Стереометрия на Физтехе

Пусть гдс — острый угол:

Тогда двугранные углы при рёбрах и равны между собой и являются острыми (каждый из этих углов углов обозначим

Для доказательства этого утверждения достаточно построить проекцию точки на плоскость затсм опустить из точки перпендикуляры на и и воспользоваться равенством соответствующих прямоугольных треугольников.

Пусть — центр вписанной в призму сферы, и — проекции точки на грани и Тогда где — радиус сферы. Рассмотрим сечения и призмы плоскостями, перпендикулярными рёбрам и Фигуры и являются параллелограммами, каждый из которых описан около окружности радиуса Поэтому фигуры и — ромбы, высота каждого из них равна а острый угол равен Стороны этих ромбов равны соответствующим сторонам прямоугольника и из равенства ромбов следует, что — квадрат.

Пусть — проекция точки на плоскость тогда Проведём через плоскость, перпсндикулярную и пересекающую в точке Тогда и — прямоугольные треугольники, (по условию), . Т. к. отрезок равен стороне ромба, т. е. , то

Последнее выражение в этой цепочке равно высоте ромба .

Заметим ещё, что точка лежит на диагонали квадрата и поэтому

где

и поэтому

Отсюда получаем

где

Рассмотрим, наконец, прямоугольные треугольники и ( — точка, в которой одно из проведённых сечений пересекает ребро , т. е. является вершиной одного из построенных ромбов). Т. к. сфера касается граней двугранного угла при ребре , то

Подставляя найденные значсния и , находим .