Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Логарифмы на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#80050Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

( 2 ) ∘ --------2 2 2log3 x − 4 +3 log3(x+ 2) − log3(x− 2)= 4

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Распишите (x²-4) по формуле разности квадратов.

Подсказка 2

Запишите разность 2 логарифмов.

Подсказка 3

Сделайте замену.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение к виду

2 ∘--------2 log3(x+ 2) + 3 log3(x+ 2) = 4

Пусть $∘ --------2 t= log3(x +2) ≥ 0.$ Тогда $2 t + 3t− 4= (t− 1)(t+ 4)= 0.$ Следовательно, $t= 1$ и $2 (x+2) = 3.$ Получаем $√- x= −2± 3,$ причем $√ - x =− 2+ 3$ не является решением, так как $2 √- √- x − 4=( 3 − 4) 3< 0$ и $( 2 ) log3 x − 4$ не определен, а $√- x= −2− 3−$ решение.

Ответ:

$− 2− √3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#51846Максимум баллов за задание: 7

Решить систему уравнений

{ (x− 2)(x +3)= y(y − 5); log (2 − y)=-x. x y2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В системах уравнений, где есть какая-то кракозябра и нормальное уравнение (а это почти каждая задача с физтеха) надо сначала поработать с нормальным уравнением, как-то его попреобразовывать, чтобы оно дало нам некоторую связь на переменные, которую мы могли бы использовать для упрощения кракозябры. Посмотрим на первое уравнение, так как именно оно претендует на нормальное. Попробуйте как-то разложить данное выражение (после переноса всего в одну часть, разумеется).

Подсказка 2

Подумаем, какими теоретически могут быть скобки. У нас точно в каждой должно быть x и y, притом понятно, с какими коэффициентами. Значит, остаётся подобрать свободные коэффициенты, чтобы у нас по итогу вышло нужное количество x и y. После этого у нас будет два выражения для y через х, при том это будут линейные выражения. Останется только проверить, подходят ли они под ОДЗ, которое получается из логарифма и после подстановки. Но остается вопрос: все ли пары (x,y), которые будут таким образом получены, будут подходить под систему и ограничения, или надо проверить их на выполнение ОДЗ? Попробуйте подумать об этом в терминах достаточных и необходимых условий, а не просто подставить их в систему.

Показать ответ и решение

Первое уравнение можно записать так:

2 2 x − y + x+ 5y − 6 =0 ⇐⇒ (x+ y− 2)(x− y +3)= 0, откуда

x =y − 3 (1)

x =2 − y (2)

Из второго уравнения системы следует, что

2− y > 0,x> 0,x⁄= 1 (3)

a) Если справедливо равенство (2), то из второго уравнения системы находим $x =y2,$ откуда, используя равенство (2), получаем $2− y = y2$ или $(y− 1)(y+ 2)=0.$ Пусть $y =1,$ тогда $x= 1,$ и не выполняются условия (3). Пусть $y = −2,$ тогда $x= 4$ и $(4;−2)$ — peшение данной системы.

б) Если справедливо равенство (1) и условия (3), то $y > 3$ и $y < 2,$ что невозможно.

Ответ:

$(4;− 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#51849Максимум баллов за задание: 7

Решить неравенство

√ ---- √ ---- 2 log2x−12( x+ 1− 9− x) <1.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое, что нужно делать, когда видите много логарифмов и корней (да и вообще, если просто видите логарифмы) — писать ОДЗ. Второе, что мы здесь видим — левая и правая часть есть логарифмы по одному основанию, так как 1 можно представить схожим образом. Значит, остаётся неравенство на выражения внутри логарифмов. Здесь мы можем либо применить метод рационализации, либо просто рассмотреть два случая. А каких? И почему, если мы не знаем волшебного метода, надо рассматривать два случая при получении неравенства на логарифмы с одним и тем же переменным основанием?

Подсказка 2

Верно, потому что если наше основание будет меньше 1, то неравенство будет в одну сторону, а если больше 1, в другую, так как возведение чисел в отрицательную степень меняет порядок. Значит, надо рассмотреть эти два случая и в каждом из них получить свои интервалы, после чего правильно их склеить и получить ответ!

Показать ответ и решение

ОДЗ определяется условиями:

√---- √ ---- x≥ −1, x≤ 9, x +1 > 9− x, 2x− 12> 0,2x− 12⁄= 1

x∈ (6;6,5)∪ (6,5;9]

На ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

2log (√x+-1− √9−-x)< log (2x − 12) (∗) 2x−12 2x−12

1) Пусть $x ∈(6,123 ),$ тогда неравенство (*) равносильно каждому из неравенств $(√x-+-1− √9-−-x)2 > 2(x− 6)$ , $11− x > √9+-8x-− x2$ , $121− 22x +x2 > 9+ 8x− x2$ , $x2− 15x+56 =(x− 7)(x− 8)>0,$ откуда следует, что значения $x$ из интервала $(6,123)−$ решения неравенства (*).

2) Пусть $x∈(13,9], 2$ тогда неравенство (*) равносильно неравенству $(x− 7)(x− 8)< 0,$ откуда $7< x< 8$ .

Ответ:

$(6;13)∪ (7;8) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#51850Максимум баллов за задание: 7

Найдите область определения функции

∘-----------||--------|| y = log4(1+6x)+ |log18(1+ 7x)|.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сначала надо понять, какие ограничения у нас возникают и какие очевидны. Ограничения от логарифмов понятны и их легко записать, а вот ограничение на подкоренное выражение сложнее. Во-первых, там модуль, да ещё он складывается с чем-то, значит метод рационализации не поможет. Значит, надо как-то определиться со знаком этого слагаемого, поскольку иначе решить неравенство на неотрицательность корня совсем непонятно как. Как же определиться со знаком? Может быть, сделать это на каких-то отдельных множествах иксов?

Подсказка 2

Верно, нам надо рассмотреть два случая: когда второй логарифм больше и когда он меньше или равен 0. Заметим, что дальнейших проблем у нас не возникает, поскольку мы можем по свойствам логарифма привести оба слагаемых к одному основанию. Значит, остаётся рассмотреть эти два случая, решая неравенства на выражения под логарифмом, после чего объединить интервалы и получить ответ.

Показать ответ и решение

Область определения функции задаётся системой неравенств

(| 1+ 6x> 0 |{ 1+ 7x> 0 ||( || || log4(1+ 6x)+ |log18(1 +7x)|≥ 0

равносильной системе (в неравенстве воспользуемся свойством логарифмов и домножим на $6$ ):

{ x >− 1 7 3log2(1+ 6x)+ 2|log2(1+ 7x)|≥ 0

Рассмотрим два случая:

$x≥ 0,$ и $− 1< x <0 7$

а) $B$ этом случае $1+ 6x ≥1,$ $log(1+ 6x)≥0 2$ и неравенство справедливо в силу того, что оба слагаемых в левой части неотрицательны.

б) $1+7x< 1,$ тогда $log (1 +7x)< 0 2$ и неравенство принимает вид

3log(1+ 6x)− 2log(1+ 7x)≥ 0, (1+ 6x)3 ≥ (1 +7x)2 2162x3+ 59x2 +4x2≥ 0, 216x2 +59x+ 4≤ 0 (x< 0) − 4-≤x ≤− 1 27 8

Таким образом, область определения функции задается неравенствами

1 1 x ≥0 и − 7 <x ≤− 8 .

Ответ:

$(− 1;− 1] ∪[0;+∞ ) 7 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#79279Максимум баллов за задание: 7

Решить уравнение

x log22 + log2(21x− 2)= 2log21x2−2x8

Источники: Вступительные в МФТИ - 1991 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что нужно записать первым делом? А потом подумайте: не видите ли вы чего-то похожего в аргументах и основаниях логарифмов? Что тогда можно сделать?

Подсказка 2

Первым делом, конечно, пишем ОДЗ! А ещё, если сложить логарифмы слева, аргумент будет почти такой же, как основание логарифма справа) Тогда можно это и сделать, а потом при помощи небольших преобразований получить уравнение с одним логарифмом

Подсказка 3

И этот логарифм можно заменить на t, а потом решить получающееся квадратное уравнение, не забыв проверить корни на соответствие ОДЗ

Показать ответ и решение

Найдём ОДЗ:

(| x >0 |||{ 2 | 21x−2 2> 0 |||( 21x2− 2x ⁄=1 21x − 2x >0

(| x > 0 |||{ x > 2- | x ⁄= 211±-√22- |||( x ∈(−2∞1; 0)∪ (2;+∞ ) 21

Преобразуем левую часть уравнения:

log x +log(21x− 2)= log ( 21x2−-2x) 22 2 2 2

(21x2−-2x) 2 log2 2 = log2(21x − 2x)− 1

Теперь воспользуемся тем, что $1 logab= logba$ и сделаем замену $2 t= log2(21x − 2x)$ , тогда наше уравнение примет вид:

6 t− 1= t

Домножим на $t$ и получим квадратное уравнение: $t2− t− 6 =0,$ корни которого будут равны $t1 = 3, t2 =− 2$

При $t1 = 3$ нужно решить уравнение $log2(21x2− 2x)= 3$ . Пропотенциируем и получим $21x2− 2x− 8= 0$ . Корни этого уравнения $x1 = 2 3$ и $x2 =− 4 7$ . $x2$ не будет входить в ОДЗ, поэтому оставляем лишь $x1$

При $t2 = −2$ нужно решить уравнение $2 log2(21x − 2x)= −2$ . Так же потенциируем и получаем $2 1 21x − 2x− 4$ . Корни этого уравнения $x3 = 1 6$ и $x4 =− 1- 14$ . $x4$ нам не подходит, так как этот корень не попадает в ОДЗ.