Стереометрия на Физтехе

Воспользуемся формулой радиуса вписанной сферы , где — объём, а — площадь поверхности пирамиды. Объёмы пирамид и равны (грань общая, а вершины и равноудалены от плоскости ); кроме того и (медиана делит площадь треугольника пополам). Значит, равенство сфер, вписанных в пирамиды и , эквивалентно условию или равенству высот, проведённых к стороне в треугольниках и .

Пусть высота пирамиды, а высота в треугольнике . Объём пирамиды равен , а её высота из вершины равна 3, то есть . Значит, площадь основания пирамиды равна . Тогда сторона основания , а высота треугольника равна 5. Значит, также равно 5. Из прямоугольного треугольника находим , т.е. точка находится на расстоянии 4 от прямой ( лежит на одной из двух прямых, параллельных , на расстоянии 4 от неё). Тем самым, угол между гранями при ребре равен .

Из условия, что грани и взаимно перпендикулярны, следует, что лежит на . Так как , то . Значит или . Тогда или .