Параметры на Физтехе

Заметим, что тогда из последнего уравнения получаем, что

Решением является

при

Второе уравнение системы равносильно совокупности

Эта совокупность задаёт две непересекающиеся окружности и — с центрами в точках и и радиусами и соответственно.

Теперь рассмотрим первое уравнение системы:

Видим, оно определяет прямую с угловым коэффициентом При фиксированном значении — т.е. при фиксированном угле наклона — и при получаем всевозможные прямые с угловым коэффициентом

Чтобы система имела ровно решения, прямая должна пересекать каждую из окружностей ровно в двух точках. Это возможно в том и только том случае, когда угловой коэффициент прямой по модулю меньше, чем угловой коэффициент общей внутренней касательной двух данных окружностей (тогда за счёт выбора параметра можно подобрать такое положение прямой, что она пересекает каждую из окружностей дважды).

Проведём общую внутреннюю касательную к окружностям (пусть и — точки касания этой прямой с и соответственно). Пусть — прямая, параллельная и проходящая через точку пусть также ( поэтому — угол наклона общей внутренней касательной). Так как

а также то из прямоугольного имеем

Значит,

С учётом сказанного выше подходят все значения углового коэффициента, по модулю меньшие, чем откуда

Пусть и — вершины квадрата, лежащие в первой и четвёртой четвертях соответственно; — начало координат.

По условию точка лежит на прямой . Если — абсцисса точки , то , а координаты точки — это . Так как точка получается из поворотом на против часовой стрелки вокруг точки то её координаты . Поскольку обе точки лежат на графике , получаем и решаем систему уравнений (учитываем, что )

Пусть — половина диагонали квадрата. Тогда

Площадь квадрата равна полупроизведению его диагоналей, то есть

Рассмотрим второе неравенство. Обозначим

График - парабола с ветвями вверх. На концах данного в условии промежутка имеем Так как неравенство должно выполняться на всём промежутке, то точки и могут располагаться на прямой или ниже неё. Отсюда самое "низкое"расположение этой прямой (на указанном промежутке) есть прямая . Составляя её уравнение по двум точкам, имеем (назовём эту прямую

График левой части неравенства - гипербола

Заметим, что она касается прямой в точке, принадлежащей промежутку . Действительно, уравнение

имеет единственное решение При этом

Т.е. угловой коэффициент прямой совпадает с производной функции в их общей точке.

Несложно видеть, что на данном промежутке прямая находится ниже гиперболы. Любая прямая, расположенная “выше” прямой пересекается с гиперболой, и потому не удовлетворяет условию.

Итак, — единственная возможная прямая, удовлетворяющая условию; следовательно, ,

Первое неравенство при сводится к а при к Поэтому множество точек, удовлетворяющих этому неравенству, есть объединение двух множеств: в первом лежат все точки выше прямой с неотрицательными абсциссами (включая точки на прямой), а во втором лежат все точки ниже этой прямой (не включая точки на ней) с неотрицательными ординатами. Объединение этих множеств есть первая координатная четверть ( ).

Второе неравенство определяет полуплоскость, находящуюся ниже прямой (включая точки на прямой).

Первые два неравенства вместе определяют прямоугольный треугольник с вершинами:

Наконец, третье неравенство может быть записано в виде:

Оно задаёт внешность окружности с центром и радиусом

Поскольку система уравнений

имеет ровно одно решение окружность касается гипотенузы треугольника. Поэтому, внутри треугольника оказывается половина круга. Искомая площадь равна площади треугольника без половины площади круга:

Второе неравенство равносильно системе неравенств

Значит, исходная система равносильна следующим:

Множества точек, задаваемых этими неравенствами на плоскости и при этом выступают в роли параметров), - это круги радиуса с центрами соответственно. Условие задачи означает, что полученная система должна иметь решение относительно , то есть все три круга должны иметь по крайней мере одну общую точку.

Пусть окружности, ограничивающие и , пересекаются в точках и (тогда треугольники и - равносторонние). Пересечение кругов и есть фигура , представляющая собой совокупность двух меньших сегментов этих кругов, ограниченных хордой . Тогда фигура состоит из всевозможных точек , находящихся на расстоянии не более от фигуры . (Это совокупность всех кругов радиуса , центры которых принадлежат фигуре .)

Пусть точки и симметричны точкам и (соответственно) относительно точки ; точки и симметричны точкам и (соответственно) относительно точки .

А само множество есть объединение следующих четырёх секторов (центральный угол всех секторов меньше ):

• сектор круга с центром в точке и радиуса
• сектор круга с центром в точке и радиуса
• сектор круга с центром в точке и радиуса
• сектор круга с центром в точке и радиуса

Заметим, что первые два сектора пересекаются по ромбу , и никаких других пересечений между секторами нет. При этом первые два сектора равны между собой, и последние два сектора также равны между собой. Таким образом, площадь фигуры равна

Изображено множество точек (в плоскости (𝑎; 𝑏), удовлетворяющих второму неравенству системы – 2 балла; указано (или изображено, описано) множество решений первого неравенства – баллы не добавляются; верно описан способ построения фигуры 𝑀 (например, совокупность кругов заданного радиуса, центры которых лежат в некотром множестве), но сама она построена неверно – 1 балл; изображена фигура 𝑀 – 3 балла; найдена её площадь – 2 балла. Если фигура 𝑀 изображена неверно, нахождение площади не оценивается, и за задачу ставится не более 3 баллов. Если фигура 𝑀 представляет собой пересечение двух кругов с центрами 𝐴 и 𝐵 радиусов 2𝐴𝐵, за задачу ставится 3 балла (при этом не играет роли, найдена ли площадь)

Рассмотрим первое уравнение системы и изобразим множество его решений на координатной плоскости. Для раскрытия модулей найдём множества точек, в которых выражения под модулями обращаются в ноль. Это прямые и . Они делят плоскость на 4 части, и в каждой из этих частей знаки выражений под модулями постоянны. Чтобы их определить, можно выбрать в каждой из четырёх частей по точке и найти знаки выражений в этих точках. Возьмём область, расположенную снизу от обеих прямых. В ней лежит, например, точка . Подстановкой несложно убедиться, что в этой точке оба выражения и отрицательны. Таким образом, уравнение принимает вид , откуда . C учётом рассматриваемых ограничений подходит отрезок с концами в точках и . Аналогично рассматриваем остальные три случая, и в итоге получаем границы квадрата с вершинами в точках и . Эта фигура не имеет пересечения с полуплоскостью , поэтому можно считать, что . С учётом указанного замечания второе уравнение можно записать в виде (опустив модуль у переменной . Обозначим множество точек, определяемых этим уравнением, через . Если , у уравнения нет решений. При оно задаёт две точки и (-4;3). Поскольку обе они не принадлежат квадрату , система не имеет решений, и значение не удовлетворяет условию задачи. Перейдём к случаю .

При уравнение принимает вид , и мы получаем окружность радиуса с центром в точке (или её часть, лежащую в полуплоскости , если вся она в этой полуплоскости не помещается). Поскольку уравнение инвариантно относительно замены на , множество симметрично относительно оси . Таким образом, есть совокупность полученной выше окружности (или её части) и окружности, получающейся из уже построенной отражением относительно оси

Если , график не пересекает квадрат , и система уравнений не имеет решений. Если , система уравнения имеет два решения - точки и . Если , дуга окружности пересекает отрезок дважды эти две точки, а также им симметричные относительно оси , образуют 4 различных решения системы. Если , дуга окружности пересекает отрезки и в двух точках с положительной абсциссой. Аналогично, эти две точки, а также им симметричные относительно оси Оy, образуют 4 различных решения системы. Если 25 , система уравнений имеет два решения - точки и . Наконец, если , дуга окружности не пересекает стороны квадрата и система уравнений не имеет решений. Таким образом, система уравнений имеет ровно два решения только при и .

