Рассуждения от противного

Предположим противное. Тогда сумма всех чисел в тетрадке равна

откуда то есть Рассмотрим число для него было выписано в тетрадку число откуда Но тогда в тетрадку было выписано число При этом а значит, и число отрицательное. Противоречие.

Пусть – веса всех гирь. Предположим, что для любого Тогда

Это противоречит тому, что суммарный вес гирь равен 1кг.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть не найдется 9 ящиков с предметами одного вида.

Это означает, что для каждого из трех видов предметов (безоары, акониты, лунные камни) количество ящиков, в которых они хранятся, строго меньше 9. То есть, для каждого вида предметов существует не более 8 ящиков.

Пусть — количество ящиков с безоарами, — с аконитами, и — с лунными камнями. Согласно нашему предположению:

Тогда максимальное общее количество ящиков, которое могло бы быть при таком условии, равно:

Таким образом, из нашего предположения следует, что общее число ящиков в Хогвартсе не может превышать 24.

Однако по условию задачи всего 25 ящиков. Мы получили противоречие: общее количество ящиков должно быть одновременно равно 25 и не превышать 24.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, обязательно найдется вид предметов, который хранится как минимум в 9 ящиках.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что утверждение неверно, то есть не найдется ящика, в котором будет хотя бы два предмета одного вида.

Это означает, что в каждом ящике может находиться не более одного безоара, не более одного аконита и не более одного лунного камня. Таким образом, максимальное количество предметов в любом одном ящике не может превышать

Если в каждом из 25 ящиков находится не более 3 предметов, то максимальное общее количество предметов во всех ящиках составляет:

Таким образом, из нашего предположения следует, что общее число предметов не может быть больше 75. Однако по условию задачи всего предметов было ровно 77. Мы получили противоречие, так как является неверным.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, обязательно найдется ящик, в котором будет хотя бы два предмета одного вида.

Докажем утверждение от противного. Предположим, что никакие два первокурсника не обменялись подарками.

Это означает, что для любой пары первокурсников возможен только один из трех сценариев:

• дарит подарок но не дарит подарок
• дарит подарок но не дарит подарок
• Никто из них не дарит друг другу подарок.

Таким образом, в каждой паре первокурсников может быть подарен не более одного подарка.

Найдем общее количество всех возможных пар первокурсников. Их 14, поэтому число пар равно:

Так как в каждой из 91 пары может быть сделан максимум один подарок, то общее количество подарков во всей группе не может превышать 91.

Теперь посчитаем, сколько подарков было сделано на самом деле по условию задачи. Каждый из 14 первокурсников подарил по 7 подарков:

Итак, с одной стороны, из нашего предположения следует, что всего было сделано не более 91 подарка. С другой стороны, по условию задачи было сделано ровно 98 подарков. Мы получили противоречие ( что является неверным).

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, обязательно найдутся два первокурсника, которые обменялись подарками.

Докажем от противного: пусть все собрали разное число орехов. Упорядочим количество собранных орехов: пусть —наименьшее количество орехов, собранное одним из человека, - количество орехов на -ом месте в упорядоченном наборе орехов:

При этом тогда ведь по предположению количество орехов ни у кого не совпадает. Аналогично ставим ограничения и на другие получим, что а Но тогда сумма собранных орехов будет не меньше, чем

Мы получили противоречие, а значит, что найдутся хотя бы 2 человека, кто собрал одинаковое количество орехов.

Допустим, различных остатков не больше Тогда, так как найдется хотя бы одинаковых остатков. Пусть это остатки сумм Но тогда различны остатка сумм, получаемых удалением наибольших слагаемых из сумм

Предположим обратное, то есть пусть в каком-то доме не найдётся двух знакомых друг с другом общительных жителей и не найдётся двух незнакомых друг с другом необщительных жителей.

С одной стороны, это значит, что общительные жители не знакомы друг с другом, то есть все знакомые общительных жителей — это необщительные жители. С другой стороны, что все необщительные жители знакомы друг с другом.

