Тема Десятичная запись и цифры

Последняя цифра

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела десятичная запись и цифры

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#100776

Докажите, что при любом $n$ или в записи числа $n3+ n,$ или в записи числа $n3− n$ последняя цифра равна нулю.

Источники: Муницип - 2023, Брянск, 7.5 (см. Докажите, что при любом $n$ или в записи числа $n^3 + n,$ или в записи числа $n^3 - n$)

Показать доказательство

Рассмотрим последние цифры чисел $n3+ n$ и $n3− n$ в зависимости от последней цифры числа $n$ . Результаты удобно расположить в виде следующей таблицы:


$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

$3 n$	0	1	8	7	4	5	6	3	2	9

$n3+ n$	$0$	2	$0$	$0$	8	$0$	2	$0$	$0$	8

$n3− n$	$0$	$0$	6	4	$0$	$0$	$0$	4	4	$0$

Из полученной таблицы непосредственно видно, что, по крайней мере, одно из чисел $n3+$ $n$ или $n3 − n$ оканчивается нулём.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#33108

Какой цифрой оканчивается произведение всех двузначных чисел?

Показать ответ и решение

Среди двузначных чисел есть числа, оканчивающиеся на $0$ , например, $10$ . Если мы перемножим несколько чисел, одно из которых оканчивается на $0$ , то результат будет оканчиваться также на $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#33109

Какой цифрой оканчивается сумма всех трехзначных чисел?

Показать ответ и решение

Разобьем все трехзначные числа на десятки подряд идущих. Рассмотрим один десяток. В этом десятке числа оканчиваются на $0$ , $1$ , $2$ , …, $9$ . Последняя цифра суммы в этом десятке зависит только от последних цифр самих чисел. Поэтому сумма оканчивается на ту же цифру, что и $0+ 1+2+ ...+ 9= 45$ , то есть на $5$ .

Итак, в каждом десятке сумма всех чисел оканчивается на $5$ . Поэтому вместо того, чтобы складывать все трехзначные числа и честно находить последнюю цифру, мы можем сложить только пятерки в количестве, равном количеству десятков. Трехзначных чисел, как мы считали в предыдущих уроках, $900$ , поэтому десятков $900:10= 90$ . Значит, мы должны сложить $90$ пятерок. Но это то же самое, что умножить $5$ на $90$ . Результат оканчивается на $0$ , значит, и сумма всех трехзначных чисел оканчивается на $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#33110

На арифмантике юным волшебникам задали перемножить первые сто простых чисел, к результату прибавить $2019$ и найти последнюю цифру полученной суммы. Сильная волшебница Гермиона справилась с заданием с помощью магии, не перемножая числа. Какой ответ у нее получился? Натуральное число называется простым, если оно имеет ровно два делителя: $1$ и само число.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз нам нужна лишь последняя цифра суммы, то и у произведения простых чисел нужно знать только последнюю цифру. Попробуйте посмотреть на изменение последней цифры этого произведения при небольшом количестве множителей.

Подсказка 2

Отлично! Из-за того, что числа 2 и 5 простые, то наше произведение точно оканчивается на 0. Тогда чему равна последняя цифра нашей суммы?

Показать ответ и решение

Заметим, что среди первых сто простых чисел есть числа $2$ и $5$ , поэтому произведение ста простых чисел делится и на $2$ , и на $5$ . Тогда это произведение делится на $10$ , значит, оканчивается на $0$ . Последняя цифра суммы зависит только от последних цифр слагаемых, поэтому цифра такая же, как при сложении $0$ и $9$ , то есть $9$ .

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33111

У Гарри и Рона есть по $9$ карточек с цифрами от $1$ до $9$ . Они составляют из этих карточек число. Своим ходом нужно положить одну из своих карточек слева или справа от уже имеющегося числа. Игра заканчивается, когда получилось $18$ -значное число, то есть когда все карточки выложены на стол. Если получившееся число делится на $5$ , то побеждает Рон, в противном случае побеждает Гарри. Начинает Гарри, кладя любую из своих карточек на стол. Кто из мальчиков может выиграть независимо от действий соперника?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам нужно, чтобы число в конце делилось на 5. Тогда что можно сказать про его последнюю цифру?

Подсказка 2

Верно! Это либо 0, либо 5. Значит, выигрывает тот, кто положит цифру 5 в конец числа и сделает его 18-значным. Тогда кто же из мальчиков является победителем?

Показать ответ и решение

Заметим, что Рон сделает последних ход в этой игре, так как он ходит вторым, а ходов Гарри и Рон сделают поровну. Покажем, как на месте Рона получить последним ходом число, делящееся на $5$ . Прибережем карточку с цифрой $5$ до последнего хода, а остальными карточками будем ходить как угодно. Последним же ходом положим карточку $5$ справа от уже имеющегося числа. Таким образом, полученное $18$ -значное число будет оканчиваться на $5$ , а значит и делиться на $5$ . Значит, Рон победит.

Ответ: Рон

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#33115

В кабинете профессора Макгонагалл написано произведение $1⋅2⋅3⋅...⋅2029$ . Какие числа надо обязательно вычеркнуть из произведения, чтобы значение полученного выражения оканчивалось на $9$ ? Сколько таких чисел?

Показать ответ и решение

Во-первых, надо вычеркнуть все четные числа, так как иначе результат будет четным, а значит, он не будет оканчиваться на нечетную цифру $9$ . Во-вторых, надо вычеркнуть все числа, оканчивающиеся на $5$ , иначе результат будет делиться на $5$ , значит, оканчиваться либо на $5$ , либо на $0$ , но никак не на $9$ .

Посчитаем сначала количество четных чисел от $1$ до $2029$ . Это числа $2$ , $4$ , …, $2028$ . Поделим каждое число на $2$ , тогда их количество не изменится. Получим числа $1$ , $2$ , …, $1014$ , коих ровно $1014$ штук, значит, четных чисел от $1$ до $2029$ тоже $1014$ .

Теперь считаем количество чисел от $1$ до $2029$ , оканчивающихся на $5$ . В каждом десятке такое число ровно одно, десятков от $1$ до $2000$ всего $2000:10= 200$ , и еще остались числа $2005$ , $2015$ и $2025$ . Всего получилось $203$ числа. Если сложить их с количеством четных, получится $1014+ 203= 1217$ чисел, которые точно надо вычеркнуть.

Объясним, почему все остальные числа можно оставить. В каждом десятке остались числа, оканчивающиеся на $1$ , $3$ , $7$ и $9$ . Произведение четырех таких чисел оканчивается всегда на $9$ . Поэтому произведение чисел в каждом десятке оканчивается на $9$ .

Разобьем первые $200$ десятков на пары. В каждой паре произведение будет оканчиваться на ту же цифру, что и $9⋅9= 81$ , то есть на $1$ . Перемножая много чисел, оканчивающихся на $1$ , мы все равно будем получать число, оканчивающееся на $1$ . Значит, произведение оставшихся чисел до $2000$ равно $1$ .

Остались еще три полных десятка. В каждом из них произведение оканчивается на $9$ , поэтому произведение оставшихся чисел будет оканчиваться на ту же цифру, что и число $1⋅9⋅9⋅9=729$ , то есть на $9$ . Значит, произведение всех оставшихся чисел после вычеркивания четных и делящихся на $5$ оканчивается на $9$ . Поэтому их смело можно оставлять.

Ответ: Все четные и делящиеся на 5. Таких чисел 1014+203=1217.

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33300

Докажите, что последняя цифра суммы нескольких чисел зависит только от последних цифр самих чисел. То есть чтобы найти последнюю цифру суммы, достаточно смотреть только на последние цифры слагаемых.

Показать ответ и решение

Сложим числа столбиком. Последняя цифра суммы зависит только от последнего столбика. А в этом столбике записаны только последние цифры слагаемых, значит, только от них и зависит последняя цифра.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#39056

На доске написаны два натуральных числа, сумма которых равна $47531$ . Если из одного числа стереть последнюю цифру, то получится второе. Также известно, что одно из чисел делится на $10$ . Чему равна разность этих чисел?

Показать ответ и решение

Раз одно из чисел делится на $10$ , то оно оканчивается на $0$ . Оба числа не могут оканчиваться на $0$ , иначе их сумма тоже будет оканчиваться на $0$ , а по условию это не так. Получается, что из числа, которое оканчивается на $0$ стирают цифру и получают второе. Таким образом, наши числа имеют вид $x$ и $10x$ . Тогда их сумма равна $11x =47531$ , откуда $x =4321$ . Значит, их разность равна $10x− x= 9x= 9⋅4321= 38889$ .

Ответ: 38889

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#75750

В бесконечной последовательности цифр $2,0,1,9,...$ каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предшествующих четырёх цифр этой последовательности. Встретятся ли в этой последовательности:

(a) подряд числа $4,3,2,1$ ;

(b) вторично четвёрка $2,0,1,9$ (в этом же порядке)?

Источники: Звезда - 2021, 11.4 (см. zv.susu.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Т.к. нам дана последовательность и мы хотим показать, бывает что-то или нет, попробуем найти полуинвариант (то, что нечасто меняется в последовательности в процессе добавления новых элементов).

