Стереометрия на Физтехе

Отметим точку в качестве вершины пирамиды, точку в качестве центра , точку в качестве центра описанной окружности треугольника и в качестве середины . Так как равносторонний, то это еще и центр пересечения медиан, а значит, проходит через и и . Так как проходит через вершины треугольника и касается отрезка в точке , то и . Мы знаем, что и поэтому . Получается, что мы знаем, что точка лежит на плоскости , проходящей через и параллельной , и лежит на прямой , перпендикулярной и проходящей через . Значит, либо принадлежит , но тогда перпендикулярна двум разным прямым параллельным ( и ) и тогда все три стороны перпендикулярны основанию, а такого не бывает, либо и пересекаются в одной точке и . Тогда и (по формуле для равностороннего треугольника).

Спроецируем точки и на плоскость . Тогда так как проекция на это , то и поэтому . Также можно заметить .

Прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе, поэтому . Значит, высота в равнобедренном треугольнике равна , так как середина и равна . Тогда

Значит, . Тогда

Пусть — проекция на . Тогда и . С другой стороны, поскольку , то . Отсюда .