Комбинаторика, теорвер и теория чисел на Физтехе

Подставляя в равенство , получаем

Если же для произвольных натуральных положить , то получаем

Таким образом, чтобы вычислить значение функции в произвольной положительной рациональной точке нам достаточно значения функции для любого натурального числа.

Для простых чисел и единицы значения функции мы уже знаем. Для составных чисел значения функции могут быть найдены, если их разложить на простые множители и воспользоваться равенством , например, Аналогичным образом вычисляем значения функции для и записываем их в таблицу:

Поскольку то из следует, что Таким образом, количество пар натуральных чисел таких, что совпадает с количеством пар, для которых Посчитаем количество пар при которых Ввиду того, что нужно найти количество пар из таблицы выше, для которых Рассмотрим несколько случаев:

В данном случае имеется 25 вариантов.

а В таблице есть 10 аргументов, при которых Выбирая пару таких аргументов, первый можно выбрать 10 способами, а второй – 9 способами. Значит, количество пар такого типа равно

а Аналогично предыдущему пункту получаем пары.

а Здесь пар.

a Здесь пары.

a Здесь также пары.

Итого, есть пар натуральных чисел для которых Всего имеется пар, поэтому тех, при которых ровно