Пункт а, подсказка 2

У нас появляются новые числа, тогда, быть может, рассмотрим последовательность по какому-нибудь модулю?

Пункт а, подсказка 3

Имеет смысл начать рассматривать с маленьких модулей. Хотим найти последовательность из четырех чисел, они попарно отличаются по модуля 4 и 2 - рассмотрим их!

Пункт б, подсказка

А сколько всего у нас может быть четвёрок? Пробуем доказать, что последовательность периодична!

Показать ответ и решение

a) Последовательность начинается с $2,0,1,9,...$ , рассмотрим остатки цифр при делении на два. Так как каждая цифра, начиная с $5$ -ой, равна последней цифре суммы $4$ предыдущих (т. е. она той же четности, что и сумма $4$ предыдущих), то остатки изменяются следующим образом $0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,...$ . Так как цифра определяется однозначно по $4$ предыдущим, то заметим, что в последовательности остатков возникает период $(0,0,1,1,0)$ .

Но тогда подряд числа $4,3,2,1$ не могли встретиться, их остатки при делении на $2$ равны $0,1,0,1$ соответственно, а такой подпоследовательности нет в периодической последовательности остатков с периодом $(0,0,1,1,0)$ .

b) Различных четверок подряд идущих цифр конечное число, при этом цифра определяется однозначно по $4$ предыдущим. Тогда исходная последовательность цифр периодична.

Также по четырём рядом стоящим цифрам $abcd$ однозначно определяется предшествующая им цифра: это единственная цифра, сравнимая по модулю $10$ с $-- -- d,a,b,c.$ Тогда у последовательности нет предпериода, иначе бы предпериод $x1,x2,...,xm$ - совпадал с несколькими последними цифрами периода $y1,y2,...,yn$ , но тогда просто был неправильно выбран период, нужно было взять период $x1,x2,...,xm,y1,y2,...,yn−m$ и тогда не было бы предпериода.

Ответ:

a) нет

b) да

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40086

Аня выписала одно за другим $2018$ чисел

1⋅2 2⋅3 3⋅4 2018-⋅2019 2 , 2 , 2 ,..., 2

и вычислила их. Сколько из получившихся чисел имеют в десятичной записи последнюю цифру 5?

Источники: ПВГ-2019, 11.2 (см. rsr-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

Итак, в задаче надо выяснить, как часто последняя цифра будет 5. Давайте просто возьмем и попробуем написать последние цифры у некоторого количества чисел из последовательности.

Подсказка 2!

Так как нам нужно посчитать, как часто встречается 5, было бы здорово заметить какую-то периодичность... Можно, конечно, просто повыписывать числа, но давайте попробуем проанализировать. Нам даны числа вида N(N+1)/2 и мы хотим чтобы у этого совпала последняя цифра с каким-то (N+X)(N+1+X)/2, это будет значить, что у нас период длины Х!. Что же это может быть за Х...

Подсказка 3!

Ага, нехитрыми алгебраическими вычислениями заметим, что 20 подойдет! Ну все, самое важное мы уже сделали, осталось как-то хитро (или не очень) подсчитать 5ки!

Показать ответ и решение

Поскольку для любого натурального $n$ от $1$ до $(2018− 20)$ разность $(n+20)⋅(n+21)-− n⋅(n+1)= 20n +210 2 2$ делится на $10,$ то числа $(n+20)⋅(n+21) 2$ и $n⋅(n+1) 2$ заканчиваются на одну и ту же цифру, то есть последовательность последних цифр данных в условии чисел периодическая с периодом $T = 20.$

Также заметим, что $n⋅(n+1) 2 = 1+ ...+n.$ Можно легко выписать последние цифры первых $20$ чисел, прибавляя к предыдущему номер текущего числа и беря остаток по модулю $10:1,3,6,0,5,1,8,6,5,5,6,8,1,5,0,6,3,1,0,0.$

В группе из $20$ чисел цифра $5$ встречается $4$ раза. Среди $2018$ чисел есть $100$ групп по $20$ чисел и последняя группа на $18$ чисел, а которой также четыре пятёрки. В итоге всего пятёрок $100⋅4 +4 =404$ штуки.

Ответ:

$404$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#75749

Маша, скучая на уроке математики, проделала с некоторым 2015-значным натуральным числом следующую операцию: от десятичной записи этого числа она отбросила последнюю цифру и к умноженному на 3 получившемуся числу прибавила удвоенную отброшенную цифру. С полученным числом она опять проделала ту же операцию и так далее. После многократного применения этой операции получающиеся у Маши числа перестали меняться, и тогда она остановилась.

(a) Какое число оказалось у Маши в конце?

(b) Какое наименьшее число могло быть у Маши в самом начале (укажите две его последние цифры)?

