Комбинаторика, теорвер и теория чисел на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько существует троек целых чисел 
таких, что они образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а их
произведение 
равно 
?
Источники:
Подсказка 1
Для начала поймём, а какого вообще вида числа нам подходят? И какие условия на них накладываются?
Подсказка 2
Верно, каждое число при разложении на простые должно представляться в виде: 2ⁿ¹*3ⁿ². И при этом сумма степеней двоек всех трёх чисел должна быть равна 150 и аналогично с тройками! А теперь вспомним условие про геометрическую прогрессию, что можно сказать про число b?
Подсказка 3
Да, b вне зависимости от a и c равно 2⁵⁰*3⁵⁰(это получается из того, что степень b равна полусумме степеней a и c). А что в таком случае можно сказать про a и c?
Подсказка 4
Верно, степень двойки у чисел a и c можно выбрать 101 способом, так как при выборе степени двойки у a — степень c восстанавливается однозначно! И аналогично, для степеней тройки. Получается, что всего таких чисел 101². Но вот, все ли случаи мы учли?
Подсказка 5
Верно, a и c могут быть также отрицательными, тогда просто знаменатель прогрессии поменяется на противоположный!
Найдём сначала количество троек натуральных чисел. Пусть
где 
— целые неотрицательные числа. Тогда получаем
Числа 
составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию тогда и только тогда, когда 
,
откуда
Из полученных уравнений получаем систему
Посчитаем количество решений этой системы. Есть 
способ выбрать пару чисел 
. Действительно, 
можно взять любым
целым числом из отрезка ![[0;100]](/api/latex-service/v1/GetSession/149472/index-134c3d8906e91861f4792ef718c76022.svg)
, после чего 
определяется однозначно. Аналогично, пару 
можно выбрать 
способом.
Перемножая, получаем 
способ.
Если рассматривать также отрицательные значения переменных, то можно заметить, что подходят все тройки чисел вида 
,
где 
положительны и составляют геометрическую прогрессию. Таких троек ровно столько, сколько и в первом случае, поэтому
окончательно имеем 
тройки.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
