Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Тригонометрия на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107199

а) Найдите все пары действительных чисел $(x;y)$ такие, что

(sinπx+ sinπy)sinπx= (cosπx+ cosπy)cosπx.

б) Сколько пар целых чисел $(x,y)$ удовлетворяют одновременно этому уравнению и неравенству

x y 3π arcsin 5 + arccos4 < 2 ?

Источники: Физтех - 2025, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Уравнение системы равносильно каждому из следующих:

πx − πy 3πx+ πy cos(2πx)= − cos(π(x+ y)) ⇔ 2cos---2-- cos---2---= 0,

откуда $π π 2(y− x)= 2 + πk,k∈ℤ$ или $π π 2(3x+ y)= 2 + πm,m ∈ℤ$ .

Уравнению удовлетворяют все такие $(x,y)$ , что либо $y =1 +x+ 2k$ , либо $y = 1− 3x +2m$ , где $k$ и $m$ — целые. Заметим, что для целых $x,y$ все точки, описываемые равенством $y = 1− 3x +2m,m ∈ ℤ$ , уже встречаются среди точек вида $y =1+ x+ 2k,k ∈ℤ$ (достаточно взять $k =m − x)$ .

Рассмотрим теперь неравенство системы. По определению функций $arcsint$ и $arccost$ сумма $arcsinx5+$ $+ arccosy4$ всегда лежит в $[ ] − π2,3π2-$ , поэтому неравенство задаёт ограничения $x ∈[−5,5],y ∈ [− 4,4]$ (из областей определения арккосинуса и арксинуса), а также $(x,y)⁄= (5,− 4)$ (в этой точке неравенство обращается в равенство).

Итак, остаётся подсчитать количество точек внутри прямоугольника $− 5≤ x≤ 5,− 4≤ y ≤ 4$ без угловой точки $(x,y)= (5,− 4)$ , лежащих на прямых $y = x+ 1+ 2k,k ∈ℤ$ . Несложно видеть, что при чётных $x$ в прямоугольник попадает по 4 точки, а при нечётных $x$ — по 5 точек, за исключением $x =5$ . Тогда получаем суммарно $5 ×5+ 4× 6= 49$ точек.

Ответ:

а) $y =1+ x+ 2k$ , где $k∈ℤ,x ∈ℝ;$

$y = 1− 3x+ 2m$ , где $m ∈ ℤ,x ∈ℝ$

б) 49

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80768

Что больше:

( 3π) (π) ( π) 5− 4sin 14 или 4cos 7 − 5sin 14 ?

Источники: Физтех - 2024, 11.5 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Пусть $t= π-, 14$ тогда требуется сравнить $5 − 4sin 3t$ и $4cos2t− 5sint.$ Будем сравнивать с $0$ их разницу:

3 2 5− 4sin3t− 4 cos2t+5sin t=5 − 4(3sint− 4sin t)− 4(1− 2sin t)+5sint=

3 2 = 16sin t+8sin t− 7sint+ 1

Пусть $sint= z.$ Тогда исследуем следующую функцию на отрезке $[−1; 1]$

f(z)= 16z3 +8z2− 7z +1

Заметим, что $f(−1)=0,$ значит разделим $16z3+ 8z2− 7z+ 1$ на $z+ 1.$ Тогда получим, что

f(z)=(z+ 1)(16z2 − 8z+ 1)=(z+ 1)(4z− 1)2

Несложно заметить, что $f(z)≥0$ на $[− 1; 1],$ причем $f(z)= 0$ лишь при $z = −1$ и $z = 14.$ Тогда $f(t)= f(π14)>0.$ Значит разность имеет такой же знак, значит первое число больше.

Замечание. Желательно проверить, что $sin π14 ⁄= 14.$ Это легко делается, так как

sin π-< π-< 3,5-= 1 14 14 14 4

Ответ:

$5− 4sin(3π)> 4cos(π)− 5sin(π) 14 7 14$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67587

Решите уравнение

π 5arcsin(cosx)=x + 2

Источники: Физтех-2023, 11.3 (см. olymp-online.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Так как по определению

({ sin b=a b= arcsina ⇐⇒ ( − π2 ≤ b≤ π2

То уравнение равносильно

( (x π ) { cosx =sin 5 + 10 ( − π ≤ x+ π-≤ π 2 5 10 2

( ( ) { cosx =cos 2π5-− x5 ( 3π x 2π- − 5 ≤ 5 ≤ 5

({ ±x= 2π− x +2πk,k∈ℤ ( 5 5 −3π ≤ x≤ 2π

( ⌊ |||| ⌈ x = π3 + 5π3k { x = 5πk-− π ,k∈ ℤ |||| 2 2 ( − 3π ≤ x≤ 2π

{ 4π π π } x∈ −3π;−-3 ;− 2;3;2π

Ответ:

${−3π;− 4π;− π;π ;2π} 3 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70773

Углы $α$ и $β$ удовлетворяют равенствам

-1- 8- sin(2α+ 2β)= −√17;sin(2α +4β)+ sin(2α)= − 17

Найдите все возможные значения $tgα,$ если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.

Источники: Физтех-2022, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуя в левой части второго равенства сумму синусов в произведение, получаем

4- sin(2α +2β)cos2β = −17

Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства:

⌊ 1 1 4 4 | sin2β = √17 −√17 cos2β = −17 ⇔ cos2β =√17-⇔ |⌈ 1 sin2β =− √17

Отсюда следует, что исходные равенства эквивалентны совокупности двух систем уравнений:

( ( ||| sin(2α+ 2β)=− √1- ||| sin(2α+ 2β)= − √1- |||{ 4 17 |||{ 4 17 | cos2β = √17 и | cos2β = √17 ||||| -1- ||||| -1- ( sin 2β = √17 ( sin2β =− √17

Из первой системы получаем

(| -1-- ||||| sin(2α+ 2β)= −√ 17 { cos2β = √4- ⇒ √4--sin2α+ √1- cos2α= −√-1- |||| 17 17 17 17 ||( sin2β = √1 17

Далее имеем

8sinαcosα+ (cos2α − sin2 α)=− (cos2α + sin2α)⇔ 2cosα(cosα +4sinα)= 0⇔

[ ⇔ cosα= 0 cosα= −4sinα

В первом случае $tgα$ не существует, а во втором случае $1 tgα =− 4.$

Аналогично рассматриваем вторую систему:

( |||| sin(2α+ 2β)= −√1- ||{ 4 17 4 1 1 || cos2β = √17 ⇒ √17-sin2α− √17 cos2α= −√17-⇔ ||||( -1- sin2β = −√17

⇔ 8sinαcosα− (cos2α− sin2α)=− (cos2α+ sin2α)⇔ 2sinα(4cosα +sinα)= 0⇔

[ ⇔ sinα = 0 4cosα= − sin α

Отсюда $tgα= 0$ или $tgα= −4.$

Итак, возможные значения $tgα$ — это $0,−4$ и $1 − 4.$

Ответ: -4;-0.25; 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#34200

Решите уравнение

∘ ---4---------------- 8sin x− 6sin4x− 4sin2x= 2sin 2x.

Источники: Физтех - 2021, аннулированный из-за технических проблем вариант

Показать ответ и решение

Учтём, что $sin 2x ≥0$ и возведём в квадрат, применяя формулы двойных углов, получим

4 2 2 2 2 8sin x− 24sinxcosx(cosx − sin x)− 8sinxcosx= 16sin xcosx

Заметим, что $cosx= 0$ не является решением и поделим на $cos4x$

4 3 2 2 8tg x− 24tg x+24tg x− 8tg x⋅(1+ tg x) =16tg x

tgx⋅(tg3x+ 2tg2x− 2tgx − 4)= 0

tgx(tg x+2)(tg2x− 2)= 0

В итоге $√- tgx∈ {± 2;−2;0}$ , после проверки $sin 2x ≥0$ останутся только $0$ и $√- 2$ .

Ответ:

$πn;arctg√2+ πn; n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31392

Решить систему уравнений

{ √2 sinx− √3cosy = 5; siny+ √2cosx = − 32. 2

Источники: Физтех - 2020, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Вычтем второе уравнение из первого и применим метод вспомогательного угла:

π π 2sin(x− 4)− 2sin(y+ 3)= 4

Оба слагаемых не превосходят 2, значит равенство возможно лишь в том случае, если:

{ π sin(x− 4π)= 1 sin(y+ 3)= −1

Откуда $3π 5π- x= 4 + 2πn;y = − 6 +2πk,n,k∈ℤ$ . Осталось подставить эти значения в уравнения системы и убедиться в том, что они подходят.

