Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Параметры на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#80579Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b$ , для каждого из которых найдется число $a$ такое, что система

{ x= |y − b|+ 3 x2+ y2 +32=ba(2y − a)+ 12x

имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ .

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Выделите квадраты во втором уравнении.

Подсказка 2

Получим (x - 6)² + (y - a)² = 4. Что это за график?

Подсказка 3

Это окружность с центром в точке (6;a) и радиусом 2. А что за график в первом уравнении?

Подсказка 4

Это повернутый на 90° по часовой стрелке график модуля, смещенный вправо на 3/b. А когда он не будет иметь пересечений с окружностью?

Подсказка 5

Когда 3/b > 8, так как окружность по x не достигает точек, больших 8. Рассмотрите обратный случай.

Подсказка 6

Можно ли подобрать какой-нибудь конкретный y (возможно, выраженный через параметр), при котором точно найдется хотя бы одно решение?

Подсказка 7

Возьмите y = b + 8 - 3/b. Какие еще b осталось рассмотреть?

Подсказка 8

В случае с 3/b мы пока рассматривали только смещения направо, то есть, положительные b.

Показать ответ и решение

Перепишем второе уравнение системы следующим образом:

2 2 2 x − 12x+36+ y − 2ay +a = 4

2 2 2 (x − 6) + (y− a) =2

$PIC$

Это окружность с центром $(6;a)$ и радиусом 2. Первое уравнение системы представляет собой повернутый на $∘ 90$ по часовой стрелке график $y = |x|$ с вершиной по $y$ в точке $b,$ который cдвигается по оси $x$ на $3 b.$ Так как центр окружности находится в точке $(6,a),$ и ее радиус — 2, она не достигает по $x$ значений, больших 8, следовательно, если сдвинуть график модуля за прямую $x= 8,$ мы получим 0 решений. Учтите, что при смещении вправо $3 b > 0,$ следовательно, $b> 0.$

( 3 |{ b >8 |( b> 0

3 0< b< 8

Рассмотрим остальные случаи. Пусть $3 b ≤ 8$ и $b> 0,$ тогда $3 b≥ 8,$ график находится правее $x =0,$ а также имеет хотя бы одну точку на прямой $x =8.$ Следовательно, можно подобрать $a,$ при котором окружность также будет через нее проходить. Заметим, что для данной точки будет верно $3 y = b+ 8− b,$ поскольку, подставив это выражение в первое уравнение, мы получим

|| 3 || 3 x= ||b+8 −b − b||+ b

А так как $3b ≤ 8,$ то

x= 8

Пусть $3 b ≤ 8$ и $b< 0.$ Верно, что $3 b <0,$ тогда график модуля смещен левее $x =0$ и имеет 2 точки пересечения с $x= 8,$ следовательно, можем подобрать $a,$ при которых окружность пройдет по крайней мере через одну из этих точек. В последнем случае имеем $3b > 8$ и $b <0,$ неравенства не пересекаются.

[ ) b∈ (− ∞;0)∪ 38;+∞

Ответ:

$(−∞;0)∪ [3;+∞) 8$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#32950Максимум баллов за задание: 7

При каком значении параметра а значение выражения $x2+ x2 1 2$ будет наименьшим, если $x 1$ и $x − 2$ корни уравнения $2 x − 2ax+2a − 5= 0?$

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Хм, а может ли это уравнение иметь только один корень? Или вообще не иметь корней?

Подсказка 2

Нет, это уравнение имеет два корня, потому что его дискриминант точно больше нуля! А с помощью чего мы можем оценить сумму квадратов корней?

Подсказка 3

Точно, можно воспользоваться теоремой Виета! Но через неё мы сможем найти только сумму и произведение корней... Как найти сумму квадратов?

Подсказка 4

Да, сумму квадратов легко выразить через квадрат суммы! Остается только оценить наше выражение снизу.

Показать ответ и решение

Заметим, что у такого уравнения корни всегда есть, потому что дискриминант квадратного трёхчлена из левой части положителен при любом значении $a$ :

D 2 2 -4 = a − (2a− 5)=(a− 1) +4> 0

Тогда по теореме Виета $x1+ x2 =2a$ и $x1⋅x2 = 2a− 5$ . Заметим, что значение выражения

x21+ x22 =(x1+ x2)2− 2⋅x1⋅x2 =

=4a2− 4a+10= (2a− 1)2+ 9≥ 9

принимает наименьшее значение при $2a− 1 =0$ .

