Последняя цифра
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предшествующих
четырёх цифр этой последовательности. Встретятся ли в этой последовательности:
;
(в этом же порядке)?
Пункт а, подсказка 1
Т.к. нам дана последовательность и мы хотим показать, бывает что-то или нет, попробуем найти полуинвариант (то, что нечасто меняется в последовательности в процессе добавления новых элементов).
Пункт а, подсказка 2
У нас появляются новые числа, тогда, быть может, рассмотрим последовательность по какому-нибудь модулю?
Пункт а, подсказка 3
Имеет смысл начать рассматривать с маленьких модулей. Хотим найти последовательность из четырех чисел, они попарно отличаются по модуля 4 и 2 - рассмотрим их!
Пункт б, подсказка
А сколько всего у нас может быть четвёрок? Пробуем доказать, что последовательность периодична!
a) Последовательность начинается с 
, рассмотрим остатки цифр при делении на два. Так как каждая цифра, начиная с 
-ой,
равна последней цифре суммы 
предыдущих (т. е. она той же четности, что и сумма 
предыдущих), то остатки изменяются следующим
образом 
. Так как цифра определяется однозначно по 
предыдущим, то заметим, что в последовательности
остатков возникает период 
.
Но тогда подряд числа 
не могли встретиться, их остатки при делении на 
равны 
соответственно, а такой
подпоследовательности нет в периодической последовательности остатков с периодом 
.
b) Различных четверок подряд идущих цифр конечное число, при этом цифра определяется однозначно по 
предыдущим. Тогда
исходная последовательность цифр периодична.
Также по четырём рядом стоящим цифрам 
однозначно определяется предшествующая им цифра: это единственная цифра,
сравнимая по модулю 
с 
Тогда у последовательности нет предпериода, иначе бы предпериод 
- совпадал с
несколькими последними цифрами периода 
, но тогда просто был неправильно выбран период, нужно было взять период
и тогда не было бы предпериода.
a) нет
b) да
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