Рассмотрим какого-нибудь общительного жителя. У него не менее десяти знакомых, каждый из которых — необщительный человек. То есть в доме есть не менее десяти необщительных жителей. При этом каждый из них знаком с остальными необщительными жителями, которых не менее девяти, и с общительным жителем. Отсюда у каждого такого необщительного жителя не менее десяти знакомых, что противоречит определению необщительного человека. Получили противоречие, значит, наше предположение неверно.

Первое решение.

Заметим, что на кубиках буквы М, А, Т встречаются раз, а на каждой из четырёх граней длиной эти буквы встречаются по раза, то есть всего раз каждая. Тогда получается, что на каких-то из граней внутренне примыкающих или внешних, по одной букве М, А, Т. Но кубики не могут по ним примыкать друг к другу, а значит, это кубики на внешней грани ширины но таких граней а букв противоречие. Значит, такого не бывает.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

В слове М А Т Е М А Т И К буквы М, А, Т встречаются ровно по два раза, а буквы Е, И, К — по одному. Всего на 9 кубиках Е, И, К встретятся по 9 раз каждая. Если нужный Васе параллелепипед будет-таки сложен, то на четырёх его гранях длины 9 каждая из этих букв встретится по 4 раза, и ещё чётное количество раз — на прикладываемых друг к другу гранях, то есть всего чётное количество раз. Следовательно, каждая из букв Е, И, К должна встретиться хотя бы раз на торцевых гранях параллелепипеда размера 1 на 1. Но торцевых граней всего две, а букв Е, И, К — три, противоречие. Следовательно, искомый в условии параллелепипед сложить нельзя ни для какого набора из 9 кубиков.

Пойдём от противного, предположим, что такое возможно. Без ограничения общности можно считать, что число 1 покрашено в красный. Выберем произвольное число покрашенное в синий. Заметим, что тогда должно быть зелёного цвета, — синего, — зелёного и т.д. Таким образом, все числа, большие покрашены в синий или зелёный цвет. С другой стороны, так как покрашен в синий цвет, a — в зелёный, то число должно быть покрашено в красный цвет, противоречие. Значит, такое невозможно.

Пусть такая ситуация возможна. Заметим, что вершин какого-то цвета, например, красного, не больше 5. Тогда количество отрезков, у которых оба конца красного цвета, не больше

С другой стороны, для каждой вершины 11-угольника найдутся такие вершины и красного цвета, что Заметим, что точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку и никакая другая вершина 11-угольника на этом перпендикуляре не лежит. Значит, количество отрезков с концами в вершинах красного цвета должно быть не меньше количества вершин, т.е. 11. Противоречие для вершин с общими красными концами. В силу «симметрии» задачи аналогичные рассуждения можно выполнить и для отрезков с обоими синими концами.

Пронумеруем людей по кругу числами . Теперь расположим их по кругу в последовательности . Заметим, что разности между числами соседей в этом кругу равны в некотором порядке. Пойдем от человека с номером 1 по этому кругу, каждый раз мы либо уменьшаем либо увеличиваем число на лбу на одну из разностей. Тогда через семь шагов суммарно мы должны сместиться на 0. Но среди смещений ровно три были на нечетное число, значит, мы три раза сменили четность. Противоречие. Значит, кто-то сказал неправду.

Первое решение. Предположим противное. Пусть существует такая раскраска натуральных чисел больше 1000 в красный и синий цвета, что произведение любых двух различных красных чисел синее, и никакие два синих числа не отличаются на 1.

Если число синее, то числа и обязаны быть красными. Тогда их произведение должно быть синим, а значит, должно быть красным.

Возьмём любое синее число Тогда красное. Если синее, то красное. Но где и красные, значит, должно быть синим. Тогда красное, но — произведение красных чисел, что невозможно.

Если же красное, то синее, а красное. Так как

где и красные, то и должны быть синими. Тогда и красные, но — произведение красных чисел, что приводит к противоречию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Предположим, что такая раскраска существует. Если и различные красные числа, то синее, а красное.

Цвета не могут строго чередоваться по чётности, поэтому найдутся два красных числа и одинаковой чётности. Тогда красное,

красное, а

синее.

С другой стороны,

красное, значит,

синее. Получаем соседние синие числа и что противоречит условию.

