Параметры на Физтехе

Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые и . Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения и отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид , откуда . C учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках и . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата с вершинами в точках и . Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью , поэтому можно считать, что . С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде (опустив модуль у переменной . Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через . Если , у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки и (-4;3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату , система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю .

При уравнение принимает вид , и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (или её часть, лежащую в полуплоскости , если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены на , множество симметрично относительно оси . Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси

Если , график не пересекает квадрат , и система уравнений не имеет решений. Если , система уравнения имеет два решения - точки и . Если , дуга окружности пересекает отрезок дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси , образуют 4 различных решения системы. Если , дуга окружности пересекает отрезки и в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оy, образуют 4 различных решения системы. Если 25 , система уравнений имеет два решения - точки и . Наконец, если , дуга окружности не пересекает стороны квадрата и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при и .