Комбинаторика, теорвер и теория чисел на Физтехе

Заметим, что число представляется в виде . В произведении множители 11 и 101 встречаются чётное число раз. Таким образом, трёхзначное число должно быть кратно 101, а двузначное число — кратно 11. В силу условий . Следовательно,

Отсюда .

Пусть всего одиннадцатиклассников человек, а в конце месяца будет выделено билетов. Количество способов распределить 4 билета между учениками в начале месяца равно , а количество способов распределения билетов, когда Петя и Вася попадают на концерт, равно (Петя и Вася получают билеты, а ещё два билета распределяются между оставшимися учениками). Значит, вероятность обоим ученикам попасть на концерт в начале месяца была равна

Аналогично получаем, что вероятность, что Петя и Коля оба попадут на концерт в конце месяца, равна

Следовательно, вероятность увеличилась в раз (эта величина не зависит от ). Отсюда получаем, что

Это уравнение имеет единственный положительный корень .

Заметим, что делитель числа не может иметь простые множители кроме 2 и 3, так как само имеет только эти простые числа в своем каноническом разложении. Отсюда любой делитель имеет вид где и

Тогда так же имеет вид с аналогичными условиями на и Отсюда

Рассмотрим отношение чисел и

Получившееся число является целым, так как делится на по условию. Это значит, что и то есть и

Таким образом, у нас есть способ выбрать число на каждый из которых есть способ выбрать число откуда количество способов выбрать пару и равно При этом каждая такая пара задаёт разложение числа на множители и где делится на поэтому и будет ответом.

Пусть — наименьшее натуральное число из Тогда

Сумма всех чисел равна

Переберем сумму шестёрок чисел:

Тогда, По условию задачи или то же самое, что и

Следовательно, может быть только множеством

Проверка: — простое, — простое.

Назовем восьмеркой набор из клеток. Пусть — множество восьмерок, симметричных относительной , — относительно , — относительно центра прямоугольника. и это средние линии прямоугольника.

Если выбрать какие-то точки в верхней половине прямоугольника, то остальные точки легко находятся в силу одной из рассматриваемой симметрий относительно и центра прямоугольника. Тогда количество элементов во множествах будет одинаковым. Тогда количество элементов в будет равно количеству способов выбрать очки в одной половине фигуры относительно Остальные точки будут располагаются в другой половине. Тогда количество способов равняется

Если восьмерка лежит сразу в из множеств то она лежит и в третьей. Это значит, что пересечение двух множеств или пусто, или пересекается с третьим.

Чтобы найти ответ надо найти количество элементов в объединении множеств. Используя формулу включений-исключений, получаем, что

где — означает количество элементов во множестве — искомое число

Если точки, лежащие в одной из четвертей прямоугольника, принадлежат пересечению всех множеств, то легко восстановить исходную восьмерку, удовлетворяющую сразу трем симметриям. Тогда можно посчитать количество элементов в пересечении множеств. Это будет количество способов выбрать точки в одной из четвертей прямоугольника, образованной и центром прямоугольника. Следовательно, количество элементов равняется

Тогда посчитаем

Посчитаем отдельно количество тетраэдров и выпуклых угольных пирамид с

Количество тетраэдров это количество способов выбрать точки, не лежащих одновременно в одной плоскости. Тогда количество тетраэдров равняется

Найдем количество выпуклых угольных пирамид с Основание такой пирамиды лежит в плоскости а вершина — вне Тогда посчитаем количество оснований. Надо просуммировать все способы выбрать от 4 до 7 вершин без учёта порядка

Для каждого из посчитанных оснований вершину пирамиды можно выбрать пятью способами, поэтому всего пирамид

Итоговый ответ

Второе условие можно записать как

По условию это значит, что Тогда

Следовательно, возможны следующие случаи

Из обеих совокупностей можно получить из которого можно получить, что не делится на

Так как и не делятся на а среди последовательных чисел обязательно найдется число, делящееся на то делится на 3. Но — простое, значит,

Получаем следующую систему

Из последнего уравнения получаем, что

Теперь найдем

Тогда может равняться

Чтобы произведение было минимальным, числа не должны иметь простых делителей, отличных от и