Ответ:

$1 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#80045Максимум баллов за задание: 7

При каких значениях параметра $a$ существует единственная пара чисел $(x;y),$ удовлетворяющая системе неравенств

{ (x2 − xy+ y2)(x2− 36)≥0 |x− 2+ y|+|x− 2 − y|≤ a?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Что можно сказать о выражении x² - xy + y²?

Подсказка 2

Рассмотрите его как квадратный трехчлен относительно x.

Подсказка 3

D = -3y². Проанализируйте, какие значения может принимать x² - xy + y².

Подсказка 4

Разбейте плоскость на 4 области прямыми x - 2 + y = 0 и x - 2 - y = 0.

Показать ответ и решение

Рассмотрим выражение $A (x;y)= x2 − xy+ y2$ как квадратный трёхчлен относительно $x.$ Его дискриминант равен $D = y2− 4y2 = −3y2.$ При $y ⁄= 0$ дискриминант отрицателен, поэтому $A >0.$ Если $y =0,$ то $2 A = x ,$ т.е. $A > 0$ при $x ⁄=0$ и $A = 0$ при $x =0.$ В итоге получаем, что выражение $A(x;y)$ обращается в ноль в точке $(0;0)$ и положительно во всех остальных точках. Следовательно, первое неравенство системы равносильно совокупности $[ 2 2 [ x2− xy +y = 0, ⇔ x= y = 0 x − 36 ≥0 x∈ (−∞; −6]∪[6;+∞ )$ Изобразим множество точек, удовлетворяющих этой совокупности, на координатной плоскости. Получаем все точки, лежащие на прямой $x= −6$ и левее неё, точки на прямой $x =6$ и правее неё, а также точку $(0;0).$

$PIC$

Перейдём ко второму неравенству. Проведём на координатной плоскости прямые $x − 2+ y = 0$ и $x− 2− y = 0.$ Они разбивают плоскость на 4 области, в каждой из которых знаки выражений под модулями постоянны. Рассматриваем 4 случая. Если $x − 2 +y ≥ 0$ и $x− 2− y ≥ 0,$ то неравенство принимает вид $a x− 2+ y+x − 2− y ≤ a⇔ x ≤2 +2$ Аналогично, если $x− 2+ y < 0$ и $x− 2− y ≥0,$ то $a − x +2− y+ x− 2− y ≤ a⇔ y ≥ −2$ . Если $x− 2+y <0$ и $x − 2− y < 0,$ то $a − x +2− y− x+ 2+y ≤a ⇔ x≥ 2− 2$ Если $x− 2 +y ≥0$ и $x− 2− y < 0,$ то $a x− 2+y − x +2+ y ≤ a⇔ y ≤2$ Окончательно получаем, что при $a =0$ неравенство задаёт точку $(2;0),$ при $a >0−$ квадрат с центром в точке $(2;0)$ и стороной $a,$ а при $a< 0−$ пустое множество.

Очевидно, при $a≤ 0$ система не имеет решений. При $a >0$ для того, чтобы было единственное решение, нужно, чтобы точка $(0;0)$ попадала в квадрат, но чтобы квадрат не пересекал прямую $x= 6,$ откуда следует, что $2≤ a2 <4,$ т.e. $4≤ a< 8.$

Ответ:

$4 ≤a< 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#51338Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $b,$ для каждого из которых существует число $α,$ такое, что уравнение

2 x +(sinα +3cosα)x+b =0

имеет действительное решение.

Источники: Физтех-2011, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Это квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

2 (sinα +3cosα) − 4b≥ 0

2 (sin α+ 3cosα) ≥ 4b

Мы хотим чтобы для любого $b$ существовал $α$ , что равносильно

4b≤ max((sinα +3cosα)2)= maxf(α) α α

Используем формулу вспомогательного угла

√--( -1- -3- ) √-- ( -3-) sinα +3cosα= 10 √10sinα + √10cosα = 10sin α+ arcsin√10- =⇒

( ) f(α)= 10sin2 α +arcsin√3- ≤10 и равенство достигается, откуда 10

4b≤ 10 ⇐⇒ b≤ 5 2

Ответ:

$(−∞; 5] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#51340Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система уравнений

({|x− 1|+ |x+ 1|− 2y = 0 2 2 ( x +y − 2ay+2a= 1

имеет ровно три различных решения.

