Стереометрия на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На рёбрах 
правильной треугольной пирамиды 
с вершиной 
выбраны точки 
соответственно.
Известно, что точки 
лежат в одной плоскости, причём 
. В четырёхугольнике 
расположены две окружности 
и 
, причём окружность 
касается сторон 
и 
, а окружность 
касается
сторон 
и 
Прямые круговые конусы 
и 
с основаниями 
и 
соответственно расположены
внутри данной пирамиды, причём вершина 
конуса 
лежит на ребре 
, а вершина 
конуса 
лежит на ребре
.
а) Найдите 
б) Найдите длину отрезка 
.
Источники:
Противоположные стороны четырёхугольника 
попарно равны, так что он параллелограмм. Поскольку плоскость 
пересекает плоскости 
и 
по параллельным прямым 
и 
, эти прямые параллельны прямой пересечения этих
плоскостей, то есть 
. Аналогично, 
. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся рёбра перпендикулярны
друг другу, поэтому 
, а 
прямоугольник. Следовательно, радиусы окружностей 
и 
равны
Отсюда также следует, что прямоугольник 
симметричен относительно плоскости 
, содержащей ребро 
и
середину 
. Тогда и конусы 
и 
также симметричны относительно этой плоскости. Поэтому 
— середина
.
Обозначим через 
и 
середины сторон 
и 
соответственно, а через 
и 
центры окружностей 
и 
соответственно; эти четыре точки лежат на оси симметрии прямоугольника 
, параллельной 
, а значит — в плоскости 
. Более
того, 
, то есть треугольники 
и 
подобны.
Пусть 
. Тогда 
. Поскольку 
, из подобия
получаем
Аналогично,
C другой стороны, так как конус 
прямой, имеем 
, причём 
.
Отсюда
Итак, 
, и из подобия имеем
откуда 
и 
. Пусть 
пересекает 
в точке 
. Тогда 
— высота треугольника 
, причём (поскольку
) 
. Значит, 
. Поскольку 
— прямоугольник, так что 
.
Отсюда 
.
а) 
б) 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
