Рассуждения от противного
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На праздник каждый из 14 первокурсников подарил по одному подарку своим 7 товарищам. Докажите, что какие-то два первокурсника обменялись подарками.
Подсказка 1
Каким способом было бы удобнее решать данную задачу?
Подсказка 2
А что, если попробовать пойти от противного?
Подсказка 3
Тогда 2 произвольных первокурсника либо не обменивались подарками, либо только один из них подарил подарок другому. Как нам это может помочь?
Подсказка 4
Например, ясно, что в каждой такой паре было подарено не более одного подарка. Как из этого можно получить противоречие?
Подсказка 5
А давайте вычислим наибольшее количество подарков, которое могло быть подарено всеми первокурсниками! Сколько всего можно составить пар первокурсников?
Подсказка 6
Это то же самое, что количество сочетаний по 2 из 14.
Подсказка 7
А какое количество подарков было подарено по условию?
Докажем утверждение от противного. Предположим, что никакие два первокурсника не обменялись подарками.
Это означает, что для любой пары первокурсников 
возможен только один из трех сценариев:
дарит подарок 
но 
не дарит подарок 
дарит подарок 
но 
не дарит подарок 
- Никто из них не дарит друг другу подарок.
Таким образом, в каждой паре первокурсников может быть подарен не более одного подарка.
Найдем общее количество всех возможных пар первокурсников. Их 14, поэтому число пар равно:
Так как в каждой из 91 пары может быть сделан максимум один подарок, то общее количество подарков во всей группе не может превышать 91.
Теперь посчитаем, сколько подарков было сделано на самом деле по условию задачи. Каждый из 14 первокурсников подарил по 7 подарков:
Итак, с одной стороны, из нашего предположения следует, что всего было сделано не более 91 подарка. С другой стороны, по условию
задачи было сделано ровно 98 подарков. Мы получили противоречие (
что является неверным).
Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, обязательно найдутся два первокурсника, которые обменялись подарками.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