Пусть (показатели всех степеней — целые неотрицательные числа). Тогда

Рассмотрим отдельно делимость на и

Из того, что делится на делится на делится на следует, что

Складываем полученные неравенства и получаем:

Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём

Из того, что делится на делится на делится на следует, что

Складываем полученные неравенства и получаем:

Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём

Из того, что делится на следует, что Заметим, что

может равнятся если, например,

Так как минимум каждой из трёх сумм не зависит от оставшихся, то и минимальное значение равно

Запишем исходное условие на координаты точек и в виде

Так как координаты точек и являются целыми числами, то левая и правая части этого равенства могут принимать только целочисленные значения Пара точек и с целочисленными координатами удовлетворяет условию тогда и только тогда, когда они лежат на параллельных прямых

соответственно. Найдём подходящие значения параметра

Стороны и параллелограмма лежат на прямых

поэтому они параллельны прямым, на которых лежат точки и Эти прямые пересекают параллелограмм при

Выясним количество точек с целочисленными координатами на каждой из прямых вида

Рассмотрим несколько вариантов:

Если кратно трём (т.е. то получаем прямую

При любом целом получится целое значение а чтобы точка оказалась в параллелограмме нужно, чтобы

При любом этому неравенству удовлетворяет целых значений

Если не делится на 3, т.е. при где имеем

Учитывая, что получаем

Значит, этому неравенству удовлетворяет целочисленных значений.

Если (таких значений то на каждой из двух прямых

можно выбрать по точек — всего пар.

Если (таких значений то на каждой из двух прямых можно выбрать по точек — имеем пар.

Итого получаем

Найдём сначала количество троек натуральных чисел. Пусть

где — целые неотрицательные числа. Тогда получаем

Числа составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда , откуда

Из полученных уравнений получаем систему

Посчитаем количество решений этой системы. Есть способ выбрать пару чисел . Действительно, можно взять любым целым числом из отрезка , после чего определяется однозначно. Аналогично, пару можно выбрать способом. Перемножая, получаем способ.

Если рассматривать также отрицательные значения переменных, то можно заметить, что подходят все тройки чисел вида , где положительны и составляют геометрическую прогрессию. Таких троек ровно столько, сколько и в первом случае, поэтому окончательно имеем тройки.

Подставляя в равенство , получаем

Если же для произвольных натуральных положить , то получаем

Таким образом, чтобы вычислить значение функции в произвольной положительной рациональной точке нам достаточно значения функции для любого натурального числа.

Для простых чисел и единицы значения функции мы уже знаем. Для составных чисел значения функции могут быть найдены, если их разложить на простые множители и воспользоваться равенством , например, Аналогичным образом вычисляем значения функции для и записываем их в таблицу:

Поскольку то из следует, что Таким образом, количество пар натуральных чисел таких, что совпадает с количеством пар, для которых Посчитаем количество пар при которых Ввиду того, что нужно найти количество пар из таблицы выше, для которых Рассмотрим несколько случаев:

В данном случае имеется 25 вариантов.

а В таблице есть 10 аргументов, при которых Выбирая пару таких аргументов, первый можно выбрать 10 способами, а второй – 9 способами. Значит, количество пар такого типа равно

а Аналогично предыдущему пункту получаем пары.

а Здесь пар.

a Здесь пары.

a Здесь также пары.

Итого, есть пар натуральных чисел для которых Всего имеется пар, поэтому тех, при которых ровно

Пусть искомое число есть . Определим, какой может быть максимальная степень десятки, на которую происходит деление. Возможны несколько случаев:

1) если максимальная степень десятки равна или меньше, то сумма остатков меньше , что меньше

2) если максимальная степень десятки равна или больше, то сумма остатков не меньше , что больше

3) максимальная степень десятки равна или . Эти случаи возможны.

3.1) Пусть максимальная степень десятки равна . Тогда остатки от деления на равны соответственно , и сумма остатков есть

где

Рассмотрим уравнение . Так как , то либо , либо

Если , то получаем

Поэтому делится на При этом , так как Поэтому , откуда . То есть число имеет вид . Таких чисел

Если , то

Поэтому либо , либо . Если , то , что невозможно. Если , то , откуда . То есть число имеет вид . Таких чисел 90.