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Нам говорят, что числа у Маши перестали меняться - намекают на уравнение! Попробуйте его составить, грамотно обозначив число, получившееся у Маши.

Пункт а), подсказка 2

Подумайте, как часто такое уравнение имеет решение, если одна из наших переменных - цифра

Пункт б), подсказка 1

Изначально у нас было какое-то гигантское число, а стало 17 ⇒ число уменьшилось. Это произошло из-за того, что у Маши было какое-то специальное число? Или так всегда происходит?

Пункт б), подсказка 2

Верно, большое число всегда уменьшается после применения такой операции. Мы должны получить 17 в какой-то момент, надо бы понять что-то про изначальное число из этого. А какое число могло быть у Маши перед тем, как она получила 17? Видите что-то общее у этих чисел?

Пункт б), подсказка 3

Давайте попробуем доказать в общем виде, что если получилось число, делящееся на 17, то и до этого число делилось на 17. Попробуйте связать (10x + y) и (3x + 2y) так, чтобы там фигурировало 17.

Пункт б), подсказка 4

Можно заметить, что если к 3х + 2y добавить 17x, получится 2(10x + y). То есть изначальное число должно делиться на 17, надо просто найти наименьшее такое ⇒ надо взять 10²⁰¹⁴ и добавить к нему недостающий остаток

Пункт б), подсказка 5

17 - простое число. Помните теорему, помогающую найти остаток от деления на простое число?

Пункт б), подсказка 6

Конечно, это Малая теорема Ферма! Остаётся только представить 2014 в виде 16k + r, и задачка убита!

Показать ответ и решение

a) Пусть в конце осталось число $n$ , оканчивающееся на цифру $y$ . Тогда $n = 10x +y$ после очередной операции станет равным $3x+ 2y.$

Равенство $10x+ y = 3x+ 2y$ равносильно $y = 7x$ и, так как $y$ – цифра, то $y = 7,x= 1$ . Поэтому $n= 17$ .

b) Заметим, что если число $≥ 20$ , тогда оно обязательно уменьшается: $10x +y >3x+ 2y$ равносильно $7x> y$ . (что для $x> 1$ всегда верно). Из соотношения

2(10x+ y)=17x+ 3x+ 2y

следует, что число $10x +y$ делится на $17$ тогда и только тогда, когда $3x+2y$ делится на $17$ . Поскольку стабилизация операции происходит на числе $17$ , то исходное число также должно делиться на $17.$

Найдём наименьшее $2015$ -значное число, которое делится на $17$ . По малой теореме Ферма $16 10 ≡171,$ поэтому

2014 125⋅16 14 14 7 10 = 10 ⋅10 ≡1710 = (17⋅6− 2) ≡17−16⋅8 ≡178

Тогда число $102014+ 9$ - наименьшее число, которое делится на $17$ нацело, значит, это и будет наименьшее число, которое могла выписать Маша. Его последние две цифры $09$ .

Ответ:

a) $17$

b) $09$ (число $100...0009$ )

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#33303

Делится ли число $11⋅21⋅31 ⋅41⋅51− 1$ на 10?

Показать ответ и решение

Последняя цифра произведения зависит только от последней цифры сомножителей.

Поэтому последняя цифра произведения $11⋅21⋅31⋅41⋅51$ такая же, как у произведения $1⋅1⋅1⋅1⋅1,$ то есть равна 1. Поэтому разность оканчивается на 0. Значит, это число делится на 2 и на 5, то есть делится и на 10.

Ответ: Да, делится

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#33112

Драко Малфой показывает Гарри Поттеру фокус. Он просит того задумать натуральное число. Затем прибавить к числу 29. Последнюю цифру результата отбросить. Оставшееся число умножить на 10. К результату прибавить 4. Полученное число умножить на 3. От результата отнять 5. После чего Драко безошибочно угадывает последнюю цифру получившегося числа. Как ему удается этот фокус?

Показать ответ и решение

Посмотрим на момент, когда Гарри умножает свое число на 10. После этого получившееся число точно оканчивается на 0. Тогда после прибавления 4 результат оканчивается на 4. Далее Гарри умножает число на 3. Последняя цифра результата зависит только от последней цифры умножаемого числа, поэтому эта цифра такая же, как последняя цифра следующего произведения: $4⋅3= 12.$ Значит, последняя цифра будет равна $2$ . Если теперь от результата отнять $5$ , то последняя цифра результата опять же зависит только от последней цифры уменьшаемого, значит, она такая же, как у разности: $12− 5= 7.$ Поэтому последняя цифра результата будет всегда равна $7$ , эту цифру и называет Драко.

Ответ:

Предыдущий раздел

Следующий раздел