Тема . Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Тригонометрия на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#70773

Углы $α$ и $β$ удовлетворяют равенствам

-1- 8- sin(2α+ 2β)= −√17;sin(2α +4β)+ sin(2α)= − 17

Найдите все возможные значения $tgα,$ если известно, что он определён и что этих значений не меньше трёх.

Источники: Физтех-2022, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Преобразуя в левой части второго равенства сумму синусов в произведение, получаем

4- sin(2α +2β)cos2β = −17

Подставляем в это соотношение значение синуса из первого равенства:

⌊ 1 1 4 4 | sin2β = √17 −√17 cos2β = −17 ⇔ cos2β =√17-⇔ |⌈ 1 sin2β =− √17

Отсюда следует, что исходные равенства эквивалентны совокупности двух систем уравнений:

( ( ||| sin(2α+ 2β)=− √1- ||| sin(2α+ 2β)= − √1- |||{ 4 17 |||{ 4 17 | cos2β = √17 и | cos2β = √17 ||||| -1- ||||| -1- ( sin 2β = √17 ( sin2β =− √17

Из первой системы получаем

(| -1-- ||||| sin(2α+ 2β)= −√ 17 { cos2β = √4- ⇒ √4--sin2α+ √1- cos2α= −√-1- |||| 17 17 17 17 ||( sin2β = √1 17

Далее имеем

8sinαcosα+ (cos2α − sin2 α)=− (cos2α + sin2α)⇔ 2cosα(cosα +4sinα)= 0⇔

[ ⇔ cosα= 0 cosα= −4sinα

В первом случае $tgα$ не существует, а во втором случае $1 tgα =− 4.$

Аналогично рассматриваем вторую систему:

( |||| sin(2α+ 2β)= −√1- ||{ 4 17 4 1 1 || cos2β = √17 ⇒ √17-sin2α− √17 cos2α= −√17-⇔ ||||( -1- sin2β = −√17

⇔ 8sinαcosα− (cos2α− sin2α)=− (cos2α+ sin2α)⇔ 2sinα(4cosα +sinα)= 0⇔

[ ⇔ sinα = 0 4cosα= − sin α

Отсюда $tgα= 0$ или $tgα= −4.$

Итак, возможные значения $tgα$ — это $0,−4$ и $1 − 4.$

Ответ: -4;-0.25; 0

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse