Последняя цифра

a) Последовательность начинается с , рассмотрим остатки цифр при делении на два. Так как каждая цифра, начиная с -ой, равна последней цифре суммы предыдущих (т. е. она той же четности, что и сумма предыдущих), то остатки изменяются следующим образом . Так как цифра определяется однозначно по предыдущим, то заметим, что в последовательности остатков возникает период .

Но тогда подряд числа не могли встретиться, их остатки при делении на равны соответственно, а такой подпоследовательности нет в периодической последовательности остатков с периодом .

b) Различных четверок подряд идущих цифр конечное число, при этом цифра определяется однозначно по предыдущим. Тогда исходная последовательность цифр периодична.

Также по четырём рядом стоящим цифрам однозначно определяется предшествующая им цифра: это единственная цифра, сравнимая по модулю с Тогда у последовательности нет предпериода, иначе бы предпериод - совпадал с несколькими последними цифрами периода , но тогда просто был неправильно выбран период, нужно было взять период и тогда не было бы предпериода.