Стереометрия на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Шар 
касается всех рёбер правильной усечённой пирамиды, а шар 
касается всех её граней. Пусть сторона верхнего
основания меньше, чем сторона нижнего. Найдите отношение площади боковой поверхности пирамиды к площади её нижнего
основания.
Источники:
Подсказка 1:
Хмм… Сперва конструкция кажется очень сложной и непонятной, с чего начать? Давайте введем обозначения для оснований и подумаем, как использовать данные в условии шары, их расположение относительно нашей усеченной пирамиды. Касается всех ребер/граней… Попробуйте рассмотреть похожую конструкцию на плоскости.
Подсказка 2:
Какая планиметрическая теорема сразу приходит в голову, когда речь идет о вписанной окружности в правильный многоугольник?
Подсказка 3:
Верно! Равенство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Давайте отметим середины оснований нашей пирамиды и попробуем применить равенство отрезков касательных для шаров и какой-то грани.
Подсказка 4:
Пусть А₁А₂А₃…Аₙ - нижнее основание, В₁В₂В₃…Вₙ - верхнее, О и О₁ - центры этих основания соответственно. М и М₁ - центры ребер А₁А₂ и B₁B₂ соответственно. Тогда из равенства отрезков касательных следует, что MM₁ = MO + M₁O₁. Как можно выразить А₁B₁? Попробуйте связать MM₁ и А₁B₁ через угол, под которым видно А₁M из точки О.
Подсказка 5:
M₁M = A₁M*ctg(π/n) + B₁M₁*ctg(π/n) = A₁B₁*ctg(π/n). Но M₁M < A₁M. Как тогда можно оценить n?
Подсказка 6:
Да! ctg(π/n) < 1 ⇒ π/n > π/4 ⇒ n < 4 ! Значит наша пирамида треугольная. Как выглядит боковая грань пирамиды? Что хочется ввести, чтобы найти ее площадь?
Подсказка 7:
Боковая грань - описанная равнобокая трапеция, т.к. шар, касающийся всех ребер пирамиды, будет пересекать плоскость грани по кругу, вписанному в эту трапецию. Осталось только ввести обозначения для оснований трапеции и найти нужные нам площади боковой поверхности и нижнего основания!
Пусть 
— нижнее, а 
-— верхнее основание данной усечённой пирамиды; 
и 
— центры этих оснований
(соответственно); 
и 
— середины рёбер 
и 
(соответственно). Из теоремы о равенстве отрезков касательных,
проведённых к шару из одной точки, следует, что
и
следовательно,
Но 
, то есть
Поэтому данная в условии усечённая пирамида треугольная. Обозначим длину ребра нижнего основания через 
, верхнего — через 
.
Так как шар 
касается всех рёбер пирамиды, её боковая грань 
— описанная равнобокая трапеция с основаниями 
и
.
Радиус вписанной окружности найдем из прямоугольного треугольника 
:
, следовательно, 
. Но
поэтому
Имеем 
, откуда 
так как 
. Значит,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