Источники: Физтех-2010, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Два похожих модуля — явный намёк на графический метод!

Подсказка 2

Второе уравнение даст нам окружность, какие граничные случаи надо рассмотреть?

Подсказка 3

Выясните, при каких a окружность касается каждой из прямых первого уравнения.

Показать ответ и решение

$PIC$

Первое уравнение системы можно записать в виде

( { 1, |x|≤ 1 y = (|x|, |x|> 1

Второе уравнение системы преобразуется к виду $x2+ (y− a)2 = (a− 1)2$ и является уравнением окружности с центром в точке $(0;a)$ и радиусом $|a− 1|$ . Эта окружность при любом значении $a$ проходит через точку $A (0;1)$ и касается прямой $y =1.$ Если $a <1,$ то окружность лежит ниже прямой $y =1,$ и данная система в этом случае имеет единственное решение $(0;1).$ При $a =1$ окружность вырождается в точку $A,$ т. е. в этом случае система тоже имеет единственное решение $(0;1).$ Если же $a >1,$ то окружность расположена выше прямой $y = 1,$ и система кроме решения $(0;1)$ будет иметь ещё два решения (симметричных относительно прямой $x= 0)$ в том случае, когда окружность касается прямых $y = x$ и $y = −x.$ Это означает, что система

{ y =x x2+ (y− a)2 = (a− 1)2

имеет единственное решение, т. е. уравнение $x2+ (x − a)2 = (a − 1)2$ имеет единственный корень. Это уравнение можно записать так $2x2− 2ax +2a− 1= 0,$ откуда $D = 4a2− 8(2a− 1)= 4(a2− 4a +2)= 0,$ т. е. $a =2± √2.$ Так как $a> 1,$ то получаем $a =2+ √2.$

Ответ:

$2+ √2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#79185Максимум баллов за задание: 7

Найдите, при каких значениях параметра а система уравнений

{ x− y2− a =0 x2− y+a =0

имеет единственное решение.

Источники: Физтех - 2009, 11.6 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие у нас стандартные методы решения системы? Сложить, перемножить, выразить. Попробуем первый способ. Ого, ушла а-шка, и более того, наше выражение разложилось на множители. Значит, либо x = y, либо x + y + 1 = 0. Чему теперь равносильно условие на одно решение, если х линейно выразился через у?

Подсказка 2

Тому, что суммарно, при подстановке вместо y — х и -(x + 1), во второе (или первое, это не так важно) уравнение системы, получалось ровно 1 решение. Как нам этого добиться?

Подсказка 3

Верно, посчитаем дискриминанты. Один из них должен быть равен нулю, а второй меньше нуля (так как общих корней у уравнений нет)

Показать ответ и решение

Первое решение.

После сложения уравнений системы получим

2 2 x − y + x− y = 0

x= y или x+y +1 =0

Получаем, что система из условия равносильна

⌊ { y = x || x2− x+a =0 ||⌈ { y = −1− x x2+ x+1 +a =0

в силу линейной связи между $x,y$ одно решение должна иметь совокупность

[ x2− x+ a= 0 x2+ x+ 1+ a= 0

Дискриминант первого уравнения равен $1− 4a,$ у второго же он меньше: $1 − 4a− 4.$ Поэтому наличие решений у второго уравнения сразу влечёт за собой наличие решений у первого уравнения. Значит, для единственности решения необходимо и достаточно равенства нулю первого дискриминанта (у второго уравнения при таком значении $a$ не будет корней):

1− 4a =0

Второе решение.

Заметим, что система симметрична относительно замены $(x,y)$ на $(y,x)$ . То есть если есть решение $(x0,y0)$ , то решением также будет пара $(y0,x0)$ — решений четное количество. Поэтому, чтобы решение было единственным, необходимо (но не достаточно), чтобы среди решений было $(x,x):$

2 x − x+ a= 0

Для единственности решения этого квадратного уравнения его дискриминант должен быть равен нулю:

1− 4a =0

При таком значении параметра получаем систему

{ x− y2 − 1 = 0 x2− y +4 1 = 0 4

Вычитая, получаем

( 1)2 ( 1)2 x− 2 + y− 2 =0

Единственное решение уравнения — это пара $(11) 2;2$ . Такая пара является решением системы, поэтому это единственное и такое $a$ подходит.

Ответ:

$1 4$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#80046Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

{ x2+y2+ 31≤ 8(|x|+ |y|) x2+y2− 2y = a2− 1

имеет хотя бы одно решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В первом уравнении есть намек на круги, как нам будет удобнее работать с модулем?

Подсказка 2

Представьте x² как |x|².

Подсказка 3

А снизу просто окружность с фиксированным центром, осталось рассмотреть их взаимное расположение.

Показать ответ и решение

Запишем первое неравенство системы в виде

2 2 (|x|− 4)+ (|y|− 4) ≤ 1

Этому неравенству удовлетворяет множество $E$ - объединение четырёх кругов $C1$ , $C2$ , $C3$ и $C4$ радиуса 1 с центрами соответственно в точках $O1(4;4),O2(4;− 4),$ $O3(−4;4)$ и $O4(−4;−4).$ Запишем второе равенство системы в виде

2 2 2 x + (y− 1) =a

При $a⁄= 0$ это уравнение окружности $L$ с центром в точке $O (0;1)$ радиуса $|a|.$ Соединим точку $O$ и точки $O1$ и $O2$ прямыми $ℓ1$ и $ℓ2.$ Пусть $A1$ и $B1−$ точки пересечения $ℓ1$ с окружностью $L1$ (с центром $O1$ радиуса 1), а $A2$ и $B2−$ точки пересечения $ℓ2$ с окружностью $L2$ (с центром $O2$ радиуса 1). Имеем $OO1 =5$ , $OO2 = √25+-16-=√41-$ , $OA1 = 4$ , $OB1 = 6$ , $OA2 =√41-− 1$ , $OB2 = √41+ 1$ При $4≤ |a|≤6$ окружность $L$ пересекается с кругами $C1$ и $C3,$ а при $√41-− 1 ≤$ $≤|a|≤√41-+1$ окружность $L$ пересекается с кругами $C2$ и $C4.$ Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если $|a|$ принадлежит либо отрезку $I1 = [4,6],$ либо отрезку $I = [√41− 1,√41+ 1]. 2$ Так как $4< √41− 1< 6< √41+ 1$ то объединение отрезков $I 1$ и $I 2$ есть отрезок $[4,√41-+1].$

$PIC$

Ответ:

$4 ≤|a|≤ √41+ 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#51339Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a,$ при которых существует ровно две пары действительных чисел $(x;y),$ удовлетворяющих системе уравнений

{ (x+ y2 − 1)(y− √6|x|) =0 2 2ay+x = 1+a

Источники: Физтех-2007, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Кажется, что задачу было бы удобно решать графически. Что мы получим из первого уравнения?

Подсказка 2

Это будут график модуля и парабола, повернутая на бок. Второе уравнение даст нам прямую.

Подсказка 3

Рассмотрите точки пересечения модуля и параболы, а также точку касания параболы и прямой.

Показать ответ и решение

$PIC$

На координатной плоскости Оху рассмотрим ломаную $L$ , задаваемую уравнением $√- y = 6|x|,$ и параболу $Π$ , задаваемую уравнением $x +y2 = 1.$ Ломаная $L$ пересекается с параболой $Π$ в точках с абсциссами $x= − 12$ и $x = 13$ и положительными ординатами. Прямая $ℓ(a)$ , задаваемая уравнением $2ay+ x= 1+a2,$ касается параболы $Π$ в точке $( ) 1 − a2;a.$ Найдем $a> 0,$ при которых точка касания $ℓ(a)$ и $Π$ является точкой пересечения $L$ и $Π$ , то есть удовлетворяет уравнению $L$ . Имеем: $1− a2 =− 12$ при $∘-- a= 32$ и $1− a2 = 13$ при $a = ∘2. 3$

Разберём случаи

При $a> ∘ 3- 2$ или $a ∈(∘ 2;∘ 3) 3 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $∘ 2- a= 3$ и $∘-3 a= 2$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в двух различных точках, одна из которых является точкой касания $ℓ(a)$ и $Π$ . Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.

Далее найдём $( ∘ -) a1 ∈ 0; 23$ , при котором $ℓ(a1)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = −√6x$ . Получим $− 2a1 = −√16,$ т. е. $a1 = 21√6$ .

Аналогично ищем $a0 <0$ , при котором $ℓ(a0)$ параллельна прямой, задаваемой уравнением $y = √6x$ . Получаем $− 2a0 = 1√6$ , т. е. $a0 = − 1√- 26$ .

При $-- a∈ (-1√-;∘2) 2 6 3$ прямая $ℓ(a)$ пересекает ломаную $L$ в двух различных точках, не лежащих на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно три решения.
При $a∈ (−-1√-;-1√-] 2 6 2 6$ прямая $ℓ(a)$ пересекает $L$ в одной точке, не лежащей на П. Следовательно, в этом случае система имеет ровно два решения.
При $-1√- a≤ −2 6$ прямая $ℓ(a)$ не пересекается с $L.$ Следовательно, в этом случае система имеет ровно одно решение.

Осталось собрать те случаи, когда решения ровно два, и написать ответ.

Ответ:

$a= ∘ 2, a= ∘ 3, a∈ (−-1√-,-1√-] 3 2 2 6 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#79184Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a$ , при которых система неравенств

{ x2+ 2x+a ≤0 x2− 4x− 6a ≤0

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2004

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Рассмотрите каждое неравенство системы, первое из них приведите к виду а ≤ f(x), второе — к а ≥ g(x).

Подсказка 2

В системе координат хОа выполните построение графиков функций а = f(x), а = g(x).

Подсказка 3

Зафиксируйте область, которая соответствует решению неравенств. То есть определите, какие точки являются множеством решения для каждого из неравенств. ("Выше", "Ниже", "Не выше" или "Не ниже" параболы)

Подсказка 4

Стоит отметить, что множеством решений системы является область, удовлетворяющая обоим неравенствам, так как перед нами система.

Подсказка 5

Посмотрите, при каком а будет единственное решение. Для этого необходимо понять, при каких значениях параметра горизонтальная прямая будет иметь с выделенной областью ровно одну точку пересечения.

Показать ответ и решение

Перепишем исходную систему в виде

(| 2 {a ≤− x2 − 2x |(a ≥ x-− 4x 6

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x0;a0)$ принадлежит этому множеству $S,$ то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a0,$ то $x0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения $a0$ параметра $a,$ при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x0;a0),$ где $x0 ∈ ℝ,$ принадлежит множеству решений $S,$ изображенному на плоскости $xOa.$ Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a= a0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S.$

Построим на плоскости множества решений каждого из неравенств системы, а затем найдем пересечение этих множеств.

Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы $f(x)= −x2− 2x.$
Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы $g(x)= x2− 4x. 6$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g.$ Ее координаты равны

x1 = − 2−⋅2(−1)-=− 1; a1 =f(−1)= 1

Так как $g(−1)= 5< 1= f(− 1), 6$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g.$

Построим графики.

$PIC$

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g,$ включая границы.

Только горизонтальные прямые $l1 :a= 0$ и $l2 :a= 1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l2$ — касательная в вершине параболы $f,$ а не прямая, проходящая через точку пересечения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже $l1$ или выше $l2$ не будет иметь пересечений с множеством $S.$

Прямые между $l1$ и $l2$ будут иметь больше одной точки пересечения с $S.$

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

a∈ {0;1}

Ответ:

${0;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#79186Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение

x log7(7 − log7a)= 2x

имеет единственное решение.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2004 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перепишем уравнение в более приятном виде: 7^x - log_7(a) = 7^2x (учитываем ли мы ОДЗ?). Здесь видно, что можно сделать замену t = 7^x и получить квадратное уравнение. Какие тогда у нас случаи возможны, если мы хотим, чтобы было ровно одно решение нашего исходного уравнения?

Подсказка 2

Верно, у нашего квадратного уравнения либо должен быть ровно 1 положительный корень, либо корни разных знаков (то есть 1 положительный, а другой неположительный). Первая ситуация понятно описывается на математическом языке. А как быть со второй? Какую систему условий надо сделать, ко второму случаю?

Подсказка 3

Верно, во-первых, D > 0, во-вторых, log_7(a) ≤ 0. Осталось решить систему, найти решения для первого случая и записать ответ!

Показать ответ и решение

Уравнение равносильно $7x − log a =72x 7$ (заметьте, что ограничение на аргумент логарифма учитывается, так как $72x > 0)$

При замене $x 7 =t$ требование единственности решения для $x$ равносильно требованию единственности положительного решения для $t$ у уравнения

2 t − t+ log7a= 0

Это возможно в двух случаях: либо уравнение имеет единственное решение $t >0 0$ , либо уравнение имеет два корня разных знаков.

В первом случае получаем $1− 4log a= 0, 7$ то есть $log a= 1. 7 4$ И тогда $t= 1> 0, 2$ поэтому $a= 714$ подходит.

Во втором случае существуют корни $t1$ и $t2$ при

1 D >0 ⇐ ⇒ 1− 4log7a >0 ⇐⇒ 0< a< 74

По теореме Виета $t1⋅t2 =log a, 7$ так что уравнение имеет ровно один положительный корень только при $log a≤0, 7$ то есть $0 <a ≤1.$

Ответ:

$(0;1]∪{√47-}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#78772Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения $a$ , при которых система

{ log(3− x+ y)+ 3= log (25 − 6x+ 7y), y +22 =(x− 2a)2+ a+ 22x.

имеет ровно два решения.

Источники: Вступительные в МФТИ - 2002 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Сразу после того, как мы преобразовали нашу систему к более приемлемому виду (а именно засунули тройку в логарифм и переписали вместе с ОДЗ систему) можно, к примеру, подставить значение y из первого уравнения во второе.

Подсказка 2

У нас получится система x > -4, (x - 2a)^2 = 3 - a. По условию нам нужно, чтобы было два решения. Как это можно переформулировать для полученной системы?

Подсказка 3

Это значит, что полученное квадратное уравнение должно иметь два различных корня, больших -4. Для этого нужен положительный дискриминант, вершина с абсциссой правее точки -4 и положительное значение функции в самой точке х=-4. Осталось решить эту систему и найти ответ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение системы по свойствам логарифмов равносильно $24− 8x+8y =25− 6x+ 7y >0,$ поэтому после приведения подобных получаем

( |{ y = 1+2x |( x− y < 3 2 y+2 =(x− 2a)+ a+ 2x

{ x> −4 (x − 2a)2 = 3− a

Чтобы исходная система имела ровно $2$ решения, нужно, чтобы полученная система имела $2$ решения, потому что $y =1+ 2x$ каждому $x$ соответствует ровно одна пара решений.

Значит, нужно найти такие значения $a$ , при которых квадратное относительно $x$ уравнение

(x− 2a)2 = 3− a

имеет два различных корня $x1, x2 >− 4.$ Рассмотрим, когда график параболы $f(x)= x2− 4ax+4a2+ a− 3$ удовлетворяет условиям:

$PIC$

Необходимо и достаточно, чтобы

( |{ D > 0 | xв > −4 ( f(−4)= 16+16a+ 4a2 +a− 3> 0

Решив получившуюся систему, получаем ответ.

Ответ:

$(−1;3)$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#78775Максимум баллов за задание: 7

Найти все значения параметра $α,− π <α < π$ , при которых система уравнений

{ (4− x2− y2)(y2− 4x +28)= 0 x cosα+ ysinα = 2

имеет ровно три решения.

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Раз у нас произведение скобок равно нулю, то хоть одна из них равна нулю. Так мы можем свести систему к совокупности из двух систем поменьше) Что можно сказать об уравнениях в каждой из новых систем?

Подсказка 2

Первое уравнение - уравнение окружности, а второе - парабола относительно y. Мы хотим получить три решения, но обычно существуют всякие случаи когда корни из двух случаев пересекаются...Можем ли мы сразу отмести такие варианты?

Подсказка 3

Да! Из второго уравнения мы видим, что x >= 7, что точно не может быть решением первой системы. Теперь давайте снова вернемся к первой системе: на что похоже второе уравнение и как меняется его график при изменении параметра?

Подсказка 4

Если очень внимательно посмотреть, то окажется, что для всех параметров мы получим семейство прямых, которые касаются как раз нашей окружности из первого уравнения! Это можно видеть просто подстановкой из второго уравнения в первое, или по формуле расстояния от точки до прямой. Значит, там всегда одно решение, и осталось понять, когда у нас два решения у второй совокупности)

Показать ответ и решение

Система равносительна совокупности

⌊ { 4 − x2− y2 = 0 || || { x2cosα+ ysinα = 2 ⌈ y − 4x+ 28= 0 x cosα+ ysinα = 2

Графиком уравнения $x2+ y2 =4$ является окружность с центром $O (0;0)$ , радиус которой равен $2$ .

Графиком уравнения $x= y2+ 7 4$ является парабола с вершиной $(7;0)$ , симметричная относительно оси абсцисс, причем $x ≥7$ .

Эти графики не имеют общих точек, следовательно, системы из совокупности общих решений не имеют.

Уравнение $xcosα+ ysinα= 2$ задаёт семейство прямых, причём при любом $− π < α< π$ расстояние от центра окружности $O (0;0)$ до прямой равно

|− 2| ∘cos2α+-sin2α-=2

радиусу. Поэтому это уравнение задает семейство касательных к окружности.

$PIC$

Тогда первая система совокупности имеет одно решение при всех $− π < α <π$ . А значит, вторая система должна иметь ровно два решения.

Если $cosα = 0$ , то $sinα =1$ или $sin α= −1.$

При $sin α= 1$ имеем одно решение $(x,y)= (8,2)$ ; при $sinα= −1$ получаем $(x,y)= (8,−2)$ — одно решение.

Следовательно, $cosα ⁄=0.$ Тогда вторую систему запишем в виде

(| 1 2 |{ x= 4y + 7 ||( 2−-ysinα- x= cosα

Откуда

1 2 2− ysinα 4y + 7= --cosα---

y2 cosα+ 4ysinα +28cosα− 8= 0

Это квадратное относительно $y$ уравнение будет иметь два решения при положительном дискриминанте.

D 4-= (2sinα)2− cosα(28cosα− 8)=− 32cos2α+ 8cosα +4 >0

Тогда $8 cos2α− 2cosα − 1 <0$ , откуда $( ) cosα∈ − 14;12$ . Но $cosα⁄= 0$ , следовательно, $( ) ( ) cosα ∈ − 14;0 ∪ 0;12$ .

Решая эти неравенства, получаем ответ.

Ответ:

$α ∈(− arccos(− 1) ;− π) ∪(− π;− π) ∪(π;π )∪( π;arccos( − 1)) 4 2 2 3 3 2 2 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#79188Максимум баллов за задание: 7

На координатной плоскости даны точки $A(2;−3)$ и $B(4;0).$ При каких значениях параметра $p,p> −5$ , ближайшая к графику функции $√ -3 y = x +p$ точка прямой $AB$ лежит на отрезке $AB?$

Источники: Вступительные в МФТИ - 1994 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала надо понять, а почему вообще наша прямая не имеет пересечения на отрезке с нашим графиком (то есть что прямая, которая касается графика не правее нашей), ведь иначе наименьшее расстояние было бы нулевым.

Подсказка 3

Найдите, на какой прямой лежит отрезок AB. При этом ближайшая к графику точка отрезка - это перпендикуляр из точки, в которой параллельная данной прямая касается нашего графика. Значит, надо записать условия касания и понять в какой точке оно происходит.

Подсказка 3

Выходит, что касание происходит в точке x = 1. Теперь, когда мы все нашли, остается понять, какие требования нам нужны, чтобы этот перпендикуляр падал не просто на прямую, а именно на отрезок AB? Что для этого требуется?

Подсказка 4

Чтобы p было таким, что, перпендикуляр падает между точек конца отрезка. Можно найти значения p, когда перпендикуляр попадает на концы отрезка. А все промежуточные p тоже будут подходить.

Показать ответ и решение

Для начала поймем, что прямая, проходящая через точки $A$ и $B$ , задаётся уравнением $y = 3x− 6, 2$ а на области определения функция $√ -3 y = x +p$ не пересекается с $AB$ при $p >− 5,$ потому что минимальное значение разности $√-3 3 t(x)= x + p− (2x − 6)$ достигается при $3√ - 3 2 x− 2 = 0 =⇒ x= 1$ и равно $3 1 1 1+ p− 2 + 6= 2 + (p+5)≥ 2 >0.$

Расстояние от точки на графике до прямой $AB$ это перпендикуляр на прямую $AB.$ Прямые, перпендикулярные $3 y = 2x− 6$ задаются уравнением $2 y =− 3x+ q, q ∈ℝ,$ они параллельны между собой, а наименьшее расстояние достигается при наименьшей длине отрезка такого перпендикуляра — в точке $x0$ касания графика $√ -3 y = x +p$ с прямой, параллельной $3 y = 2x − 6.$ Запишем условие касания функций:

