#75750Максимум баллов за задание: 7

В бесконечной последовательности цифр $2,0,1,9,...$ каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предшествующих четырёх цифр этой последовательности. Встретятся ли в этой последовательности:

(a) подряд числа $4,3,2,1$ ;

(b) вторично четвёрка $2,0,1,9$ (в этом же порядке)?

Источники: Звезда - 2021, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Т.к. нам дана последовательность и мы хотим показать, бывает что-то или нет, попробуем найти полуинвариант (то, что нечасто меняется в последовательности в процессе добавления новых элементов).

Пункт а, подсказка 2

У нас появляются новые числа, тогда, быть может, рассмотрим последовательность по какому-нибудь модулю?

Пункт а, подсказка 3

Имеет смысл начать рассматривать с маленьких модулей. Хотим найти последовательность из четырех чисел, они попарно отличаются по модуля 4 и 2 - рассмотрим их!

Пункт б, подсказка

А сколько всего у нас может быть четвёрок? Пробуем доказать, что последовательность периодична!

Показать ответ и решение

a) Последовательность начинается с $2,0,1,9,...$ , рассмотрим остатки цифр при делении на два. Так как каждая цифра, начиная с $5$ -ой, равна последней цифре суммы $4$ предыдущих (т. е. она той же четности, что и сумма $4$ предыдущих), то остатки изменяются следующим образом $0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,...$ . Так как цифра определяется однозначно по $4$ предыдущим, то заметим, что в последовательности остатков возникает период $(0,0,1,1,0)$ .

Но тогда подряд числа $4,3,2,1$ не могли встретиться, их остатки при делении на $2$ равны $0,1,0,1$ соответственно, а такой подпоследовательности нет в периодической последовательности остатков с периодом $(0,0,1,1,0)$ .

b) Различных четверок подряд идущих цифр конечное число, при этом цифра определяется однозначно по $4$ предыдущим. Тогда исходная последовательность цифр периодична.

Также по четырём рядом стоящим цифрам $abcd$ однозначно определяется предшествующая им цифра: это единственная цифра, сравнимая по модулю $10$ с $-- -- d,a,b,c.$ Тогда у последовательности нет предпериода, иначе бы предпериод $x1,x2,...,xm$ - совпадал с несколькими последними цифрами периода $y1,y2,...,yn$ , но тогда просто был неправильно выбран период, нужно было взять период $x1,x2,...,xm,y1,y2,...,yn−m$ и тогда не было бы предпериода.

Ответ:

a) нет

b) да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#40086Максимум баллов за задание: 7

Аня выписала одно за другим $2018$ чисел

1⋅2 2⋅3 3⋅4 2018-⋅2019 2 , 2 , 2 ,..., 2

и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?

Источники: ПВГ-2019, 11.2 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, в задаче надо выяснить, как часто последняя цифра будет 5. Давайте просто возьмем и попробуем написать последние цифры у некоторого количества чисел из последовательности.

Подсказка 2!

Так как нам нужно посчитать, как часто встречается 5, было бы здорово заметить какую-то периодичность... Можно, конечно, просто повыписывать числа, но давайте попробуем проанализировать. Нам даны числа вида N(N+1)/2 и мы хотим чтобы у этого совпала последняя цифра с каким-то (N+X)(N+1+X)/2, это будет значить, что у нас период длины Х!. Что же это может быть за Х...

Подсказка 3!

Ага, нехитрыми алгебраическими вычислениями заметим, что 20 подойдет! Ну все, самое важное мы уже сделали, осталось как-то хитро (или не очень) подсчитать 5ки!

Показать ответ и решение

Поскольку для любого натурального $n$ от $1$ до $(2018− 20)$ разность $(n+20)⋅(n+21)-− n⋅(n+1)= 20n +210 2 2$ делится на $10,$ то числа $(n+20)⋅(n+21) 2$ и $n⋅(n+1) 2$ заканчиваются на одну и ту же цифру, то есть последовательность последних цифр данных в условии чисел периодическая с периодом $T = 20.$

Также заметим, что $n⋅(n+1) 2 = 1+ ...+n.$ Можно легко выписать последние цифры первых $20$ чисел, прибавляя к предыдущему номер текущего числа и беря остаток по модулю $10:1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0.$

В группе из $20$ чисел цифра $5$ встречается $4$ раза. Среди $2018$ чисел есть $100$ групп по $20$ чисел и последняя группа на $18$ чисел, а которой также четыре пятёрки. В итоге всего пятёрок $100⋅4 +4 =404$ штуки.

Ответ:

$404$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#75749Максимум баллов за задание: 7

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.

(a) Какое число оказалось у Маши в конце?

(b) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Нам говорят, что числа у Маши перестали меняться - намекают на уравнение! Попробуйте его составить, грамотно обозначив число, получившееся у Маши.