Способ 1. Предположим, что никакие двое не родились в один месяц. Тогда все человек родились в разные месяцы, значит, всего должно существовать хотя бы месяцев. Но месяцев всего , противоречие. Значит, какие-то двое первокурсников родились в один месяц.

Способ 2. Вновь предположим противное, то есть что никакие двое не родились в один месяц. Всего месяцев . Если в каждый месяц родилось не более одного первокурсника, то всего первокурсников не больше, чем месяцев, то есть не больше . Но по условию их , противоречие. Значит, все-таки какие-то двое первокурсников родились в один месяц.

Пронумеруем места, на которых лежат шарики, номерами от до . Предположим, что любые два соседних шарика разного цвета. Тогда цвета чередуются, и расстановка такая: …-К-С-К-С-…Таким образом, все шарики на нечетных местах одного цвета, а на четных другого. Но шарики с номерами и тогда одного цвета, и они лежат рядом, противоречие. Таким образом, какие-то два одноцветных шарика все-таки лежат рядом.

Предположим, что никакие двое мальчиков не сидят друг напротив друга. Тогда напротив каждого мальчика сидит девочка. Значит, девочек хотя бы столько же, сколько мальчиков, то есть . В сумме получается хотя бы ученика, но по условию их всего . Мы получили противоречие, таким образом, наше предположение неверно, и какие-то двое мальчиков все-таки сидят друг напротив друга.

Предположим, что какому-то инопланетянину достались сразу три банана. Тогда он получил по банану и от Лосяша, и от Бараша, и от Пина.

Заметим, что тройки людей, которых выбирали Лосяш и Бараш, пересекались только по инопланетянину . Действительно, пусть есть еще какой-то инопланетянин , которого выбирал и Лосяш, и Бараш. Тогда либо он выше, чем , и Лосяш дал бы банан , а не , либо ниже, чем , и тогда Бараш дал бы банан , а не .

Тогда, раз тройки соседей пересекаются только по одному инопланетянину , то и Бараш, и Лосяш выбирали по инопланетянину, который стоит от через одного, причем они выбрали разных людей. Другими словами, картинка выглядит так:

и кто-то выбрал , , , а кто-то , , .

Рассмотрим два случая. Первый случай, когда тройку , , выбрал Лосяш. Тогда инопланетянин ниже, чем . В этом случае тройку , , выбрал Бараш, и тогда ниже, чем .

Второй случай, когда тройку , , выбрал Бараш. Тогда инопланетянин выше, чем , а инопланетянин выше, чем , так как тройку , , выбрал Лосяш, и в этой тройке самый высокий.

Заметим, что в обоих случаях мы получили, что кто-то из инопланетян и выше, чем , а кто-то ниже.

Если досталось три банана, то ему достался банан и от Пина. Тогда в пятерку, выбираемую Пином, входили и инопланетянин , и инопланетянин . Но как мы выяснили выше, один из них выше , а другой ниже. Значит, в этой пятерке не является ни самым высоким, ни самым низким. Тогда ему не мог достаться банан. Мы пришли к противоречию, значит, никому из инопланетян не могли достаться сразу три банана.

Предположим противное. Понятно, что в соседних вершинах с восьмёркой стоят числа в некотором порядке. Единица не может стоять рядом с значит она стоит в вершине, противоположной вершине с восьмёркой. Двойка должна стоять рядом с единицей, но тогда она обязательно стоит по соседству с или противоречие.

Первое решение. Докажем, что Предположим противное: ( по условию). Не умаляя общности, Сложив данные в условии задачи неравенства, получим т.е. Следовательно, Но тогда – противоречие.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Сложив данные в условии задачи неравенства, получим: Преобразуем данные неравенства к виду: и и перемножим (это можно, так как их правые части положительны). Получим:

Раскрывая скобки, имеем:

откуда

или

Так как то значит

Следовательно,

Первое решение. Сложив данные неравенства, мы получим: Преобразуем данные неравенства к виду:

и

и перемножим (это можно делать, так как их правые части положительны). Имеем:

Так как то то есть Поэтому

Значит, — положительно.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Докажем, что Предположим противное:

( по условию). Не умоляя общности, Сложив данные неравенства, получим т.е. Следовательно, Но тогда — противоречие.