Рассмотрим второе уравнение системы. При оно принимает вид и мы получаем часть окружности радиуса с центром в точке , лежащую в первой четверти. При замене на множество точек заданное уравнением системы, симметрично относительно оси ординат, а при замене на — относительно оси абсцисс. Значит, график уравнения состоит из четырёх дуг окружностей и начала координат

Первое уравнение перепишем в виде Оно определяет окружность радиуса с центром в точке В зависимости от значения центр окружности перемещается по прямой

Система имеет два решения тогда и только тогда, когда эта окружность имеет ровно две общие точки с множеством, заданным вторым уравнением. Это возможно при

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно инвариантно относительно замены на и/или на . Это означает, что множество точек, задаваемых этим уравнением, симметрично относительно обеих осей координат. В первой четверти (включая её границы), раскрывая модули, мы получаем . Это уравнение задаёт окружность с центром (4; 3) радиуса 5. В первой четверти лежит дуга этой окружности и точка (0; 0). Отображая эту дугу симметрично относительно начала координат и обеих координатных осей, получаем множество точек, задаваемых вторым уравнением (см. рисунок).

Геометрическое место точек, заданных первым уравнением, представляет собой совокупность двух лучей и с началом в точке соответствующие и . Отметим, что луч является частью прямой при любом и не пересекается с полуплоскостью . Этот луч либо пересекает график второго уравнения системы в точке (8; 6), либо не пересекает его вовсе. Последний случай не подходит, т.к. при нём луч пересекает график второго уравнения не более чем в двух точках. Таким образом, для того чтобы система имела три решения, необходимо, чтобы луч пересекал график второго уравнения два раза, а луч — один раз.

Рассмотрим положения луча при различных . Если , луч пересекает только дугу окружности, лежащую во второй четверти (назовём её ). Если , луч дополнительно проходит через точку и имеет два пересечения с графиком второго уравнения. Если , луч проходит через точку принадлежащую графику второго уравнения, а также пересекает дугу .

Значение, соответствующее касанию и , можно найти, например, так. Пусть — центр окружности, содержащей дугу — точка касания и . Так как угловой коэффициент равен то угловой коэффициент радиуса равен откуда следует, что координаты точки — это . Поскольку луч с уравнением проходит через точку , получаем

откуда

При луч пересекает график второго уравнения трижды: дважды он пересекает дугу , а один раз —- дугу, лежащую в первой четверти. При луч касается дуги и пересекает дугу окружности в первой четверти (это значение параметра найдено ниже). Наконец, при луч может пересечь только дугу окружности, лежащую в первой четверти, и общее количество точек пересечения графиков не превосходит двух.

Выражение под корнем раскладывается как . Значит корни находятся между и , поэтому если их разность то либо , либо

Если , то корни и нам подходят, так как корень будет определен и будет неотрицательным и будет положительным.

Если , то корни будут лежать в отрезке . Так как один из корней будет меньше другого на то меньший корень будет не больше Значит, если мы его подставим, то и . Единственный случай, когда их произведение будет , если . Отсюда меньший корень равен . Тогда больший корень равен и . Отсюда либо , либо и .

Рассмотрим сначала . Обозначим начало координат через , центр окружности через (так как он лежит на прямой , его ордината равна ; точки пересечения прямой с параболой через и . Пусть также — точка пересечения данной прямой с осью ординат, — точка пересечения окружности с осью ординат, отличная от .

Треугольник равнобедренный как радиусы), — его высота, следовательно, также и медиана, , поэтому точка имеет координаты . Опустим из точки перпендикуляр на ось ординат. Тогда есть угол наклона прямой, его тангенс равен . Отсюда . Аналогично находим, что .

и — две хорды данной окружности. По теореме о пересекающихся хордах , т.е. . Абсциссы и точек пересечения прямой и параболы определяются уравнением . По теореме Виета . Значит, , откуда .

Значение не подходит, так как при этом заданная прямая принимает вид , т.е. проходит через начало координат.

При (естественно, мы рассматриваем только те , при которых прямая и парабола имеют две точки пересечения) оба числа и положительны. Точка является серединой отрезка OC (сохраняем все обозначения первого случая). Тогда с одной стороны выходит, что точка — середина хорды , т.е. лежит внутри окружности. С другой стороны, точки и лежат на окружности, поэтому является хордой этой окружности, а точка лежит на продолжении хорды , т.е. вне окружности. Получаем противоречие, и этот случай невозможен.

Выделим полные квадраты

Каждое из этих уравнений задаёт окружность радиуса 13; у первой из них центром является точка , а у второй - точка .

Если эти уравнения задают одну и ту же окружность, то на этой окружности найдутся точки на расстоянии 10 друг от друга, поскольку диаметр окружности больше . Окружности совпадают в случае, когда у них одинаковые центры. Получаем

Эти равенства выполняются, если либо , либо . В первом случае получаем . Во втором случае , здесь решений нет.

Пусть теперь рассматриваемые окружности различны и пересекаются в точках и . Тогда четырёхугольник - ромб. Известно, что в любом параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех четырёх сторон, откуда . Так как мы хотим, чтобы точки и располагались на расстоянии 10 друг от друга, , поэтому . Итак, необходимо, чтобы расстояние между центрами окружностей и было равно 24. Отсюда

Начнём с ОДЗ:

Заметим, что неравенство всегда выполняется при то есть при Далее будем считать, что тогда на можно сократить.

Так как парабола с ветвями вверх, то решением неравенства с учётом ОДЗ будет:

Мы точно знаем, что Рассмотрим 3 варианта: где относительно может располагаться 5.

Вариант 1. Пусть Тогда с учётом ОДЗ неравенство имеет одно решение Но оно не подходит под условие, так как корень всего один.

Вариант 2. Пусть С учётом ОДЗ решением будет Чтобы нашлось два решения, между которыми разница 5 необходимо и достаточно, чтобы

Рассмотрим два случая при раскрытии модуля

Случай 1. Пусть Тогда

Запишем все необходимые условия данного случая:

Решением является

Случай 2. Пусть Тогда

Запишем все необходимые условия данного случая:

Решений нет.

Вариант 3. Пусть С учётом ОДЗ решением будет Чтобы нашлось два решения, между которыми разница 5 необходимо выполнение одного из условий:

Случай 1. Пусть Тогда

Проверим выполнение первого условия:

Откуда

Или второе условие:

Здесь получаем, что Объединяя решения двух систем, находим, что подходят все

Случай 2. Пусть Тогда

Проверим выполнение первого условия:

Решений нет.

Или второе условие:

Здесь решение Это и будет объединением систем в данном случае.

Значит, объединив все решения из всех случаев и вариантов, получаем:

Чтобы получить два различных корня, дискриминант должен быть положителен, то есть . Далее мы можем использовать теорему Виета, тогда . Теперь преобразуем равенство в условии

Вынесем , Выразим вторую скобку в числителе , теперь подставим

Поскольку , то остаётся только одно значение.

Обозначим данные последовательные натуральные числа через

Заметим, что если некоторое число лежит на отрезке то сумма расстояний от него до данных семи чисел не превосходит (сумма расстояний до двух крайних чисел в точности равна сумма расстояний до и не превосходит сумма расстояний до и также не превосходит расстояние до не превосходит половины длины отрезка между крайними числами, т.е. ). Следовательно, числа и лежат вне отрезка Тогда сумма расстояний от числа до каждого из данных последовательных чисел выражается формулой

Аналогично, сумма расстояний от числа до каждого из данных чисел равна Получаем систему уравнений

Рассмотрим четыре случая раскрытия модуля.

(a) Оба числа и лежат справа от отрезка Тогда

Ввиду того, что должно быть натуральным числом, этот случай не подходит

(b) Оба числа и лежат слева от отрезка Тогда

(c) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

(d) Число лежит справа, а — слева от отрезка Тогда

Итак, возможны три случая:

Заметим, что первое уравнение при замене на или на не меняется. Тогда график этого уравнения симметричен относительно обеих координатных осей. При и это уравнение имеет вид — луч с началом в точке и угловым коэффициентом Используем симметрию и строим график этого уравнения, получаем два угла: с вершиной в точке и с вершиной в точке и угловыми коэффициентами лучей

Во втором уравнении выделим полный квадрат Тогда это уравнение можно записать так:

Оно задает окружность с центром в точке и радиусом (в случае — это точка ).

(a) Окружность и график первого уравнения симметричны относительно оси Тогда три решения возможны только в том случае, когда одна из их общих точек лежит на оси этой оси. Это происходит, если радиус окружности равен отрезку или отрезку Так как и то получаем или Видно, что при этих есть еще две общие точки со сторонами угла с вершиной в точке поэтому любое или подходит.

(b) Система дает два решения, если окружность касается угла с вершиной или имеет радиус, больший но меньший Мы уже знаем и так что осталось найти этот радиус (обозначим его ). Для этого опустим перпендикуляр на сторону угла с вершиной в точке Пусть — угол наклона прямой ( Тогда Так как то По теореме Пифагора для получаем Тогда

Рассмотрим неравенство данной системы. При любом значении параметра расстояние от начала координат до прямой равно а точка удовлетворяет этому неравенству. Значит, неравенство задаёт полуплоскость, содержащую точку границей которой является прямая, касающаяся окружности

Уравнение данной системы можно преобразовать к виду Оно задаёт окружность с центром радиуса или точку при

Для того, чтобы система имела решение при любом значении параметра требуется, чтобы окружность пересекала любую из полуплоскостей, определяемых неравенством системы. Пусть радиус той окружности которая касается окружности внешним образом. Тогда сформулированному условию удовлетворяют все значения радиуса из промежутка .

Для окружностей, касающихся внешним образом, сумма радиусов равна расстоянию между центрами. Отсюда получаем, что поэтому а значит .

При второе уравнение имеет не больше одного решения, а значит, и вся система иметь трёх решений не может. При второе уравнение задаёт окружность с центром и радиусом График первого уравнения — объединение окружности с центром и радиуса и квадрата с центром и длиной диагонали .

Расстояния от центра второй окружности до углов квадрата по прямой равны и , а до центра другой окружности . Мы хотим три точки пересечения с областью решений первого уравнения, поэтому либо окружность с параметром проходит через обозначенные углы квадрата (иначе пересечений с ним чётное число), либо касается окружности с центром в начале координат.

Замечание. Далее цвета окружностей названы в соответствием отображением в светлой, а не тёмной теме на сайте :)

• Касание происходит внешним образом и , то есть нет пересечений с квадратом (фиолетовая окружность) и пересечение всего одно.
• (проходит через вершину квадрата), как раз три точки пересечения, поскольку с красной ровно две точки пересечения (чёрная окружность).
• . Здесь также три решения (синяя окружность).
• , не пересекает красную окружность, потому решение всего одно.

Разложим квадратный трёхчлен на множители и получим

Посмотрим на графики левой и правой части. Слева уголок с подвижными ветвями, зависящими от справа прямая с выколотой точкой.

Рассмотрим предельные случаи:

1) Когда ветвь уголка проходит через выколотую точки. То есть точка принадлежит уголку, тогда

2) Когда и ветвь уголка параллельна прямой, тогда

3) Когда и ветвь уголка параллельна прямой, тогда

Тогда из графиков видно, что уравнение будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда