Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Тригонометрия на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#70299Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

|sinx|−-sin3x- √ - cosx cos2x =2 3

Источники: Физтех - 2015, 10 класс

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала стоит раскрыть модуль.

Подсказка 2

Было бы удобно преобразовывать получившиеся выражения на ОДЗ.

Подсказка 3

Воспользуйтесь формулой произведения синусов.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $cosx cos2x⁄= 0$

Рассмотрим два случая раскрытия модуля и преобразуем на ОДЗ:

− sinx− sin3x √- 2sin2xcosx √- sin2xcosx √ - sin x< 0:--cosxcos2x--= 2 3 ⇔ −-cosxcos2x-= 2 3 ⇔ cosx-cos2x = − 3⇔ ⇔ sin2xcosx-= −√3 ⇔ sin2x-= −√3⇔ tg2x= −√3 cosxcos2x cos2x

sinx−-sin3x- √ - 2sin-xcos2x √ - sinx-cos2x √- sinx ≥0 : cosxcos2x =2 3⇔ − cosxcos2x =2 3⇔ cosxcos2x =− 3⇔ ⇔ sinx-=− √3⇔ tgx= −√3- cosx

$( ⌊||| sinx< 0 ||{ tg2x= −√3 ||||||( ||(cosxcos2x ⁄=0 |||||| sinx≥ 0 ||{ tgx =− √3 ⌈|||( cosxcos2x ⁄=0$ $⇔$ $⌊ π |x =− 6 + 2πk,k ∈ℤ |||x = 4π+ 2πk,k∈ ℤ |⌈ 3 x = 2π+ 2πk,k∈ ℤ 3$

Ответ:

${− π+ 2πk,4π-+2πk,2π+ 2πk,k ∈ℤ} 6 3 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#39086Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√3 cosx sinx sinx+-cosx-= tg2x+ sin-x− cosx.

Источники: Физтех-2014, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Во-первых, напишем ОДЗ. Во вторых, видно, что по структуре, наиболее схожи эти две дроби. Значит, стоит попытаться привести их к общему знаменателю :)

Подсказка 2

Хмм, в знаменателе косинус двойного угол, а слева тангенс двойного угла. Стоит сократить и посмотреть что получается. Хмм… Мы видим произведение синуса и косинуса и их квадраты с некими коэффициентами. На что это похоже? Что мы привыкли делать в подобных ситуациях?

Подсказка 3

Да, это очень похоже на однородное уравнение. Обычно, мы решали его делением на квадрат одного из аргументов. Ничего не может остановить нас и сейчас сделать также. Главное - не забыть об ОДЗ:)

Показать ответ и решение

ОДЗ $sinx⁄= ±cosx$ , $cos2x =cos2x− sin2x⁄= 0$

Приведём дроби к общему знаменателю

√3cosx sinx − √3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sinx cosx sin-x+cosx − sin-x− cosx =----------sin2x−-cos2x----------- =

= tg 2x = sin2x-=--2− sin-2x-2 cos2x sin x− cos x

−√3cos2x +√3-sincosx − sin2x − sin xcosx =− 2sinxcosx

Если $cosx =0$ , то $sinx= 0$ , что невозможно. Значит, $cos2x⁄= 0$ и на него можно разделить.

−√3-+(√3 +1)tgx− tg2x= 0

Это квадратное уравнение от $tgx$ . Его корни $1$ и $√- 3$ . По ОДЗ $sin x⁄= cosx$ , поэтому $tgx⁄= 1$ . Значит $√- tgx = 3$ и $x = π3 + πn, n∈ ℤ$ , что удовлетворяет ОДЗ.

Ответ:

$π + πn, n∈ ℤ 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#46083Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

√- (---sinx--- ) --cosx--- 3 sinx− cosx + tg2x = sinx+ cosx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите tg(2x) через sin(x) и cos(x). tg(a) = sin(a)/cos(a), начните с этого.

Подсказка 2

Учтите ОДЗ и домножьте левую и правую часть на sin(x)+cos(x). Все получится!

Показать ответ и решение

На ОДЗ (!) данное уравнение равносильно каждому из следующих:

√-( sin x 2 sinxcosx ) cosx 3 sinx−-cosx-− (sin-x− cosx)(sinx-+cosx) = sinx+-cosx, √3-(sinx(sin x+cosx)− 2sinxcosx)= cosx(sinx − cosx), √- 3sin x(sinx − cosx)=cosx(sinx− cosx).

