Комбинаторика, теорвер и теория чисел на Физтехе

Пусть искомое число есть . Определим, какой может быть максимальная степень десятки, на которую происходит деление. Возможны несколько случаев:

1) если максимальная степень десятки равна или меньше, то сумма остатков меньше , что меньше

2) если максимальная степень десятки равна или больше, то сумма остатков не меньше , что больше

3) максимальная степень десятки равна или . Эти случаи возможны.

3.1) Пусть максимальная степень десятки равна . Тогда остатки от деления на равны соответственно , и сумма остатков есть

где

Рассмотрим уравнение . Так как , то либо , либо

Если , то получаем

Поэтому делится на При этом , так как Поэтому , откуда . То есть число имеет вид . Таких чисел

Если , то

Поэтому либо , либо . Если , то , что невозможно. Если , то , откуда . То есть число имеет вид . Таких чисел 90.

3.2) Пусть максимальная степень десятки равна . Тогда остатки от деления на равны соответственно , . И сумма остатков есть

где

Рассмотрим уравнение

Это равенство возможно только при . Значит, , откуда , то есть число имеет вид . Таких чисел

Значит, искомое количество семизначных чисел есть