Стереометрия на Физтехе

Пусть - середины рёбер соответственно. Из теоремы о средней линии треугольника следует, что и - параллелограммы. Они вписаны в окружности, являющиеся сечениями сферы плоскостями и , поэтому эти параллелограммы - прямоугольники. Угол — прямой; прямые и перпендикулярны, так как

Отметим в плоскости точку такую, что а точки и лежат по разные стороны от прямой (треугольник может быть получен из треугольника поворотом вокруг прямой

Из равенства треугольников и следует, что основания их высот, опущенных на — это одна и та же точка (назовём её Плоскость перпендикулярна (так как поэтому Поскольку и то плоскость перпендикулярна и

Значит, диагонали четырёхугольника пересекаются под прямым углом (в точке ). По теореме Пифагора

Следовательно,

Из прямоугольного треугольника находим

Радиус сферы, описанной около пирамиды , не меньше радиуса окружности, описанной около грани . Пирамида, для которой достигается равенство, существует. Докажем это.

Рассмотрим сферу радиуса и окружность - её сечение, проходящее через центр сферы. В сечении сферы указанной плоскостью получится окружность с диаметром , в которую можно вписать прямоугольный треугольник . По теореме косинусов из треугольника находим, что

По теореме синусов