3.2) Пусть максимальная степень десятки равна . Тогда остатки от деления на равны соответственно , . И сумма остатков есть

где

Рассмотрим уравнение

Это равенство возможно только при . Значит, , откуда , то есть число имеет вид . Таких чисел

Значит, искомое количество семизначных чисел есть

Рассмотрим треугольник . Пусть его биссектриса и медиана пересекаются в точке . В треугольнике отрезок является биссектрисой и высотой, поэтому треугольник равнобедренный, .

Обозначим . Тогда . По свойству биссектрисы , поэтому если , то . Сумма сторон треугольника равна периметру, т.е. , откуда , поэтому . Учтём неравенство треугольника:

Так как , то

На этом интервале содержится 24 целых значения .

Покажем, что никакая неупорядоченная тройка длин сторон треугольника не была посчитана более одного раза. Из двойного неравенства заключаем, что из сторон треугольника и сторона — наименьшая. Тогда по заданному значению вся тройка восстанавливается однозначно: наименьшее из этих чисел равно , ещё одно равно , а третье равно (где -— периметр). Поэтому две различные неупорядоченные тройки длин сторон задаются различными значениями .

Пусть (никаких других простых множителей числа , содержать не могут - иначе нарушается второе условие системы). Отсюда

Учитывая данную в условии систему, получаем соотношения

Рассмотрим первую систему . Возможны следующие наборы чисел :

набора (за счёт различных перестановок этих чисел);

— также три набора;

, где есть различных значений и для каждого из них перестановок — всего вариантов.

Итак, есть способа выбрать тройку чисел . Аналогично устанавливаем, что для выбора есть ( — значений) способов. И поскольку один выбор осуществляется независимо от другого, то общее количество способов равно .

Найдено количество троек для степеней одного из простых чисел только в одном случае – 2 балла.

Получено одно или оба соотношения вида {︃ max (𝛼1; 𝛽1; 𝛾1) = 𝑘, min (𝛼1; 𝛽1; 𝛾1) = 1 и {︃ max (𝛼2; 𝛽2; 𝛾2) = 𝑚, min (𝛼2; 𝛽2; 𝛾2) = 1. и других продвижений нет – 1 балл за задачу (этот балл не суммируется с указанным выше).

Неарифметическая (комбинаторная) ошибка (вместо правила произведения применено правило суммы, некоторые случаи посчитаны дважды или пропущены и т.п.) – не более 1 балла за задачу.

Неверно решена «числовая часть» (из условия сделаны неверные выводы, например, утверждается, что одно из чисел должно равняться произведению 𝑝^𝑚𝑎𝑥 𝑞^𝑚𝑎𝑥 или 𝑝𝑞; используются неверные утверждения, например, НОД(𝑎, 𝑏, 𝑐) НОК(𝑎, 𝑏, 𝑐) = 𝑎𝑏𝑐) – 0 баллов за задачу.

Посчитаем число отрезков, на которые разбили квадрат: тогда число точек равно

Если фиксируем две точки на одной стороне квадрата, то две другие точки будут лежать на противоположной стороне, и прямоугольник будет определяться однозначно.

Рассмотрим случай, когда фиксируются две точки на соседних сторонах. Определим, когда в этом случае образуется прямоугольник:

Пусть сторона прямоугольника образует с квадратом угол Тогда получаем четыре подобных прямоугольных треугольника с гипотенузами, являющимися сторонами прямоугольника, причём противоположные треугольники равны. Их острые углы равны и

Обозначим катеты одного из треугольников за и Тогда треугольники подобны с коэффициентом

Рассмотрим два соседних треугольника. Если у одного из них катет равен то у другого катет равен

Из подобия найдём вторую сторону:

Из равенства противоположных треугольников получаем уравнение:

Откуда:

Следовательно, либо либо

Теперь посчитаем все случаи:

1. Если фиксируем две точки на одной стороне, то точки можно выбрать на вертикальной и горизонтальной сторонах квадрата. При этом сам квадрат мы посчитали дважды. Общее количество таких прямоугольников:

2. Если фиксируем точки на соседних сторонах квадрата, первую точку (без учёта вершин квадрата) можно выбрать способами. Тогда вторую точку можно выбрать двумя способами: либо либо Учтём также, что случай был посчитан дважды:

Сложив оба случая, получаем:

Разложим на множители. Значит, либо в нашем числе есть пятерки, тройки и остальные единицы, либо в нашем числе есть пятерки, девятка, тройка и остальные единицы.

