Стереометрия на Физтехе

Обозначим точки пересечения прямой со сферой через и (точка лежит на отрезке , а — вне него). Пусть радиус сферы равен . Треугольники и прямоугольные (углы при вершинах прямые, так как касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точку касания). Эти треугольники равны по катету и гипотенузе — общая), следовательно, пусть . Высоты, опущенные из точек на гипотенузу , paвны, а их основания — одна и та же точка , лежащая в плоскости (назовём эту плоскость . Пусть и касательные плоскости к сфере, проходящие через точки и , а и — точки пересечения этих плоскостей с прямой . По условию площади сечений трёхгранного угла этими плоскостями равны соответственно и . Рассмотрим сечение трехгранного угла и сферы плоскостью (см. рис. и обозначения на нем). Так как и , то . Тогда сечения трёхгранного угла плоскостями и — подобные треугольники, плоскости которых параллельны (все они перпендикулярны .

Если — площадь треугольника, получающегося в сечении трёхгранного угла плоскостью , то из подобия Следовательно, Тогда откуда a Отсюда

Далее, Значит, откуда