Стереометрия на Физтехе

Подсказка 1

Во-первых, надо осознать картинку. Она как будто симметричная, но не стоит так думать сразу. Давайте опустим высоты из точки A₁ на прямые AB, AC, и плоскость ABC. Что тогда можно заметить? Какие принципиально разные случаи есть падения высоты на плоскость ABC?

Подсказка 2

Есть два случая — падение во внутрь призмы и во вне. Однако, при всем этом, у нас расстояния от точки A₁’(основание высоты) до прямых AB и AC равны, в силу равенства прямоугольных треугольников. Как тогда можно равносильно переформулировать случаи, когда высота падает во внутрь, а когда наружу? Как связать это с равноудаленностью от сторон?

Подсказка 3

Всё верно, либо точка основания высоты лежит на внешней биссектрисе, либо на внутренней (угла BAC). Давайте посмотрим на второй случай. Мы видим, что прямые AA’ и A₁A’ перпендикулярны BC. Что тогда это значит? Чем это хорошо в нашей картинке?

Подсказка 4

Тем, что тогда BB₁ перпендикулярен BC, а значит BB₁C₁C — прямоугольник. Но тогда, если сторона треугольника в основании равна а, выходит, что a * AA₁ = 2, a * A₁K = 3. Тогда мы пришли к противоречию, так как A₁K > AA₁. Значит, остался второй случай. Если прямая внутренней биссектрисы была перпендикулярна прямой BC, то внешняя биссектриса будет…

Подсказка 5

Параллельна! А тогда, высота в параллелограмме CC₁B₁B — высота призмы. Значит, остается найти C₁H. Ну, а это уже чисто дело техники (и нескольких теорем Пифагора).