Последняя цифра

Во-первых, надо вычеркнуть все четные числа, так как иначе результат будет четным, а значит, он не будет оканчиваться на нечетную цифру . Во-вторых, надо вычеркнуть все числа, оканчивающиеся на , иначе результат будет делиться на , значит, оканчиваться либо на , либо на , но никак не на .

Посчитаем сначала количество четных чисел от до . Это числа , , …, . Поделим каждое число на , тогда их количество не изменится. Получим числа , , …, , коих ровно штук, значит, четных чисел от до тоже .

Теперь считаем количество чисел от до , оканчивающихся на . В каждом десятке такое число ровно одно, десятков от до всего , и еще остались числа , и . Всего получилось числа. Если сложить их с количеством четных, получится чисел, которые точно надо вычеркнуть.

Объясним, почему все остальные числа можно оставить. В каждом десятке остались числа, оканчивающиеся на , , и . Произведение четырех таких чисел оканчивается всегда на . Поэтому произведение чисел в каждом десятке оканчивается на .

Разобьем первые десятков на пары. В каждой паре произведение будет оканчиваться на ту же цифру, что и , то есть на . Перемножая много чисел, оканчивающихся на , мы все равно будем получать число, оканчивающееся на . Значит, произведение оставшихся чисел до равно .

Остались еще три полных десятка. В каждом из них произведение оканчивается на , поэтому произведение оставшихся чисел будет оканчиваться на ту же цифру, что и число , то есть на . Значит, произведение всех оставшихся чисел после вычеркивания четных и делящихся на оканчивается на . Поэтому их смело можно оставлять.