Пункт а), подсказка 2

Подумайте, как часто такое уравнение имеет решение, если одна из наших переменных - цифра

Пункт б), подсказка 1

Изначально у нас было какое-то гигантское число, а стало 17 ⇒ число уменьшилось. Это произошло из-за того, что у Маши было какое-то специальное число? Или так всегда происходит?

Пункт б), подсказка 2

Верно, большое число всегда уменьшается после применения такой операции. Мы должны получить 17 в какой-то момент, надо бы понять что-то про изначальное число из этого. А какое число могло быть у Маши перед тем, как она получила 17? Видите что-то общее у этих чисел?

Пункт б), подсказка 3

Давайте попробуем доказать в общем виде, что если получилось число, делящееся на 17, то и до этого число делилось на 17. Попробуйте связать (10x + y) и (3x + 2y) так, чтобы там фигурировало 17.

Пункт б), подсказка 4

Можно заметить, что если к 3х + 2y добавить 17x, получится 2(10x + y). То есть изначальное число должно делиться на 17, надо просто найти наименьшее такое ⇒ надо взять 10²⁰¹⁴ и добавить к нему недостающий остаток

Пункт б), подсказка 5

17 - простое число. Помните теорему, помогающую найти остаток от деления на простое число?

Пункт б), подсказка 6

Конечно, это Малая теорема Ферма! Остаётся только представить 2014 в виде 16k + r, и задачка убита!

Показать ответ и решение

a) Пусть в конце осталось число $n$ , оканчивающееся на цифру $y$ . Тогда $n = 10x +y$ после очередной операции станет равным $3x+ 2y.$

Равенство $10x+ y = 3x+ 2y$ равносильно $y = 7x$ и, так как $y$ – цифра, то $y = 7,x= 1$ . Поэтому $n= 17$ .

b) Заметим, что если число $≥ 20$ , тогда оно обязательно уменьшается: $10x +y >3x+ 2y$ равносильно $7x> y$ . (что для $x> 1$ всегда верно). Из соотношения

2(10x+ y)=17x+ 3x+ 2y

следует, что число $10x +y$ делится на $17$ тогда и только тогда, когда $3x+2y$ делится на $17$ . Поскольку стабилизация операции происходит на числе $17$ , то исходное число также должно делиться на $17.$

Найдём наименьшее $2015$ -значное число, которое делится на $17$ . По малой теореме Ферма $16 10 ≡171,$ поэтому

2014 125⋅16 14 14 7 10 = 10 ⋅10 ≡1710 = (17⋅6− 2) ≡17−16⋅8 ≡178

Тогда число $102014+ 9$ - наименьшее число, которое делится на $17$ нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры $09$ .

Ответ:

a) $17$

b) $09$ (число $100...0009$ )

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33303Максимум баллов за задание: 7

Делится ли число $11⋅21⋅31 ⋅41⋅51− 1$ на 10?

Показать ответ и решение

Последняя цифра произведения зависит только от последней цифры сомножителей.

Поэтому последняя цифра произведения $11⋅21⋅31⋅41⋅51$ такая же, как у произведения $1⋅1⋅1⋅1⋅1,$ то есть равна 1. Поэтому разность оканчивается на 0. Значит, это число делится на 2 и на 5, то есть делится и на 10.

Ответ: Да, делится

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#33112Максимум баллов за задание: 7

Драко Малфой показывает Гарри Поттеру фокус. Он просит того задумать натуральное число. Затем прибавить к числу 29. Последнюю цифру результата отбросить. Оставшееся число умножить на 10. К результату прибавить 4. Полученное число умножить на 3. От результата отнять 5. После чего Драко безошибочно угадывает последнюю цифру получившегося числа. Как ему удается этот фокус?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Проделайте фокус самостоятельно: возьмите некоторое натуральное число и выполните все указанные действия.

Подсказка 2

Драко угадывает последнюю цифру, а в какие моменты происходит её изменение?

Подсказка 3

А какой становится последняя цифра числа, когда мы умножаем число на 10?

Показать ответ и решение

Посмотрим на момент, когда Гарри умножает свое число на 10. После этого получившееся число точно оканчивается на 0. Тогда после прибавления 4 результат оканчивается на 4. Далее Гарри умножает число на 3. Последняя цифра результата зависит только от последней цифры умножаемого числа, поэтому эта цифра такая же, как последняя цифра следующего произведения: $4⋅3= 12.$ Значит, последняя цифра будет равна $2$ . Если теперь от результата отнять $5$ , то последняя цифра результата опять же зависит только от последней цифры уменьшаемого, значит, она такая же, как у разности: $12− 5= 7.$ Поэтому последняя цифра результата будет всегда равна $7$ , эту цифру и называет Драко.

Ответ: