Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Планиметрия на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#31715Максимум баллов за задание: 7

На продолжении стороны $AC$ треугольника $ABC$ за точку $A$ отмечена точка $T$ такая, что $∠BAC = 2∠BTC.$ Найдите площадь треугольника $ABC,$ если известно, что $AB =AC, BT = 70,AT = 37.$

Источники: Физтех-2018, 9.5, (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Угол BAC - внешний для треугольника BAT! Какие выводы можно сделать, пользуясь этим знанием и условием на углы BAC, BTC?

Подсказка 2

Верно, равнобедренность ABT. Далее нам было бы здорово сделать какие-то выводы про наш треугольник CBT, пользуясь доказанным фактом и тем, что AB = AC по условию

Показать ответ и решение

$PIC$

Поскольку $∠BAC$ — внешний для треугольника $T AB,$ то из условия получаем $∠ABT =∠BT A.$ Тогда $AB = AC =AT$ и $∠CBT$ прямой. Отсюда по теореме Пифагора $√ ------- BC = 742− 702 = 24$ и $SABC = SCBT∕2= 24⋅70∕4= 420.$

Ответ:

$420$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#71791Максимум баллов за задание: 7

В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ проведена диагональ $BD,$ и в каждый из полученных треугольников $ABD$ и $BCD$ вписана окружность. Прямая, проходящая через вершину $B$ и центр одной из окружностей, пересекает сторону $DA$ в точке $M.$ При этом $8 AM = 5$ и $12 MD = 5 .$ Аналогично, прямая, проходящая через вершину $D$ и центр второй окружности, пересекает сторону $BC$ в точке $N.$ При этом $30 BN = 11$ и $25 NC = 11.$

(a) Найдите отношение $AB :CD.$

(b) Найдите длины сторон $AB$ и $CD,$ если дополнительно известно, что данные окружности касаются друг друга.

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Так ли проста прямая, соединяющая центр вписанной окружности с вершиной треугольника?) Просят найти AB/CD, а какие вообще отношения с AB и CD можно записать?

Пункт а), подсказка 2

Прямые BM и DN это биссектрисы треугольников! Тогда стоит воспользоваться свойством биссектрисы, чтобы связать отношениями AB с CD

Пункт б), подсказка 1

Мы уже знаем отношение AB/CD, так что хочется попробовать как-то с помощью переменных выразить AB и CD, чтобы потом решить уравнение.

Пункт б), подсказка 2

На рисунке есть окружности и касательные, на что это может намекать?

Пункт б), подсказка 3

Отрезки касательных к окружности из одной точки равны! Так что мы можем все отрезки, в том числе и AB и CD, выразить через отрезки, выходящие из вершин B и D.

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Так как биссектриса треугольника делит его сторону пропорционально двум другим сторонам, то

AB :BD = AM :MD = 2:3

BD :DC = BN :NC = 6:5

Следовательно,

2 6 AB :CD = 3 ⋅5 =4 :5

(b) Обозначим точки касания окружности, вписанной в треугольник $ABD,$ с его сторонами $AB,$ $AD, BD$ через $P,F,K$ соответственно; точки касания окружности, вписанной в треугольник $BCD$ с его сторонами $BC, CD,BD$ — через $Q,E,K$ соответственно (по условию точка касания со стороной $BD$ общая).

$PIC$

Пусть $BK =x,KD = y.$ Используя равенство отрезков касательной, проведённых к окружности из одной точки, получаем соотношения

BQ = BP =BK = x,DF = DE =DK =y,AF = AD − DF = 4− y,AP = AF = 4− y

CQ = BC − BQ = 5− x,CE =CQ = 5− x,AB = AP +P B = 4+ x− y,CD =5− x+ y

В пункте (а) было получено, что $AB :CD = 4:5,$ откуда $4+x−y 4 5−x+y = 5,x= y.$ Тогда

AB =4,CD = 5

Ответ:

(a) $AB :CD = 4:5$

(b) $AB = 4,CD =5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#39607Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ угол при вершине $A$ в два раза больше угла при вершине $C$ . Через вершину $B$ проведена касательная $l$ к окружности $Ω$ , описанной около треугольника $ABC$ . Расстояния от точек $A$ и $C$ до этой касательной равны соответственно 4 и 9.

(a) Найдите расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ .

(b) Найдите радиус окружности $Ω$ и длину стороны $AB$ .

Источники: Физтех-2017, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать про угол между хордой и касательной?

Подсказка 2

Верно, такой угол равен одному из вписанных углов, опирающихся на ту же дугу! Одной из задач, которая перед нами стоит, является найти радиус описанной окружности. В какой теореме он присутствует?)

Подсказка 3

Да, в теореме синусов!) Запишите ее и посмотрите, сколько приятных вещей можем из нее найти!

Подсказка 4

Посмотрите на треугольник АВD и найдите сторону АВ!

Подсказка 5

Воспользуйтесь синусом угла АВС, чтобы найти нужное нам расстояние!

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AD = 4$ и $CE =9$ , где $DE$ — касательная. Учтём равенство углов между касательной и хордой вписанным, запишем $2R$ через стороны $AB$ и $BC$

2R= -AB-= --42--= -BC--= --92-- ⇐⇒ 16cos2α =9 ⇐⇒ cosα= 3 sin α sin α sin2α sin 2α 4

Поскольку $3α< 180∘$ , то $√ - sinα =-47$ . Отсюда сразу же находим

AB = --4-= √16-, R = -AB--= 32- sin α 7 2sinα 7

Осталось найти высоту, для этого заметим следующее

3 ρ(A,BC)= AB sin∠ABC =AB sin3α =AB (3sinα− 4sin α)= 5

Ответ:

а) 5

б) $32; 7$ $1√6- 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#39608Максимум баллов за задание: 7

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность радиуса $7$ . Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $P$ , а лучи $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $Q$ . Известно, что треугольники $ADP$ и $QAB$ подобны (вершины не обязательно указаны в соответствующем порядке).

(a) Найдите $AC$ .

(b) Пусть дополнительно известно, что окружности, вписанные в треугольники $ABC$ и $ACD$ , касаются отрезка $AC$ в точках $K$ и $T$ соответственно, причём $CK :KT :TA= 6:$ $1 :7$ (точка $T$ лежит между $K$ и $A$ ). Найдите $∠DAC$ и площадь четырёхугольника $ABCD$ .

Источники: Физтех-2017, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а), подсказка 1

Заметим, что угол А у наших подобных треугольников общий. Что тогда можно сказать про другие углы этих треугольников?

Пункт а), подсказка 2

Ура! Мы использовали подобие, чтобы указать на равные углы! Но у нас два варианта… Как понять, что один не подходит?

Пункт а), подсказка 3

Да, угол ADP больше чем угол AQB. Значит, нам подходит только вариант равенства углов ABQ и ADP. Попробуйте, воспользовавшись вписанностью ABCD, понять, чему равен каждый из этих углов , и задача будет решена!

Пункт б), подсказка 1

Поскольку CK:KT:TA=6:1:7, то CT=TA, но ведь CA-диаметр из пункта а. Что это дает?

Пункт б), подсказка 2

Да, мы поняли, что угол DAC=45° (значит, мы нашли и площадь треугольника ADC). А также нашли длины отрезков CK,KT,TA. Воспользовавшись свойством равенства длин касательных из одной точки, попробуйте понять, как можно сделать картинку жёсткой. То есть какую одну переменную нужно ввести, чтобы картинка задавалась единственным образом?

Пункт б), подсказка 3

Да, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, фиксирует картинку. Осталось понять, чему равен этот радиус. Как это сделать? Попробуйте выразить площадь треугольника ABC двумя разными способами через радиус.

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Подобие треугольников эквивалентно равенству всех их углов. Так как угол при вершине $A$ у треугольников общий, то есть два варианта: либо $∠ABQ = ∠ADP,∠AQB =∠AP D,$ либо $∠ABQ =∠AP D,$ $∠AQB =∠ADP.$ Второй случай невозможен, так как $∠ADP −$ внешний угол треугольника $CDQ,$ поэтому он равен сумме $∠DCQ + ∠DQC,$ т.е. $∠ADP > ∠AQB.$ Тогда остаётся первый случай и $∠ABC =∠ADC.$ Но четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность, а значит, $∠ABC + ∠ADC = 180∘,$ откуда $∠ABC = ∠ADC =$ $90∘.$ Следовательно, $AC −$ диаметр окружности, $AC = 14.$

(b) Из предыдущего пункта получаем $T C = TA = 7$ , то есть точка касания вписанной окружности является серединой стороны и $△ADC$ равнобедренный, откуда $∘ ∠DAC = 45$ . Пусть $r$ — радиус вписанной окружности $ABC$ и $X ∈ AB,Y ∈BC$ — точки касания её с катетами. Из условия $Y C = CK = 6$ и $AK = AX = 8$ . При этом $BY = BX = r$ , запишем площадь $△ABC$ двумя способами

(r+ 6)(r+ 8) r(r+ 6+ r+8 +14) SABC =-----2---- = -------2------- ⇐⇒ r2+14r− 48 =0

Поскольку $r> 0$ , то $√-- r= −7+ 97$ и $SABC = (r+6)(2r+8)= 97−21= 48$ . Площадь равнобедренного $△ADC$ равна $√-√ - 7-2⋅27-2= 49$ , откуда $SABCD = 48 +49= 97$ .

Ответ:

(a) $14;$

(b) $45∘,97.$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#51855Максимум баллов за задание: 7

Равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ вписан в окружность $Ω.$ Хорды $DN$ и $LT,$ параллельные прямой $AC,$ пересекают сторону $BC$ в точках $F$ и $H$ соответственно, и при этом $BF =F H =HC$ . Найдите радиус окружности $Ω$ и площадь треугольника $ABC,$ если $√ -- √-- DN =2 30, LT = 2 42,$ а центр $O$ окружности $Ω$ расположен между прямыми $LT$ и $AC.$

Источники: Физтех-2016, 10.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, даны равные отрезки на прямой. Какое дополнительное построение напрашивается?

Подсказка 2

Проведите прямую BO.

Подсказка 3

Образуется много прямоугольных треугольников. А может ли нам помочь теорема Пифагора?

Показать ответ и решение

$PIC$

Прямая $BO$ перпендикулярна хордам $AC,DN, LT$ и делит каждую из них пополам. Пусть точки $P$ , $Q$ и $E−$ середины $DN,LT$ и $AC.$ Обозначим радиус окружности $Ω$ за $R;BP = PQ = QE =x.$ Тогда $OQ = OB − BQ = R − 2x,OP =OB − BP = R− x$ и по теореме Пифагора для треугольников $OQT$ и $OPN$ получаем $R2 = 42+(R − 2x)2,R2 =30+ (R− x)2,$ откуда после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых следует, что

{ 2x2− 2Rx +21 =0 x2− 2Rx+ 30 =0

находим, что $x2− 9=0$ , $x =3$ . Тогда $2 R = 2x2+x21= 132$ ;

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что $x2− 9= 0$ , $x= 3$ . Тогда

( )2 ( )2 OE = BE − BO = 3x− R= 5,CE2 = OC2− OE2 = 13 − 5 =36 2 2 2

Следовательно, $SABC = BE ⋅CE = 9⋅6 =54$ .

Ответ:

$R = 13,S =54 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#64373Максимум баллов за задание: 7

Точки $A,B,C,D,E$ последовательно расположены на прямой. Известно, что $AB = BC =2,CD = 1$ , $DE =3$ . Окружности $Ω$ и $ω$ , касающиеся друг друга, таковы, что $Ω$ проходит через точки $A$ и $E$ , а $ω$ проходит через точки $B$ и $C$ . Найдите радиусы окружностей $Ω$ и $ω$ , если известно, что их центры и точка $D$ лежат на одной прямой.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите центры окружностей.

Подсказка 2

Видите ли Вы какой-нибудь перпендикуляр?

Подсказка 3

Поскольку Е - середина AE, отрезок OC будет перпендикулярен AE, где O — центр окружности Ω.

Подсказка 4

А можно ли получить подобные треугольники?

Подсказка 5

Пусть Q — центр окружности ω. Проведите QH параллельно OC.

Подсказка 6

O и Q лежат на одной прямой. Как их можно выразить друг через друга?

Подсказка 7

Заметьте, что OQ = R - r, где R - радиус Ω, r — радиус ω. Как еще можно найти AQ?

Подсказка 8

Рассмотрите трапецию HCOQ. А как посчитать r?

Подсказка 9

С этим поможет треугольник BQH.

Показать ответ и решение

Обозначим центры окружностей $Ω$ и $ω$ через $O$ и $Q$ соответственно. Поскольку $C$ — середина хорды $AE$ окружности $Ω$ , то отрезок $OC$ перпендикулярен $AE$ . Опустим из точки $Q$ перпендикуляр $QH$ на прямую $AE$ . Тогда $BH = HC = 1$ (диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам).

Пусть $OC =x$ . Тогда $QH = 2x$ (так как $OC$ — средняя линия треугольника $DHQ ),$

$PIC$

∘ ---------- ∘ ------ ∘ --------- ∘ ------ r= QB = QH2 + BH2 = 4x2+1,R =OA = OC2+ AC2 = x2+ 16

Выразим двумя способами отрезок $QO$ . С одной стороны, так как окружности касаются внутренним образом, расстояние между их центрами равно разности радиусов, т.е. $OQ = R − r$ . С другой стороны, из прямоугольной трапеции $CHQO$ получаем, что

OQ2 = CH2+ (QH − OC )2 =1 +x2

Значит,

∘----- ∘ ------ ∘ ------ OQ = 1+ x2 = R − r= x2+16− 4x2 +1

откуда

2 ∘ -4----2--- 2 5x +2 +2 4x +5x + 1= x +16

∘4x4-+5x2+-1= 7− 2x2

При условии $7− 2x2 ≥ 0$ получаем

4x4+ 5x2 +1 =49− 28x2 +4x4 ⇐⇒ x2 = 16 11

Тогда получаем, что $∘-- ∘-- R = 8 311,r= 5 131.$

Ответ:

$8∘ 3-,5∘ 3 11 11$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#51854Максимум баллов за задание: 7

В углы $A$ и $B$ треугольника $ABC$ вписаны соответственно окружности с центрами $O 1$ и $O 2$ равного радиуса, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC.$ Данные окружности касаются стороны $AB$ в точках $K1,K2$ и $K$ соответственно, при этом $AK1 = 4,BK2 = 6,$ и $AB = 16.$

(a) Найдите длину отрезка $AK$ .

(b) Пусть окружность с центром $O1$ касается стороны $AC$ в точке $K3.$ Найдите угол $CAB,$ если известно, что точка $O1$ является центром окружности, описанной около треугольника $OK1K3.$

Источники: Физтех-2015, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Пункт а, подсказка 1

Чем нам могут помочь вписанные окружности?

Пункт а, подсказка 2

Посмотрите на прямые AO₁ и BO₂.

Пункт а, подсказка 3

Они являются биссектрисами, следовательно, пересекаются в центре вписанной окружности треугольника ABC.

Пункт а, подсказка 4

Проведите радиусы к стороне AB.

Пункт б, подсказка 1

Рассмотрите треугольник OK₁K₃.

Пункт б, подсказка 2

Заметим, что O₁O = O₁K₁. Мы ведь знаем, что AO - биссектриса, попробуйте найти сначала угол OAB.

Пункт б, подсказка 3

Может, удобнее будет искать равный угол в другом треугольнике?

Пункт б, подсказка 4

Постройте O₁H перпендикулярно OK.

Показать ответ и решение

$PIC$

(a) Прямые $AO1$ и $BO2$ являются биссектрисами углов $A$ и $B$ треугольника, поэтому они пересекаются в точке $O$ - центре вписанной окружности. Обозначим радиусы окружностей с центрами $O1$ и $O2$ через $r,$ а радиус вписанной окружности через $R.$ Треугольники $OKB$ и $O2K2B$ подобны, коэффициент подобия равен $R, r$ поэтому $BK = 6R. r$ Аналогично $AK = 4R, r$ откуда $10R =16,AK = 32. r 5$

(b) Из условия следует, что $O1O =O1K1 = r.$ Опустим из точки $O1$ перпендикуляр $O1H$ на отрезок $OK.$ Тогда $3 OH- 3 OH = R − r = 5r,∠OAB = ∠OO1H = arcsin OO1 = arcsin5.$ Значит, $3 -7 ∠CAB = 2arcsin5 =arccos25$

Ответ:

(a) $32 AK = 5-,$

(b) $∠CAB =2 arcsin35 =arccos 725$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#51851Максимум баллов за задание: 7

Две окружности разных радиусов касаются внешним образом. К ним проведены две общие внешние касательные $AC$ и $BD.$ Их точки касания с меньшей окружностью — $A$ и $B,$ с большей окружностью — $C$ и $D.$ Найдите радиусы окружностей, если известно, что $24 AB = 5$ , $AC =12.$

Источники: Физтех-2012, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Из какой фигуры можно выразить оба радиуса?

Подсказка 2

Рассмотрите трапецию, одно из оснований которой равно сумме радиусов.

Показать ответ и решение

$PIC$

Введём обозначения: $O$ — центр меньшей окружности, $Q$ — центр большей окружности, $r$ — радиус меньшей окружности, $R−$ радиус большей окружности, $OQ ∩AB = H,$ $∠CQO =∠AOH = α.$ Рассмотрим прямоугольную трапецию $OACQ.$ $OA = r,OQ = R +r,CQ =R,AC = 12.$ Из точки $O$ опустим перпендикуляр $OE$ на отрезок $CQ.$ Из прямоугольного треугольника $OEQ$ по теореме Пифагора получаем, что $(R+ r)2 − (R− r)2 =122,Rr= 36.sinα = AOCQ-= 1R2+r.$ $r⋅R12+r = 125$ Решая полученные уравнения, находим, что $r= 3,R= 12.$

Ответ:

$r= 3,R= 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#51007Максимум баллов за задание: 7

В равнобедренном треугольнике $ABC$ основание $AC$ равно $1,$ угол $ABC$ равен $2arctg 1 2$ . Точка $D$ лежит на стороне $BC$ так, что площадь треугольника $ABC$ вчетверо больше площади треугольника $ADC.$ Найдите расстояние от точки $D$ до прямой $AB$ и радиус окружности, описанной около треугольника $ADC.$

Источники: Физтех-2010, 11.1 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $E$ — проекция точки $D$ на прямую $AB.$ Так как $S△ABC =$

= AC-⋅BC-sin∠ACB, a S△ADC = AC⋅DC-sin ∠ACB, то BC-= S△ABC =4. 2 2 DC S△ADC

Следовательно, $DC = BC- 4$ и $BD = 3BC. 4$ Имеем $BC = ---1----= √5 2sinarctg12 2$ (можно использовать $-1--= 1+ ctg2α sin2α$ ). Тогда $BD = 3√5- 8$ и $3√5 2 3 DE = BDsin∠ABC = -4-⋅5 =2√5$ — расстояние от точки $D$ до прямой $AB.$ Далее, по теореме косинусов из $△ADC$ получаем

√ - AD2 = AC2+ DC2 − 2 ⋅AC ⋅DC ⋅cos∠ACD =1+ -5 −--5⋅√1-= 53 64 4 5 64

Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника $ADC,$ равен

---AD---- √53 √5- √265- R= 2sin∠ACD = 16 ⋅2 = 32

Ответ:

$ρ =-3√-,R = √265 2 5 32$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#51011Максимум баллов за задание: 7

В треугольнике $ABC$ медиана $BM = 2,$ угол $ABM$ равен $arctg 2, 3$ угол $CBM$ равен $arctg 1. 5$ Найти стороны $AB, BC$ и биссектрису $BE$ треугольника $ABC.$

Источники: Физтех-2008, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны арктангенсы, но ведь с ними крайне неудобно работать. Давайте сразу найдем синусы и косинусы заданных углов. При этом, если смотреть на треугольники, на которые разбивается ABC медианой, то можно понять, что у нас много равных элементов в них. Синусы смежных углов, общая сторона и равные стороны. На что это может намекать?

Подсказка 2

На теорему синусов, для двух этих треугольников, ведь из теоремы синусов, правильно поперенося сомножитель, можно получить AB/BC = sin(ABM)/sin(CBM). А что это дает, если знать, что сумма площадей двух наших треугольников равна площади ABC?

Подсказка 3

Верно, если мы распишем площади как произведение сторон на синус угла между ними и поделим на 2 (не зря же мы эти соотношения с синусами находили), то выразим AB через BM и углы. А значит, нашли AB и BC. Осталось найти длину биссектрисы. Как это сделать зная весь треугольник? Как угодно. Однако, изысканный читатель скажет что…

Подсказка 4

Что есть формула биссектрисы! Мы же знаем все стороны треугольника, а значит, и отношения, в котором делит сторону биссектриса. Значит, и отрезки на которые биссектриса эту сторону разбивает. Однако, если вы не знаете эту формулу, то можно просто найти через теорему синусов угол A, а также найти через теорему синусов, но уже для треугольника ABE. А отрезок AE нетрудно найти из основного свойства биссектрисы. Остаётся посчитать :)

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим $∠ABM =α,$ $∠CBM = β.$ По теореме синусов из треугольников $ABM$ и $CBM$ находим $--AB--- -AM sin∠AMB =sinα$ и $---BC-- MC- sin∠CMB = sinβ.$

Так как $∠AMB +∠CMB = π$ и $AM = MC,$ то

AB sinβ sin∠AMB =sin∠CMB и BC-= sinα-

В силу $S△ABC = S△ABM + S△CBM$ , имеем

AB ⋅BC ⋅sin(α+ β)= AB ⋅BM ⋅sinα+ BC ⋅BM ⋅sinβ

По доказанному $BC sinβ =AB sinα$ , откуда

( sinα) AB2 sinβ- sin(α +β)= 2AB ⋅BM ⋅sinα,

т. e. $AB = 2sBinM(αs+inββ) .$ Тогда $BC = 2BsiMn(αsi+nβα) .$

В нашем случае $α= arctg 23,β = arctg 15.$ Тогда $sin α= √213,cosα= √313,sinβ = 1√26,cosβ = √526$ , $sin(α+ β)= 1130√2 + 133√2 = √12.$ Следовательно, $AB = √4-,BC = 8√√2. 13 13$

Длину биссектрисы можно найти из применения теорем косинусов для $△ABE$ и $△BCE$ , а затем написав отношение полученных выражений

( ) √ - ∘ 1+-√1- 8∘2√2(1+-√2) BE = 2⋅AB-⋅BC-cos α-+β- = √-2⋅4⋅8√2- ----2-= -√------√---. AB + BC 2 13(4+ 8 2) 2 13(1+ 2 2)

Ответ:

$AB = √4-,BC = 8√√2,BE = 8√√2√2(1+√√2) 13 13 13(1+2 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#106680Максимум баллов за задание: 7

Окружность с центром на стороне $AB$ равнобедренного треугольника $ABC$ $(AB = BC)$ касается отрезка $AC$ в точке $F,$ пересекает отрезок $BC$ а точке $G,$ проходит через точку $B$ и пеpeceкaeт отрезок $AB$ в точке $E,$ причем $AE = a,∠BF G =γ.$ Найти радиус окружности.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим угол OBG за x и посчитаем некоторые уголочки. Как воспользоваться углом из условия. Как он связан с углом x?

Подсказка 2

В треугольнике OBG все углы выражаются через x и γ, и мы можем выразить один через другой! А что можно сказать про углы треугольника ABC?

Подсказка 3

Угол A также можно выразить через угол x, а, значит, и через угол γ! А каким условием мы еще не пользовались?

Подсказка 4

AF — касательная к окружности! Какие выводы можно сделать из этого?

Подсказка 5

Треугольник AOF — прямоугольный, у которого нам надо найти катет через уже известные нам углы и отрезки ;)

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — центр окружности радиуса $R,∠OBG = φ,$ тогда

∠BOG =2γ, 2φ +2γ = π,

откуда

π π φ- π γ φ= 2 − γ, ∠A = 2 − 2 = 4 + 2.

$PIC$

Из треугольника $OAF$

R = (R +a)sinA

R(1− sin A)= asinA

(π γ) R = a-sin-4( +-2γ) 1− sin π4 + 2

Ответ:

$-asin(π4 +-γ2) 1 − sin (π4 + γ2)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#80048Максимум баллов за задание: 7

Через точку $A$ проведены две прямые: одна из них касается окружности в точке $B,$ а другая пересекает эту окружность в точках $C$ и $D$ так, что $D$ лежит на отрезке $AC.$ Найти $AB,CD$ и радиус окружности, если $1 BC = 4,BD =3,∠BAC = arccos3.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Обозначим AB за x, AD за y. Проведена касательная к окружности — какие равенства это за собой влечёт?

Подсказка 2

Угол между касательной и хордой равен углу, опирающемуся на эту хорду! Тогда можно обратить внимание на то, в каких треугольниках присутствуют равные углы. Ищем отрезки, значит, стоит записать какие-то отношения!

Подсказка 3

Треугольники ABC и ABD подобны! Тогда можно выразить какие-то отрезки через введённые переменные. Как думаете, зачем нам дали арккосинус?) Как он может помочь в счёте отрезков?

Подсказка 4

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ABC. Тогда мы сможем выразить x ;)

Подсказка 5

А как связаны y и x на картинке? Как они были построены?

Подсказка 6

Воспользуемся свойством о квадрате касательной! Тогда можно будет найти y ;)

Подсказка 7

А как мы ищем радиус описанной окружности, если известны какие-то и углы и стороны треугольника?

Подсказка 8

Воспользуемся теоремой синусов!

Показать ответ и решение

Обозначим $AB = x,AD = y,∠BAD = α,∠ACB = φ$ . Тогда $∠ABD = φ.$

$PIC$

Из подобия треугольников $ABC$ и $ABD$ следует, что $AB- AD- 3 AC = BC = 4,$ откуда $4 AC = 3x$ .

Из треугольника $ABC$ по теореме косинусов получаем

BC2 = AB2 +AC2 − 2AB⋅AC ⋅cosα

2 16 2 4 1 17 2 16= x + 9 x − 2x⋅3 x⋅3 = 9 x

, oткyда $-12- AB = x= √17.$

По свойству касательной и секущей

AB2 = AD ⋅AC,

2 4 x = y⋅3x,

откуда

9 16 9 7 AD = √17,DC = AC− AD = √17 − √17-= √17

Пусть $R$ — радиус окружности, тогда

R= -BD--= --3--. 2sin φ 2sin φ

Из треугольника $ABD$ по теореме синусов имеем

AD--= BD-, sinφ sinα

где

2√2 AD sin α ∘-2- 3√17 sinα = -3-,sinφ= ---3---= 2 17,R = 4√2-

Ответ:

$AB = √12-,CD = √7,R = 3√1√7 17 17 4 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#79219Максимум баллов за задание: 7

Медиана $AM$ и биссектриса $CD$ прямоугольного треугольника $ABC (∠B = 90∘)$ пересекаются в точке $O.$ Найти площадь треугольника $ABC$ , если $CO = 9,OD = 5.$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сходу непонятно, что делать. У нас имеется медиана, почему бы ее не удвоить...

Подсказка 2

Обозначим за K- точку, симметричную A относительно M. Тогда видно, что треугольники △AOD и △COK подобны с коэффициентом 5/9. Тогда AD/CK=5/9 ⇒ AD/BD=5/4. Можем ли мы найти sin∠A-?

Подсказка 3

По свойству биссектрисы получаем, что sin∠A=BC/AC=4/5. Тогда cos∠A=3/5. Если обозначить AB за 9c, то AC=15c и BD=4с. Тогда из теоремы Пифагора для треугольника △BDC мы можем найти с. Я верю, что и площадь вы легко найдете!

Показать ответ и решение

$PIC$

На продолжении медианы $AM$ за точку $M$ отложим отрезок $MK$ , равный $AM$ . Тогда $ABKC$ — параллелограмм.

Обозначим $AB = c$ . Треугольники $AOD$ и $KOC$ подобны (по двум углам), значит

AD = KC ⋅ OD-= AB ⋅ OD-= 5c OC OC 9

BD =AB − AD = 4c 9

По свойству биссектрисы треугольника

BC :AC = BD :AD = 4:5

Поэтому

4c AB :AC =3 :5, то есть BC = 3

По теореме Пифагора

(4c)2 ( 4c)2 -3 + 9- =142

( ) откуда c2 =-1 ⋅ 63 2 10 2

Следовательно,

1 4 2 1323 SABC = 2 ⋅3 ⋅c =-20-

Ответ:

$1323 20$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#78849Максимум баллов за задание: 7

Биссектриса $AD$ и высота $BE$ остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $O$ . Окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$ проходит через вершину $A$ , середину стороны $AC$ и пересекает сторону $AB$ в точке $K$ такой, что $AK :KB =1 :3$ . Найти длину стороны $BC$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Исходя из условия, сразу хочется отметить пересечение луча AD с окружностью за точку F. Для удобства обозначим отрезки на AC с помощью переменной. Как посчитать отрезки на AB?

Подсказка 2

Пусть M — середина стороны AC. AK=AM, значит, BK = 6a, AK = 2a, AE = EM = a, MC = 2a. На что нам намекает равенство углов BAO и OAE, как использовать удвоенный угол и перпендикулярность?

Подсказка 3

Посчитаем косинус BAE! Тогда мы можем посчитать и косинус угла, в два раза меньшего BAE. Выходит, теперь у нас есть косинус угла, противоположного нужной стороне. А как можно найти саму сторону?

Подсказка 4

Найдем a благодаря косинусу и прямоугольному треугольнику! Теперь мы знаем 2 стороны и угол между ними - осталось лишь найти BC

Показать ответ и решение

Пусть $M$ — середина стороны $AC,$ $F$ –– пересечение продолжения радиуса $AO$ с окружностью. Тогда $AF$ –– диаметр окружности. Поскольку $E$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на хорду $AM,$ точка $E$ –– середина $AM.$ Обозначим $AE =a.$ Тогда $EM =AE = a, AM = 2a, AC = 2AM = 4a.$

Точки $K$ и $M$ лежат на окружности с диаметром $AF,$ поэтому $∘ ∠AKF = ∠AMF =90 .$ Из равенства прямоугольных треугольников $AKF$ и $AMF$ (по гипотенузе и острому углу) следует, что $AK =AM = 2a.$ Тогда $BK = 3AK = 6a, AB =8a.$ Обозначим $∠BAD =∠CAD =α.$

$PIC$

Из прямоугольного треугольника $ABE$ находим, что

cos2α = cos∠BAE = AE- =-a = 1 AB 8a 8

Тогда

∘ -------- ∘ 1+-1- cosα= 1+-cos2α-= ---8 = 3 2 2 4

Из прямоугольного треугольника $AEO$ находим, что

a =AE = AO cosα = 3R 4

По теореме косинусов

∘----------------------- BC = AB2 + AC2− 2AB ⋅AC ⋅cos2α =

∘ -------------------- √- √- = 64a2+ 16a2 − 2⋅8a⋅4a⋅ 1 =6a 2 =6 2 ⋅ 3R-= 9√R 8 4 2

Ответ:

$√9R- 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#104774Максимум баллов за задание: 7

Внутри параллелограмма $KLMN$ взята точка $P$ так, что треугольник $KPN$ равносторонний. Известно, что расстояния от точки $P$ до прямых $KL,$ $LM$ и $MN$ равны соответственно $10,$ $3$ и $6.$ Найти периметр параллелограмма.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте обозначим за a угол MNP, а сторону равностороннего треугольника за x. Какие углы и отрезки можно посчитать через них?

Подсказка 2

Мы можем посчитать расстояния от точки P до KL и MN через x и угол a! Тогда у нас получится тригонометрическое уравнение, которое нужно решить.

Подсказка 3

6sin(60-a) = 10sin(a)! Чему равен a? Как выразить через него x?

Подсказка 4

Отлично, теперь мы знаем, чему равен x! Нам известны обе высоты параллелограмма. Какую характеристику у ABCD можно через них выразить?

Подсказка 5

Попробуем найти площадь ABCD двумя способами! Тогда мы сможем отыскать его стороны, а затем найти и периметр ;)

Показать ответ и решение

Пусть $PH ,P H ,P H ,PH 1 2 3 4$ — расстояния от точки $P$ до прямых $KL, LM,MN$ и $NK$ соответственно, $∠MNP = α$ и сторона $KP N = x.$

$PIC$

Тогда, так как $△KP N$ — равносторонний, а $KLMN$ — параллелограмм, то $∘ ∘ ∘ ∠LKP =180 − α − 60 ⋅2= 60 − α.$

Из прямоугольных $△KH1P$ и $△PH3N$ имеем:

( H P ||{ sin(60∘− α)= -1x-- || H3P ( sinα= --x-

То есть:

6sin(60∘− α)= 10 sinα.

По формуле синуса разности:

sin(60∘− α)=sin60∘cosα− sinαcos60∘

Подставим в изначальное и получим:

√- 13sin α= 3 3cosα

√ - tgα = 3-3 13

Тогда выразим $cosα$ и $sinα:$

2 ---1--- 169 cos α= 1+ tg α2 = 196

∘ -------- √- sinα= 1− cosα2 = 3-3 14

Можем теперь выразить $x :$

√- x= -6--= 28-3 sinα 3

Тогда расстояние до $KN$ из равностороннего $△KP N :$

√- PH4 = x-3-=14 2

Тогда $H2H4 = 17,$ $H1H3 = 16.$

Из того, что $KLMN$ — параллелограмм, то по формуле площади:

H H ⋅KN =H H ⋅MN 2 4 1 3

Так как $√- KN = x = 28-3 : 3$

- 119√-3 MN = 12

Тогда можем посчитать периметр:

77√3 P =2 ⋅(MN + KN )= --2-

Ответ:

$77√3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#78847Максимум баллов за задание: 7

Высоты равнобедренного остроугольного треугольника $ABC$ , в котором $AB = BC$ , пересекаются в точке $O$ . Найти площадь треугольника $ABC$ , если $AO = 5$ , а длина высоты $AD$ равна 8.

Источники: Вступительные в МФТИ - 1992 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Нам даны отрезки AO и OD. Что можно найти с помощью них? Заметьте, что на картинке есть равные и углы...

Подсказка 2

Подобие треугольников! Как с помощью него найти отношение отрезков на сторонах треугольника? Нам нужно получить треугольник, который будет подобен AOH. Таких немало, главное увидеть те, что нам нужны.

Подсказка 3

Опустим перпендикуляр из D на BH! Хочется найти хотя бы одну сторону треугольника…быть может, нужно составить какое-нибудь уравнение? Что мы можем сказать про треугольники, содержащие сторону AB?

Подсказка 4

Рассмотрите треугольник ABD. Составив уравнение на его стороны (с помощью подобия), найдём их. Остаётся лишь найти основание треугольника!

Показать ответ и решение

Пусть точка $H$ — середина $AC,$ точка $M$ — проекция $D$ на $BH.$

Треугольники $AOH$ и $DOM$ подобны, следовательно, $AH-- 5 MD = 3,$ откуда $AH = 5x,MD = 3x.$

$PIC$

Треугольники $BMD$ и $BHC$ подобны, следовательно,

BD- = MD--= MD-= 3, BC HC AH 5

откуда $BD = 3y,BC = AB = 5y.$ Треугольник $ABD$ — прямоугольный, тогда

2 2 2 (5y) =8 + (3y) ⇐⇒ y = 2

Значит, $AB =10,DC =4.$ Треугольник $ADC$ — прямоугольный, тогда:

AC2 = 82+ 42 = 80 =⇒ AC = 4√5

2 2 2 √- 2 BH =AB − AH = 100− (2 5) = 80

Таким образом, $AC =BH.$ Тогда площадь треугольника $ABC$ равна:

S = 1⋅BH ⋅AC = 1⋅(√80)2 =40 ABC 2 2

Ответ: 40

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#104749Максимум баллов за задание: 7

В прямоугольном треугольнике $ABC$ из точки $E,$ расположенной в середине катета $BC,$ опущен перпендикуляр $EL$ на гипотенузу $AB.$ Найти углы треугольника $ABC,$ если $√-- AE = 10 EL$ и $BC > AC.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу обозначим EL за x, EB за y. Можно ли посчитать другие отрезки? Обратите внимание на то, что на рисунке немало прямоугольных треугольников ;)

Подсказка 2

Воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ELB, ACE, ALE. В каком треугольнике мы знаем все стороны?)

Подсказка 3

Мы можем выразить через x и y все стороны треугольника ABC! Теперь мы можем выразить y через x ;)

Подсказка 4

Обратите внимание на то, что у нас два способа выразить y через x, не противоречит ли кто условию? А как будем считать углы?

Подсказка 5

Углы будем считать при помощи тригонометрических функций!

Показать ответ и решение

Пусть $EL = x,CE = EB = y.$ Тогда $AE =√10x.$

$PIC$

По теореме Пифагора для треугольника $ELB :$

LB2 = BE2 − EL2 = y2− x2

∘ -2--2- LB = y − x

По теореме Пифагора для треугольника $ALE :$

2 2 2 2 2 2 AL = AE − EL = 10x − x = 9x

AL = 3x

По теореме Пифагора для треугольника $ACE :$

AC2 =AE2 − CE2 = 10x2− y2

Наконец, по теореме Пифагора для треугольника $ABC :$

AC2 + BC2 = AB2 = (AL + BL)2 = AL2+ BL2+ 2AL⋅BL

∘------ 10x2− y2+4y2 = 9x2+ y2 − x2+ 6x y2− x2

2 2 ∘-2---2 x + y = 3x y − x

4 2 2 4 2(2 2) 22 4 x +2x y +y = 9x y − x = 9xy − 9x

10x4− 7x2y2+ y4 = 0

Рассмотрим последнее выражение как квадратное уравнение относительно $y2$ и найдём его корни. Получается, что:

(y2− 2x2)(y2− 5x2)= 0

Если $(y2− 2x2)= 0,$ то $y = √2x,$ откуда $sinLBE = √12,$ то есть треугольники $BLE$ и $ABC$ — равнобедренные, что противоречит условию о том, что $BC > AC.$ Остаётся верным, что $(y2− 5x2)= 0,$ то есть $y = √5x.$ Заметим, что при этом $BL = ∘y2−-x2 = √5x2−-x2 = 2x,$ откуда $tgLBE = 12.$ Итак, $∠ABC = arctg 12,∠CAB = arctg 2.$

Ответ:

$arctg2;arcctg 2;90∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#78848Максимум баллов за задание: 7

Точки $M$ и $N$ являются серединами боковых сторон $AC$ и $CB$ равнобедренного треугольника $ABC$ . Точка $L$ расположена на медиане $BM$ так, что $BL :BM = 4:9$ . Окружность с центром в точке $L$ касается прямой $MN$ и пересекает прямую $AB$ в точках $Q$ и $T$ . Найти периметр треугольника $MNC$ , если $QT = 2$ , $AB = 8.$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Подобие каких треугольников несложно заметить на рисунке? Как использовать отношение, данное в условии?

Подсказка 2

Пусть точка P - точка касания окружности с прямой MN, а F - проекция центра L окружности на прямую AB. Рассмотрите подобие треугольников MLP и BLF. Как теперь найти радиус окружности?

Подсказка 3

Обратите внимание, что теперь мы знаем всё о треугольнике QFL.

Подсказка 4

Для нахождения требуемого хочется найти сторону CM. Что можно найти вместо нее? Что для этого нужно?

Подсказка 5

Найдем AM! Но нужен удобный треугольник, в котором мы может найти все остальные стороны.

Подсказка 6

Опустите перпендикуляр из M на АВ. Чему на картинке он равен? А как найти AH, используя данные из условия?

Показать ответ и решение

Пусть точка $P$ — точка касания окружности с прямой $MN,$ а $F$ — проекция центра $L$ окружности на прямую $AB.$ Тогда точки $P, L, F$ лежат на одной прямой, а $F$ — середина $QT.$ Тогда $FQ =F T = 1.$