Комбинаторика, теорвер и теория чисел на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество семизначных чисел, обладающих следующим свойством: сумма остатков от деления числа на некоторые три последовательные степени числа десять равна 12345.
Источники:
Подсказка 1
Давайте сначала попробуем понять, а какие степени десятки вообще могли быть, попробуйте перебирать разные случаи и посмотреть, какие точно не могли выполнятся.
Подсказка 2
Верно, степень десятки либо равна 5, либо 6, иначе сумма остатков будет слишком большой или маленькой. Дальше удобно обозначить каждую цифру числа за переменную и записать сумму остатков от деления числа в столбик, тогда нам будет удобно рассуждать о возможных значениях цифр.
Подсказка 3
Не забывайте, что если сумма цифр при сложении в столбик равна 5, то она именно 5, потому как мы всегда берём остаток по модулю 10, когда считаем в столбик, поэтому надо рассматривать ещё случаи, когда она равна 15, 25.
Подсказка 4
Во всех случаях мы найдём какие-то условия на цифры, а некоторые останутся "свободными", т.е. мы можем подставить вместо них любую цифру, причём все эти случаи не пересекаются, и мы можем спокойно их складывать.
Пусть искомое число есть 
. Определим, какой может быть максимальная степень десятки, на которую происходит деление.
Возможны несколько случаев:
1) если максимальная степень десятки равна 
или меньше, то сумма остатков меньше 
, что меньше
2) если максимальная степень десятки равна 
или больше, то сумма остатков не меньше 
, что больше 
3) максимальная степень десятки равна 
или 
. Эти случаи возможны.
3.1) Пусть максимальная степень десятки равна 
. Тогда остатки от деления на 
равны соответственно 
,
и сумма остатков есть
где 
Рассмотрим уравнение 
. Так как 
, то либо 
, либо 
Если 
, то получаем
Поэтому 
делится на 
При этом 
, так как 
Поэтому 
, откуда 
. То есть число имеет вид
. Таких чисел 
Если 
, то
Поэтому либо 
, либо 
. Если 
, то 
, что невозможно. Если 
, то 
, откуда 
. То есть
число имеет вид 
. Таких чисел 90.
3.2) Пусть максимальная степень десятки равна 
. Тогда остатки от деления на 
равны соответственно
, 
. И сумма остатков есть
где 
Рассмотрим уравнение
Это равенство возможно только при 
. Значит, 
, откуда 
, то есть число имеет вид 
. Таких чисел
Значит, искомое количество семизначных чисел есть 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
