Комбинаторика и теория чисел на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество восьмизначных чисел, произведение цифр которых равно 
Ответ необходимо представить в виде целого
числа.
Подсказка 1
Разложим 1400 на простые множители, чтобы посмотреть, какие вообще наборы цифр есть для того, чтобы составить нужные по условию числа.
Подсказка 2
Отлично, получается 3 набора: "22255711", "42557111" и "85571111". Перестановкой цифр в каждом наборе мы получаем нужное число. Поработаем с первым набором: допустим, в нем все цифры разные, тогда подошло бы 8! чисел. Но теперь заметим, что не все цифры одинаковые, например, двойки повторяются 3 раза. Это значит, что на самом деле подходящих чисел в 3! раз меньше. То же проделаем и с пятерками (и с единичками тоже).
Подсказка 3
Отлично, в первом наборе получили 8! / (3! * 2! * 2!) вариантов. Аналогично считаем варианты и в втором, и в третьем наборах. Теперь остается сложить все эти варианты и получить итоговый ответ.
Разложим 
на множители. 
Значит, искомые числа могут состоять из следующих
цифр:
1) три двойки, две пятёрки, одна семёрка и две единицы,
2) четвёрка, двойка, две пятёрки, одна семёрка и три единицы,
3) восьмёрка, две пятёрки, одна семёрка и четыре единицы.
В первом случае способов выбрать места для двоек можно 
способами, так как нам нужно выбрать три места из восьми для
двоек. Затем выбрать места для пятёрок 
вариантов, затем одно из трёх оставшихся мест для семёрки 
способами, а остальные
места займут единицы, поэтому всего в этом случае 
вариантов.
В втором случае способов рассуждения абсолютно аналогично для трёх единиц, двух пятёрок, семёрки, но дальше есть ещё 2 способа
выбрать место двойке, а оставшееся место занимает четвёрка. В этом случае 
вариантов.
В третьем случае выбрать места для единиц можно 
способами, далее для двух пятёрок 
способа, оставшиеся
восьмёрку и семёрку ставим двумя способами. Всего получается 
вариантов.
Итого 
вариантов.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