В первом случае способов выбрать места для пятерок можно способами, так как нам нужно выбрать три места из восьми для пятерок. Затем выбрать места для троек вариантов, а остальные места займут единицы, поэтому всего в этом случае вариантов.

В втором случае способов выбрать места для пятерок так же выбрать место для тройки можно из оставшихся пяти, для девятки — из оставшихся четырёх, а остальные места займут единицы, поэтому всего в этом случае вариантов.

Итого вариантов.

В силу того, что выпадение орла и решки равновозможны, вероятность получить орлов равна вероятности получить решек (т.е. орлов); вероятность получить орлов равна вероятности получить решек (т.е. одного орла) и т.д. Обозначим вероятность, что выпало ровно орлов через . Тогда , а в силу сказанного выше, . Значит, .

Посчитаем вероятность того, что орёл выпадает ровно раз при бросках. Если обозначить выпадение орла единицей, а выпадение решки нулём, то каждую последовательность из бросков можно охарактеризовать последовательностью цифр из нулей и единиц. Вероятность получить любую из таких последовательностей равна . Нас устроят все те последовательности событий, которые содержат ровно единиц. Их количество равно (выбираем из имеющихся позиций позиций для единиц без учёта порядка, после чего остальные позиции заполняются нулями). Значит, вероятность получить хотя бы одну такую последовательность равна . Это и есть .

Результат броска кубиков можно описать набором из 70 чисел от 1 до 6. Рассмотрим какой-либо такой набор. Если каждое из чисел набора заменить с на , получим новый набор, состоящий из чисел от 1 до 6. При этом если сумма чисел в исходном наборе была , то она станет равной То есть каждому набору с суммой мы можем поставить в соответствие набор с суммой

Так как , то количество наборов с суммой больше 350 равно количеству наборов с суммой меньше 140. Отметим также, что все наборы равновероятны. Значит, вероятность выбросить больше 350 равна вероятности выбросить меньше 140. Но вероятность выбросить не больше 140 очков выходит больше выше рассмотренных, так как добавляются способы, в которых сумма составляет ровно 140 очков. Поэтому больше вероятность того, что сумма не превосходит 140.

Разложим на множители. Значит, искомые числа могут состоять из следующих цифр:

1) три двойки, две пятёрки, одна семёрка и две единицы,

2) четвёрка, двойка, две пятёрки, одна семёрка и три единицы,

3) восьмёрка, две пятёрки, одна семёрка и четыре единицы.

В первом случае способов выбрать места для двоек можно способами, так как нам нужно выбрать три места из восьми для двоек. Затем выбрать места для пятёрок вариантов, затем одно из трёх оставшихся мест для семёрки способами, а остальные места займут единицы, поэтому всего в этом случае вариантов.

В втором случае способов рассуждения абсолютно аналогично для трёх единиц, двух пятёрок, семёрки, но дальше есть ещё 2 способа выбрать место двойке, а оставшееся место занимает четвёрка. В этом случае вариантов.

В третьем случае выбрать места для единиц можно способами, далее для двух пятёрок способа, оставшиеся восьмёрку и семёрку ставим двумя способами. Всего получается вариантов.

Итого вариантов.

Результат броска кубиков можно описать набором из 70 чисел от 1 до 6. Рассмотрим какой-либо такой набор. Если каждое из чисел набора заменить с на , получим новый набор, состоящий из чисел от 1 до 6. При этом если сумма чисел в исходном наборе была , то она станет равной То есть каждому набору с суммой мы можем поставить в соответствие набор с суммой

Так как , то количество наборов с суммой больше 350 равно количеству наборов с суммой меньше 140. Отметим также, что все наборы равновероятны. Значит, вероятность выбросить больше 350 равна вероятности выбросить меньше 140. Но вероятность выбросить не больше 140 очков выходит больше выше рассмотренных, так как добавляются способы, в которых сумма составляет ровно 140 очков. Поэтому больше вероятность того, что сумма не превосходит 140.