Рассуждения от противного

Первое решение. Предположим противное. Пусть существует такая раскраска натуральных чисел больше 1000 в красный и синий цвета, что произведение любых двух различных красных чисел синее, и никакие два синих числа не отличаются на 1.

Если число синее, то числа и обязаны быть красными. Тогда их произведение должно быть синим, а значит, должно быть красным.

Возьмём любое синее число Тогда красное. Если синее, то красное. Но где и красные, значит, должно быть синим. Тогда красное, но — произведение красных чисел, что невозможно.

Если же красное, то синее, а красное. Так как

где и красные, то и должны быть синими. Тогда и красные, но — произведение красных чисел, что приводит к противоречию.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Предположим, что такая раскраска существует. Если и различные красные числа, то синее, а красное.

Цвета не могут строго чередоваться по чётности, поэтому найдутся два красных числа и одинаковой чётности. Тогда красное,

красное, а

синее.

С другой стороны,

красное, значит,

синее. Получаем соседние синие числа и что противоречит условию.