На ОД3 $sin x− cosx⁄= 0$ , так что получаем уравнение

√- 3sin x= cosx

√3- 1 2 sinx− 2cosx= 0

π sin(x− 6)= 0

x= π +πk,k∈ ℤ 6

При этом заметим, что эти корни удовлетворяют условиям из ОДЗ, так что их можно писать в ответ.

Ответ:

$π + πk,k∈ ℤ 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#85177Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

sin7xcosx−-sin5xcos3x cos2x− sin2x =0

Подсказки к задаче

Подсказка 1.

Итак, на первый взгляд не очень понятно, что делать с произведениями синуса на косинус. А если вспомнить формулу? Да давайте представим неудобное произведение в качестве приятный суммы синусов, может у нас даже что-то сократится. Действительно, sin(6x) сократился. Получаем в числителе sin(2x)4x.

Подсказка 2.

Кажется, мы можем уже дорешать задачу. Однако не спешим. Можно ещё сильнее упростить наше уравнение. Представим cos(4x) как (cos(2x) - sin(2x))(cos(2x) + sin(2x)). Ну, дальше уже сами... Мы получили незамысловатую дробь, числитель который должен равняться 0, а знаменатель не должен.

Показать ответ и решение

По формулам

1 sin 7x cosx= 2(sin8x+ sin6x)

1 sin5xcos3x = 2(sin8x +sin 2x)

уравнение равносильно

-sin6x−-sin2x-= -sin2xcos4x-= 0 2(cos2x− sin2x) cos2x− sin2x

Так как $cos4x= (cos2x− sin2x)(cos2x+ sin2x)$ , то получаем

sin2x⋅(cos2x−-sin2x)(cos2x+sin2x)- cos2x− sin2x =0

Что равносильно системе

{ sin2x(cos2x+ sin2x)=0 cos2x− sin2x⁄= 0

( [ |{ sin2x= 0 |( cos2x+ sin2x= 0 cos2x − sin2x ⁄=0

Если $sin2x= 0$ , то $πn x= 2 ,n ∈ℤ$ , причём $n cos2x− sin2x= (− 1) ⁄= 0$ , т. е. это решения.

Если $cos2x+ sin2x =0$ , то $cos2x⁄= 0$ (иначе $sin 2x =±1$ и равенство нулю невозможно). Поделив на $cos2x$ , получим $tg 2x =− 1$ , т. е. $π πn x= − 8 + 2$ . При этом $cos2x− sin2x= 2cos2x ⁄=0$ , т. е. это решения.

Ответ:

$πn, − π + πn, n∈ ℤ 2 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#46603Максимум баллов за задание: 7

Решите уравнение

2x− 1 π arctg x +arcsinx= 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно ли избавиться от π/2?

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулами приведения для одной из аркфункций.

Подсказка 3

Можно применить к обеим частям уравнения косинус или тангенс, но кажется, что работать с такой вещью будет неудобно... А может ли нам помочь какая-то тригонометрическая формула?

Подсказка 4

Вспомните формулу квадрата тангенса.

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно

2x−-1 arctg x =arccosx

С учётом формулы

1− cos2(arccosx) 1 − x2 tg2(arccosx)= --cos2(arccosx)-= --x2-

получаем уравнение-следствие:

√----- 2x−-1= -1-− x2 x x

На ОДЗ $0< |x|≤ 1$ можно домножить на знаменатель и возвести в квадрат:

2 2 4x − 4x+ 1= 1− x

x = 4 5

Теперь обязательно надо проверить, что найденное значение подходит в исходное уравнение:

245 −-1 4 arctg 45 = arccos 5?

arctg 34 =arccos45 =arcsin35 ∈ (− π2;π2)

Ответ:

$4 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#51605Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

3+-cos4x-− 8cos4-x -1-- 4(cosx+ sinx) = sinx.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первым делом хотелось бы избавиться от четвёртой степени. Каким образом можно при помощи преобразований свести степень к линейному виду какой-то тригонометрической функции?

Подсказка 2

Например, через формулу косинуса двойного угла! Как тогда преобразуется числитель?

Подсказка 3

Супер, в числителе осталось только -cos(2x)! А как можно преобразовать его, чтобы связать со знаменателем?

Подсказка 4

Косинус двойного угла — это разность квадратов! Тогда многое сократится и останется несложное уравнение ;)

Показать ответ и решение

Выразим четвёртую степень косинуса через двойные углы

4 2 ( 1+-cos4x) 8cos x= 2(1+ cos2x) = 2 1+ 2cos2x+ 2 = 3+4cos2x+ cos4x

откуда исходное уравнение равносильно уравнению

− --cos2x---= -1-- sinx+ cosx sinx

Используя формулу $cos2x= (cosx+ sinx)(cosx− sinx)$ и учитывая, что $sinx ⁄=0$ , $sinx+ cosx⁄= 0,$ преобразуем уравнение:

sinx− cosx =--1- ⇐⇒ sin2x− cosx sinx= 1 ⇐⇒ sinx

2 1− cos x− cosxsinx =1 ⇐ ⇒ cosx(sin x+cosx)= 0

откуда $cosx= 0 ⇐⇒ x= π2 +πn$ .

Ответ:

$π + πn,n ∈ℤ 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#78856Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

2 2 cos2x- sin 2x+ sin 4x= 1− cos3x

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Согласитесь, неудобно работать с синусами и косинусами от разных аргументов, так еще и в разных степенях. Подумайте, с помощью какой формулы можно избавиться сразу и от синусов, и от квадратов?

Подсказка 2

Давайте понизим степень у синусов и сложим две полученные дроби. Тогда после приведения подобных мы слева получили сумму косинусов, а справа произведение, так еще и аргументы у них у всех разные. Какой формулой можно облегчить своё положение? Обратите внимание, что (8x-4x)/2=2x.

Подсказка 3

Давайте в левой части уравнения преобразуем сумму в произведение, теперь наше уравнение приобрело следующий вид: cos(6x)2x = cos(2x)/cos(3x). Что можно дальше сделать с ним?

Подсказка 4

Приведем всё к одному знаменателю и вынесем общий множитель. Получаем совокупность уравнений cos(2x) = 0; cos(3x)cos(6x) = 1. С первым всё понятно, а в каком случае второе уравнение будет иметь решения?

Подсказка 5

Вспомним, что функция косинуса принимает значения от -1 до 1, а значит, произведение косинусов может быть равно 1 в крайне редких случаях.

Показать ответ и решение

По формуле понижения степени получаем

1− cos4x 1−-cos8x cos2x 2 + 2 =1− cos3x

cos4x+ cos8x cos2x -----2-----= cos3x-

По формуле суммы косинусов получаем

cos6xcos2x = cos2x- cos3x

cos2x(cos3x⋅cos6x − 1)= 0, cos3x⁄= 0

Уравнение $cos2x = 0$ имеет корни

x= π + πn ,n ∈ℤ 4 2

а, уравнение $cos3xcos6x =1$ по методу оценки имеет корни только в случае $|cos3x|= 1.$

Если $|cos3x|= 1,$ то $cos6x= 2cos23x− 1= 1$ и поэтому

cos3xcos6x =1

будет равносильно

cos3x =1

2πn x= -3-,n∈ ℤ

Ответ:

$π + πn, 2πn, n ∈ℤ 4 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#51604Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

sin27x cos27x sin2x = 16cos4x(1+ 2cos4x)+ cos2x .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте похожие слагаемые перенесём в одну часть. Чему равна разность дробей? Приведём к общему знаменателю!

Подсказка 2

После приведения к общему знаменателю в числителе появится разность квадратов. А что получится внутри каждой скобки после разложения?)

Подсказка 3

В числителе образуется произведение синусов двойных углов, которые также можно расписать в произведение. Теперь хочется некоторую часть числителя преобразовать так, чтобы получить что-то похожее на скобку из правой части уравнения.

Подсказка 4

Попробуйте расписать cos(6x)cos(2x).

Подсказка 4

cos(6x)cos(2x) = sin(2x)cos(2x)(1+2cos(4x)). Тогда можно подставить это в числитель нашей дроби и сократить всё, что можно! Останется несложное уравнение на косинусы ;)

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin2x⁄= 0$ . Воспользуемся равенствами

sin27x cos2-7x sin8xsin6x- 16cos4xsin2xcos2xsin6x sin2 x − cos2x = sin2xcos2x = sin22x

1 1 cos2xsin6x= 2(sin8x+ sin4x)= 2sin 4x(1+ 2cos4x)= sin2xcos2x(1+ 2cos4x)

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

2 16cos4x-sin-2xco2s2x(1-+2cos4x)= 16cos4x(1+ 2cos4x) sin 2x

Это уравнение на ОДЗ равносильно уравнению

cos4x(1+2cos4x)cos2x= cos4x(1+2cos4x)

а уравнение это равносильно совокупности уравнений

⌊ cos4x= 0 |⌈ cos4x= − 12 cos2x= 1

Первые два уравнения имеют корни $x= π8 + π4n,$ $n∈ ℤ$ и $x= ±π6 + πn2-,$ $n∈ ℤ$ и эти корни удовлетворяют ОДЗ, а из последнего следует, что $sin2x= 0$ .

Ответ:

$π + πn,± π+ πn, n∈ ℤ 8 4 6 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#80044Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

---sinx--- ---sinx--- cos2xcos3x + cos3xcos4x = sin4x− tg 2x

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обратите внимание на то, что в числителях аргумент синуса есть разность аргументов косинуса;) В какой формуле такое присутствует?

Подсказка 2

Вспоминаем формулу разности тангенсов!

Подсказка 3

sin(a-b)/cos(a)cos(b) = tg(a) - tg(b).Во что превратится наше выражение после преобразований?

Подсказка 4

tg(4x) = sin(4x). Когда такое возможно?

Подсказка 4

Распишите тангенс по определению и перенесите всё в одну часть! Полученную совокупность несложно решить:)

Показать ответ и решение

Используя формулу $sin(α−β)-= tgα − tgβ, cosαcosβ$ преобразуем исходное уравнение в виду

tg 3x − tg2x+ tg4x− tg3x= sin4x− tg2x

Область допустимых значений $x$ определяется условиями

cos2x ⁄=0,cos3x ⁄=0,cos4x⁄= 0

а при на ОДЗ исходное уравнение равносильно уравнению

tg4x =sin 4x

Уравнение равносильно совокупности уравнений

sin4x= 0 cos4x =1

причем все корни уравнения ворого содержатся среди корней уравнения первого. Из первого следует, что либо $sinx= 0,$ и тогда $x =πn,$ $n ∈ℤ,$ либо $cosx= 0$ (и тогда $cos3x= 0),$ либо $cos2x= 0$

Ответ:

$πn$ , $n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#51603Максимум баллов за задание: 7

Решить систему уравнений

{ 6sinxcosy+ 2cosxsin y = −3; 5sinxcosy− 3cosxsin y = 1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В уравнениях слишком много повторяющихся слагаемых ;) давайте тогда сделаем замену, после чего придём к несложной и решаемой системе!

Подсказка 2

Сделайте замену u = sin(x)cos(y), v = cos(x)sin(y). Какие будут u и v в решении?

Подсказка 3

Отлично, теперь нужно сделать обратную замену! А в каких выражениях или формулах встречаются такие u и v?)

Подсказка 4

Попробуйте свести систему к системе на синус суммы и разности!

Показать ответ и решение

Полагая $sinx cosy = u,$ $cosxsiny =v,$ получаем систему уравнений

{ 6u+ 2v = −3 5u− 3v = 1

откуда $u =− 1,v =− 3 4 4$ . Исходная система равносильна каждой из следующих систем:

{ sinxcosy = − 1, { sin(x +y)= −1 cosxsiny = −4 3, sin(x − y)= 1 4 2

Откуда уже тривиально выписываются решения.

Ответ:

$x =− π+ (−1)k-π+ πk+ πn 4 12 2$ ,

$π k+1-π πk y = −4 + (−1) 12 − 2 + πn,$

$k∈ℤ,n ∈ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#78855Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

√ -------------- √- 4+3cosx− cos2x= 6 sinx

Источники: Вступительные в МФТИ - 1996 (см. olymp.mipt.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте запишем, что правая часть нашего уравнения неотрицательна, и возведем обе части в квадрат.

Подсказка 2

cos(2x) и sin²x легко можно выразить через cos(x), а дальше решить уравнение как квадратное. Когда получите корни, не забудьте про ограничение.

Показать ответ и решение

Возведем в квадрат обе части при условии $sinx ≥0 :$

2 4+ 3cosx− cos2x= 6sin x

4+ 3cosx− 2cos2x +1= 6− 6cos2x

4cos2x+ 3cosx− 1 =0

Из последнего уравнения получаем, что $1 cosx= −1, cosx = 4.$ Отсюда получаем серию:

⌊ | x= π+ 2πk,k∈ ℤ ⌈ x= arccos1 +2πk, k ∈ℤ 4

Найденные корни удовлетворяют условию $sinx ≥0.$

Ответ:

$π +2πk, arccos1+ 2πk, k∈ ℤ 4$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#78852Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

sin 3x +|sinx|= sin2x

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так-с, видим модуль, поэтому первое, что стоит сделать - рассмотреть два случая!

Подсказка 2

Если синус положительный, то можно применить формулу суммы синусов! И дальше получится уравнение, которое решить уже не так и сложно! Теперь разберёмся, когда синус отрицательный!

Подсказка 3

Да, если синус отрицательный, то теперь просто применим формулу разности синусов! И также получим, несложное уравнения, для которого точно сможем найти совокупность решений!

Подсказка 4

И в каждом из случаев - не забывайте про ограничение на синус!

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая (1) $sinx> 0,$ (2) $sinx ≤0$

(1) При $sin x> 0:$

sin3x+ sinx= sin2x

2sin2xcosx= sin2x

sin2x(2cosx− 1)=0

откуда $sin2x = 0,$ либо $2cosx− 1= 0.$ Отсюда получаем серии:

⌊ πn | x = 2-,n ∈ℤ || π ||| x = 3 + 2πn,n ∈ℤ ⌈ 5π x = 3-+ 2πn, n∈ ℤ

С учетом неравенства $sinx≥ 0$ получаем следующие ответы:

⌊ π | x= 2 +2πn,n∈ ℤ |⌈ π x= 3 +2πn, n ∈ℤ

(2) При $sin x≤ 0:$

sin3x− sinx= sin2x

2cos2x sinx= 2sinxcosx

sinx(cos2x− cosx)= 0

откуда $sinx= 0,$ либо $cos2x− cosx = 0.$ Отсюда получаем серии:

⌊ x= πn,n∈ ℤ || 2πn ||⌈ x= 3 +2πn,n∈ ℤ x= 2πn, n ∈ℤ

Объединяя решения последней совокупности с учетом неравенства $sin x≤ 0,$ получаем следующие ответы:

⌊ x =πn, ⌈ x = 4π-+ 2πn, n∈ ℤ 3

Объединяя ответы из (1) и (2) получаем следующие ответы:

⌊ x= πn, || x= π + 2πn, || 2 ⌈ x= π + πn, n∈ ℤ 3

Ответ:

$πn, π + 2πn, π+ πn, n∈ ℤ 2 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#78853Максимум баллов за задание: 7

Найти все решения уравнения

---sin6x-- --cos6x--- sinx+ cosx = cosx− sinx,

принадлежащие интервалу $π (0;2)$ .

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Знаменатели в тригонометрии — очень неудобная вещь. Что поможет от них избавиться?

Подсказка 2

Верно, приведём к общему знаменателю и перенесём в одну сторону! Тогда у нас будет условие, что числитель равен нулю, и ОДЗ, чтобы знаменатель не обращался в ноль!

Подсказка 3

Для того, чтобы разобраться с числителем, примените формулы синуса разности и косинуса разности! Какое уравнение тогда получим в числителе?

Подсказка 4

Верно, получаем, что tg(5x) = 1, дальше остаётся аккуратно решить уравнение и проверить ОДЗ!

Показать ответ и решение

Исходному будет равносильно уравнение

sin6x(cosx− sinx)=cos6x(sin x+cosx)

при условии $(sinx+ cosx)(cosx− sinx)⁄= 0,$ т.е. $cos2x⁄= 0$

sin6xcosx− cos6xsinx = cos6xcosx +sin 6x sinx

sin5x =cos5x⇒ tg5x= 1,⇒ x = π-и x = 9π 20 20

Условиям $0 <x < π,cos2x⁄= 0 2$ удовлетворяют $x= -π и x = 9π 20 20$

Ответ:

$-π;9π 20 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#78854Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

∘-------- 5 -1-- 5tgx+ 10= 2sin x+ cosx

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В таком уравнении больше всего хочется возвести обе части в квадрат, так давайте сделаем это! Только не забудем условия для равносильности такого перехода (в левой части корень, значит, в правой части нашего уравнения тоже должна быть величина неотрицательная).

Подсказка 2

После возведения в квадрат у нас уничтожатся 5tg(x) с обеих сторон. Сразу же напрашивается замена, чтобы дальше мы решали обычное уравнение от одной переменной, а не тригонометрическое.

Подсказка 3

Путь t = sin²x, теперь мы получаем уравнение, которое можно привести к общему знаменателю, а дальше решить как квадратное. Не забудьте про ограничение на t, когда получите его корни!

Показать ответ и решение

Левая часть неотрицательна, поэтому и правая должна быть неотрицательна:

5 -1-- 2sin x+ cosx ≥0

5sinxcosx+ 2 ---cosx----≥ 0

Если обе части неотрицательны, то можно возвести в квадрат:

5 tgx +10= 25sin2x +5tgx+ --12-- 4 cosx

25sin2x+ --4--− 40= 0 cos2x

25 sin2x+ ---4-2-− 40=0 1− sin x

После замены $t= sin2x$ уравнение принимает вид:

25t+ -4--− 40= 0 1− t

25t(1−-t)+-4−-40(t− 1) 1− t =0

25t− 25t2+4− 40+ 40t -------1−-t------- =0

2 25t − 65t+ 36 =0,t⁄= 1

t= 4или t= 9 5 5

При обратной замене остаётся только

2 4 sin x= 5,

откуда получаем

2 x = ±arcsin √5 + πk,k∈ℤ

Вспомним условие

5sinxcosx+-2≥ 0 cosx

√ - (±2 +2)⋅± 5≥0

Окончательно получаем, что надо исключить из найденных решений серию $x= π+ arcsin√2-+ 2πk,k ∈ℤ. 5$

Ответ:

$− arcsin √2-+πk, arcsin√2-+2πk, k ∈ℤ 5 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#79126Максимум баллов за задание: 7

Числа $− sin x,4sin x⋅ctg2x,cosx$ являются членами арифметической прогрессии с номерами $k,k+ 1,k +2$ соответственно. Найти все значения $x$ и $k,$ если седьмой член этой прогрессии равен $1 5.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Три подряд идущих члена арифметической прогрессии... Конечно же, сразу хочется переписать это условие в виде уравнения с тремя данными в условии функциями. Далее, естественно будет это уравнение преобразовать к более приятному виду!

Подсказка 2

Если Вы всё правильно сделали, то должно было получиться 2 значения для ctg(x) — 1 и -4/3. Случай ctg(x) = 1 рассматривается просто, а со вторым нужно быть повнимательнее.

Подсказка 3

План рассмотрения случая ctg(x)=-4/3. Нам нужно выписать 2 серии решений (рассматриваем далее каждую по отдельности), для них выразить все нужные тригонометрические функции и подставить всё в условие для 7-го члена арифметической прогрессии. Отсюда и находятся значения x и k!

Показать ответ и решение

Из условия задачи получаем уравнение

cos2x 8 sinx⋅ctg2x= cosx− sinx ⇐⇒ 8sinx⋅ sin2x = cosx − sin x

cos2x 4⋅-cosx-= cosx − sinx ⇐ ⇒ 4cos2x= cos2x− cosx sinx

3cos2x +cosxsinx − 4sin2x =0 ⇐ ⇒ 3ctgx+ ctgx− 4= 0

Из последнего уравнения получаем:

[ ctgx =1 4 ctgx =− 3

Случай 1 $π π ctgx= 1, x= 4 +πn, 2x = 2 + 2πn, n∈ ℤ.$ Видно, что в этом случае прогрессия имеет вид либо $√2 √2- − 2 ; 0; 2 ,$ либо $√2- √2- 2 ; 0; − 2 .$