Комбинаторика, теорвер и теория чисел на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Функция 
определена на множестве положительных рациональных чисел. Известно, что для любых чисел 
и 
из этого множества
выполнено равенство 
и при этом ![f(p) =[p∕4]](/api/latex-service/v1/GetSession/129829/index-5458258f061738afe8e78e39edf2c98f.svg)
для любого простого числа 
(![[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/129829/index-422befe3ad7effed08b3d0d4da078e78.svg)
обозначает наибольшее целое
число, не превосходящее 
Найдите количество пар натуральных чисел 
таких, что 
и
Источники:
Подсказка 1
Нам надо как-то искать ƒ(x/y). Какие a и b надо подставить, чтобы получить ƒ(x/y) и что-то еще, не очень плохое...
Подсказка 2
Разумно взять b=x/y, где x и y- натуральные числа. Возьмем тогда a=y, чтобы их произведение было натуральным числом. Тогда ƒ(y)+ƒ(x/y)=ƒ(y*x/y)=ƒ(x) ⇒ ƒ(x/y)=ƒ(x)-ƒ(y). Если ƒ(x/y)<0, то что можно сказать про ƒ(y/x)?
Подсказка 3
ƒ(y/x)=ƒ(y)-ƒ(x)=-(ƒ(x)-ƒ(y))=-ƒ(x/y)>0. Это означает, что количество пар (x; y) таких, что ƒ(x/y)<0 равно количеству пар (x; y) таких, что ƒ(x/y)>0. Тогда нам осталось лишь посчитать количество пар, в которых ƒ(x/y)=0. Как это сделать?
Подсказка 4
Мы знаем, что ƒ(x/y)=ƒ(x)-ƒ(y)⇒ нам достаточно посчитать количество пар (x;y) таких, что f(x)=f(y). Т.к. нам известны значения ƒ(x), если x- простое, то мы можем найти все ƒ(x), где x- любое натуральное число от 3 до 27, ведь x раскладывается в произведение простых. Сколько тогда будет пар (x; y) таких, что ƒ(x)=ƒ(y)?
Подсказка 5
Таких пар будет 167. Т.к. всего пар 25²=625, то искомых пар будет (625-167)/2=229.
Подставляя 
в равенство 
, получаем
Если же для произвольных натуральных 
положить 
, то получаем
Таким образом, чтобы вычислить значение функции 
в произвольной положительной рациональной точке нам достаточно значения
функции 
для любого натурального числа.
Для простых чисел и единицы значения функции мы уже знаем. Для составных чисел значения функции могут быть найдены, если их
разложить на простые множители и воспользоваться равенством 
, например, 
![+f(5)=[34]+ [54]= 0+1 =1.](/api/latex-service/v1/GetSession/129830/index-6c07f4b0a2df042505190b4f3bfdb2a3.svg)
Аналогичным образом вычисляем значения функции для ![n∈ [3;27]](/api/latex-service/v1/GetSession/129830/index-a14d8f96149cb6640128d6b8b94630e4.svg)
и записываем их в
таблицу:
Поскольку 
то из 
следует, что 
Таким образом, количество пар натуральных чисел
таких, что 
совпадает с количеством пар, для которых 
Посчитаем количество пар 
при которых
Ввиду того, что 
нужно найти количество пар 
из таблицы выше, для которых 
Рассмотрим несколько случаев:
В данном случае имеется 25 вариантов.
а 
В таблице есть 10 аргументов, при которых 
Выбирая пару таких аргументов, первый можно
выбрать 10 способами, а второй – 9 способами. Значит, количество пар такого типа равно 
а 
Аналогично предыдущему пункту получаем 
пары.
а 
Здесь 
пар.
a 
Здесь 
пары.
a 
Здесь также 
пары.
Итого, есть 
пар натуральных чисел 
для которых 
Всего имеется 
пар,
поэтому тех, при которых 
ровно 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