Ответ:

$(3π+ 2πn;− 5π+ 2πk),n,k ∈ℤ 4 6$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#33587

Решите уравнение

√- cos11x− cos3x− sin11x+ sin3x= 2cos14x

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Применим формулы разности синусов и косинусов, а также формулу косинуса двойного угла:

√- −2sin4xsin 7x − 2sin 4x cos7x= 2cos14x

−2sin4x(sin7x+ cos7x)= √2(cos27x− sin27x)

Уравнение эквивалентно совокупности

[ cos7x+ sin7x= 0, cos7x− sin7x= −√2-sin4x

[ tg7x =−1, sin(7x− π4)= sin4x

⌊ 7x =− π4 + πk,k ∈ℤ |⌈ 7x− π4 = 4x +2πk,k∈ℤ 7x− π4 = π− 4x +2πk,k∈ℤ

⌊ π πk | x = −π28 +2π7k-,k ∈ℤ ⌈ x = 12-+ 3-,k∈ ℤ x = 5π44 + 2π1k1 ,k∈ ℤ

Ответ:

$−-π+ πk; π-+ 2πk;5π + 2πk; k ∈ℤ 28 7 12 3 44 11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#33643

Решите уравнение

---cos8x---- ---sin8x---- √- cos3x +sin3x + cos3x− sin3x = 2

Источники: Физтех-2020, 11.2, (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Приводя дроби в левой части уравнения к общему знаменателю и применяя формулы косинуса и синуса разности

cos8xcos3x−-cos8xsin-3x-+cos3xsin8x+-sin3xsin8x √ - cos5x+-sin5x- √ - cos23x − sin23x = 2 ⇐ ⇒ cos6x = 2.

Последнее уравнение эквивалентно системе

{ √- cos5x+ sin5x= 2cos6x cos6x⁄= 0

Применим формулу вспомогательного угла

( ) [ π [ π cos 5x− π = cos6x ⇐ ⇒ 5x− 4π =6x+ 2πk, ⇐⇒ x = −π4 +22ππkk, 4 5x− 4 =− 6x +2πk,k∈ ℤ x = 44 + 11 ,k∈ ℤ.

Теперь учтём условие $cos6x⁄= 0$ .

Если $x= − π +2πk 4$ , то $cos6x= cos(− 3π +12πk)= 0 2$ , т.е. условие $cos6x⁄= 0$ нарушается.

Если $x= π-+ 2πk- 44 11$ , то $cos6x =cos(3π+ 12πk) 22 11$ . Найдём те целые значения $n$ и $k$ , при которых выполняется равенство $3π 12πk π 22 + 11 = 2 +πn$ . Получаем $n−4 12k= 4+ 11n,k= n− 12$ . Поскольку $k∈ ℤ$ и $n∈ ℤ$ , отсюда следует, что $n−4 p= 12 ∈ℤ$ . Значит, $n = 12p+ 4,k= 11p+ 4$ . Полученные значения переменной $k$ необходимо исключить. Окончательно получаем $π- 2πk x = 44 + 11 ,k⁄= 11p +4,k∈ ℤ$ , $p∈ℤ$ .

Ответ:

$π(1+-8k); k⁄= 11p +4,k∈ ℤ,p ∈ℤ 44$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31976

Известно, что

-----cos3x---- 2 2 (2cos2x − 1)cosy = 5 + cos (x +y)

----sin3x----= 3 +sin2(x+ y). (2cos2x+ 1)siny 5

Найдите все возможные значения выражения $cos(x +3y)$ , если известно, что их не менее двух.

Источники: Физтех 2019, 13.2 (olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что $sin3x= sinx(4cos2x − 1)= sinx(2cos2x+ 1)$ , а $cos3x =cosx(4cos2 x− 3)= cosx(2cos2x − 1)$ . Значит, нам дано

cosx 2 2 sinx 3 2 cosy = 5 + cos(x+ y) и -siny = 5 +sin (x+ y)

и некоторые ограничения на $x$ и $y$

Сложим эти 2 уравнения:

cosx+ sin-x= 2 cosy sin y

cosxsiny+ sinxcosy =2cosysiny

sin(x+y)= sin2y

Если $x +y =2y+ 2πk$ , то по условию
$1= 2+ cos2(x +y)= 2 +cos2(2y) и 1 = 3 +sin2(x+ y)= 3+ sin2(2y) 5 5 5 5$
Тогда $2 1 cos(x +3y)= cos4y = 2cos(2y)− 1= 5$ .
Если $x +y =π − 2y+ 2πk$ , то $cos(x+ 3y) =− 1$ .

