Тема . Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Тригонометрия на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#34202

Решите уравнение

cos5x-− cos7x sin4x +sin2x = 2|sin 2x|.

Источники: Физтех-2016, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Применим формулы разности косинусов и суммы синусов, получим

2sinx-sin6x 2sin-xcos3x 2sin3xcosx = cosx =4|sinxcosx|

Далее в силу $3 cos3x =4cos x− 3cosx$ имеем $2 sinx(4cos x− 3)=2|sinxcosx|$ , а также условия из ОДЗ: $sin3x ⁄=0,cosx ⁄=0$ . Рассмотрим случаи

$sinxcosx ≥0$ , то есть синус и косинус одного знака и $x$ в первой или третьей четверти. Заметим, что $sinx= 0$ является корнем $sin3x= 0$ и не подходит, откуда $2 1±√13 4 cos x− 3= 2cosx ⇐⇒ cosx= 4$ . Под область значений косинуса подойдёт только $1−√13 cosx= --4--< 0$ , откуда синус также отрицателен и $1− √13- x =− arccos--4--+2πn$ .
$sinxcosx < 0$ , то есть синус и косинус разных знаков и $x$ во второй или четвёртой четверти. Отсюда аналогично $√-- 4cos2x− 3 =− 2cosx ⇐ ⇒ cosx= −1±4-13$ , где снова остаётся только $√-- cosx= -134−1> 0$ , откуда синус снова отрицателен и $√-- x = − arccos-13−4-1+2πn$ .

Ответ:

$− arccos(±1−√13)+ 2πn, n∈ ℤ 4$ .

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse