Тригонометрия на Физтехе

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

откуда или .

Уравнению удовлетворяют все такие , что либо , либо , где и — целые. Заметим, что для целых все точки, описываемые равенством , уже встречаются среди точек вида (достаточно взять .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций и сумма всегда лежит в , поэтому неравенство задаёт ограничения (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника без угловой точки , лежащих на прямых . Несложно видеть, что при чётных в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных — по 5 точек, за исключением . Тогда получаем суммарно точек.