Значит, возможные значения — это $− 1$ и $1 5$ . Какие-то из них могли бы не достигаться из-за ОДЗ, но мы точно знаем, что значений хотя бы 2 и поэтому они оба достигаются.

Ответ:

${1∕5;−1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#33098

Числа $x$ и $y$ таковы, что выполняются равенства

ctgx+ ctgy =3 и 2sin(2x+2y)= sin2xsin2y.

Найдите $ctgxctgy$ .

Показать ответ и решение

На ОДЗ первое равенство равносильно следующим:

cosxsiny+-cosy-sinx sinxsiny = 3

sin(x +y)= 3sinx siny.

Преобразуем второе равенство:

4sin(x+ y)cos(x+ y)= 4sinxsiny cosxcosy.

Подставляем в левую часть $3sinxsin y$ вместо $sin(x +y)$ и преобразуем полученное равенство (учитываем, что в силу ОДЗ $sinxsiny ⁄=0$ ):

12sinxsin ycos(x+y)= 4sinx sinycosx cosy

3cos(x+ y) =cosxcosy

3cosxcosy− 3sinx siny = cosx cosy

2cosxcosy = 3sinxsin y

3 ctgxctgy = 2

Ответ:

$3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#39084

Известно, что $sin y = 3sinx + 2 cosx,cosy = 2 sinx+ 3cosx. 2 3 3 2$ Найдите $sin2x.$

Показать ответ и решение

Используем основное тригонометрическое тождество, возведя равенства в квадрат и сложив

( 3 2 )2 ( 2 3 )2 1 =sin2y +cos2y = 2sinx + 3cosx + 3sinx+ 2 cosx =

( ) = 9+ 4 (sin2x+ cos2x)+ 4sinxcosx 4 9

− 61 =2sin2x ⇐⇒ sin2x= − 61 36 72

Полученное значение единственно, потому проверка не нужна, поскольку по условию известно, что описанная конфигурация возможна.

Ответ:

$− 61 72$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31043

Известно, что числа

x,y,z

образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 2) 5$ , а числа

3+ sinx,3+sin y,3+ sinz

образуют в указанном порядке непостоянную геометрическую прогрессию. Найдите $sin y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

По условию $cosα =− 2 5$ . Тогда $sin2α =1 − cos2α = 21 25$ . Так как $α =arccos(− 2) 5$ , то $α∈ [0,π]$ , и значит, $sinα ≥0$ и $sinα= √21 5$ .

По условию $x= y− α$ и $z = y+ α$ .

Тогда

2 √21- 3+ sinx= 3+ sinycosα− cosysinα = 3− 5siny− -5- cosy

3+sin y

√ -- 3+ sinz = 3+ sinycosα+ cosysinα = 3− 2siny+--21 cosy 5 5

образуют геометрическую прогрессию.

Раз это числа вида $a, at, at2$ , то среднее в квадрате равно произведению крайних. Значит

√-- √-- (3 +siny)2 = (3 − 2siny+-21 cosy)(3− 2siny− -21cosy) 5 5 5 5

2 2 2 √21 2 2 2 21 2 (3+ siny) =(3− 5sin y)− (-5-cosy)= (3− 5siny) − 25(1− sin y)

9+6siny+ siny2 = 9− 125-siny+ 425siny2− 2215 + 2215siny2

6siny =− 12siny− 21 5 25

42siny =− 21 5

siny =− 1- 10

Ответ:

$−-1 10$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#46084

Известно, что числа $x,y,z$ образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию с разностью $α= arccos(− 3) 7$ , а числа $--1 -7- -1- cosx,cosy,cosz$ также образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите $2 cos y$ .

Источники: Физтех-2017, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Используем критерий того, что три числа образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию

14 1 1 14 2cosx+zcosx−z cosy = cosx + cosz ⇐ ⇒ cosy-= 1(cos(x-+2z)+-cos2(x-− z) 2

Кроме того, $x+ z = 2y$ по тому же критерию. Дополнительно мы знаем разность первой прогрессии из условия, откуда $z − z =2α$ , подставим всё это в равенство выше и получим

--7-= -2cosycosα-- cosy cos2α + cos2y

Раскроем двойные углы и перемножим

2 2 2 2 7 − 7cos2 α 14cosα − 7+ 14cos y− 7= 2cosycosα ⇐⇒ cosy =-7-− cosα

Подставляя $cosα= − 37$ , имеем $cos2y = 1103$ .

Ответ:

$10 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#31042

Найдите значение выражения:

4-π 4 5π- 4 19π 4 23π sin 24 + cos 24 + sin 24 + cos 24

Показать ответ и решение

По формулам приведения

4 π 4 5π 4 19π 4 23π sin 24 +cos 24 + sin 24-+ cos-24 =

π 5π 5π π = sin424 + cos424 + sin424 +cos424.

Здесь есть что-то похожее на $sin2x +cos2x =1$ , но только с четвертыми степенями, поэтому возведем это тождество в квадрат: $sin4x+cos4x+ 2cos2xsin2x= 1$ .

Так как $2 2cos2x sin2x= sin2(2x)$ , то $2 sin4x+ cos4x= 1− sin2(2x)$ . Применим это тождество к нашему выражению. Получится

2− sin2 π12 +-sin2 51π2 2

Теперь применим тождество

π sin(2 − x)= cosx

И получается

sin2 π-+cos2 π- 1 2− ----12-2----12 = 2− 2 = 1,5.

Ответ:

$1,5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#34202

Решите уравнение

cos5x-− cos7x sin4x +sin2x = 2|sin 2x|.

Источники: Физтех-2016, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Применим формулы разности косинусов и суммы синусов, получим

2sinx-sin6x 2sin-xcos3x 2sin3xcosx = cosx =4|sinxcosx|

Далее в силу $3 cos3x =4cos x− 3cosx$ имеем $2 sinx(4cos x− 3)=2|sinxcosx|$ , а также условия из ОДЗ: $sin3x ⁄=0,cosx ⁄=0$ . Рассмотрим случаи

$sinxcosx ≥0$ , то есть синус и косинус одного знака и $x$ в первой или третьей четверти. Заметим, что $sinx= 0$ является корнем $sin3x= 0$ и не подходит, откуда $2 1±√13 4 cos x− 3= 2cosx ⇐⇒ cosx= 4$ . Под область значений косинуса подойдёт только $1−√13 cosx= --4--< 0$ , откуда синус также отрицателен и $1− √13- x =− arccos--4--+2πn$ .
$sinxcosx < 0$ , то есть синус и косинус разных знаков и $x$ во второй или четвёртой четверти. Отсюда аналогично $√-- 4cos2x− 3 =− 2cosx ⇐ ⇒ cosx= −1±4-13$ , где снова остаётся только $√-- cosx= -134−1> 0$ , откуда синус снова отрицателен и $√-- x = − arccos-13−4-1+2πn$ .

Ответ:

$− arccos(±1−√13)+ 2πn, n∈ ℤ 4$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#46082

Решите уравнение

2 2 (cosx− 3cos4x) =16+ sin 3x.

Источники: Физтех-2016, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Заметим, что подкоренное выражение по модулю не больше $4$ , в то же время правая часть не меньше $16$ , откуда два случая

( cosx= 1 ( cosx= −1 |{ или |{ |( cos4x =− 1 |( cos4x= 1 sin3x =0 sin3x = 0

В первом случае $x =2πn$ из первого уравнения, потому решений нет из второго. Во втором случае из первого уравнения имеем $x =π +2πn$ , что подходит во все остальные уравнения.

Ответ:

$π +2πn,n∈ ℤ$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#84840

Найдите значение выражения

∘ ∘ ctg 50 − 4cos50

Показать ответ и решение

Распишем котангенс

cos50∘− 4 cos50∘sin50∘ ------sin50∘-------

Применим формулу синуса двойного угла

cos50∘− 2sin100∘ ----sin50∘-----

Подставляя $sin100∘ = sin(90∘+ 10∘)= cos10∘$ , получим

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ cos50-− 2c∘os10 = cos50-−-cos10∘−-cos10 sin50 sin50

По формуле разности косинусов получаем

−-2sin30∘sin20∘− cos10∘ = − sin20∘+-cos10∘ sin 50∘ sin50∘

Подставляя $cos10∘ = cos(90∘− 80∘)= sin80∘$ , получим

∘ ∘ − sin20-+-sin∘80 sin50

По формуле суммы синусов получаем

− 2sin50∘cos30∘= −√3- sin50∘

Ответ:

$− √3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#85305

Решите уравнение

2 2 (cos2x− 2cos4x) =9 +cos5x

Показать ответ и решение

Заметим, что при любых $x$ выполняется неравенство

− 3≤ cosx− 3cos4x ≤3,

откуда следует, что левая часть уравнения не превосходит 9. В то же время, правая часть уравнения не меньше 9. Следовательно, равенство может достигаться только при одновременном выполнении условий