( ∘-- { x30+ p= 32x0− 6+c,c∈ ℝ ( 32√x0 = 32

x0 = 1

Прямая, перпендикулярная $AB$ и проходящая через точку $(1;1+ p)$ , имеет вид $2 5 y = −3x+ 3 + p.$

Прямая, перпендикулярная $AB$ и проходящая через точку $(2;− 3)$ , задается уравнением $2 5 y = − 3x− 3,$

$PIC$

А проходящая через точку $(4;0)$ — уравнением $y = − 23x + 83.$

$PIC$

Отсюда находим подходящие граничные значения $10 p= −-3 , p =1.$ Все значения между ними из этого отрезка также подходят.

Ответ:

$[− 10;1] 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#78979Максимум баллов за задание: 7

Числа $x ≤0,y > 0$ — решения системы уравнений

({ 2 2 10p−-p2 3x2 − 8xy− 3y2 = 14p0−2p+9 ; ( x − 5xy+ 6y = 4p2+9,

$p$ — параметр. При каких $p$ выражение $2 2 x + y$ принимает:

(a) наибольшее значение;

(b) наименьшее значение?

Источники: Вступительные в МФТИ - 1993 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуем преобразовать систему. Что есть схожего у уравнений? Как можно преобразовать левую часть каждого?

Подсказка 2

Левую часть каждого можно разложить на множители, а правые части отличаются домножением на p. Что интересного можно заметить при таком преобразовании? Что хочется с этим сделать?

Подсказка 3

Есть совпадающие скобки, поэтому попробуем поделить одно уравнение на другое. Тогда мы выразим р. А что можно сделать, чтобы благодаря первоначальной системе уравнений найти связь одной из переменных х и у с р? Пока что у нас в каждом уравнении есть все три переменные, как можно избавиться от одной из них?

Подсказка 4

Попробуем найти х/у! Тогда можно будет выразить одну переменную через другую и найти

Подсказка 5

x/y=(2p+1)/(p-3). Как можно оценить р, используя условия на х и у? Теперь, при помощи условия и найденной связи между х и у, мы можем найти квадраты!

Подсказка 6

Сумма квадратов равна (5p^2-2p+10)/(7*(4p^2+9)). Осталось лишь найти экстремумы такой функции на промежутке привычным способом)

Показать ответ и решение

Данная система имеет вид

$pict$

Разделив первое уравнение на второе (это можно сделать, т.к. $x≤ 0,y > 0,$ следовательно $x− 2y < 0$ и $x− 3y <0$ ), получим $3x+y x−2y =p.$ Отсюда

x 2p+1 y = p−-3 ,

(2)

где $− 12 ≤ p< 3,$ т.к. $xy ≤ 0.$ Подставив соотношение $(2)$ в уравнение $(1)$ получаем

x2 =-(2p+-1)2-, y2 =-(p-− 3)2, 7(4p2+ 9) 7(4p2+ 9)

откуда

2 2 5p2− 2p+-10 x + y = f(p)= 7(4p2+ 9)

Исследовав функцию $f(p)$ на максимум и минимум при $[ ) p∈ − 12,3$ получаем, что

fmax = 7-(p= − 1), fmin = 1 (p= 1) 40 2 7

Ответ:

(a) $1 − 2$

(b) $1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#104742Максимум баллов за задание: 7

Числа $x$ и $y$ являются решениями системы уравнений

{ −x +ay = 2a ax− y = 3a− 5,

где $a$ — параметр. Какое наименьшее значение принимает выражение $x2+ y2$ ? При каком $a$ это происходит?

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В одном уравнении коэффициент а при x, в другом — при y. Это может намекать на некоторое преобразование системы, которое может связать x и y.

Подсказка 2

Сложите два уравнения и разложите части на множители. Что можно сказать о y и x?

Подсказка 3

Получилось, что y = 5 - x. Тогда мы можем найти x через a.

Подсказка 4

Итак, теперь у нас и y, и x выражены в виде дробей с a, и нам нужно минимизировать их сумму квадратов. А чему она равна?

Подсказка 5

Сумма квадратов есть (13a² + 20a + 25)/(a+1)². Как мы умеем искать минимумы у выражений?

Подсказка 6

Будем искать минимум через производную!

Показать ответ и решение

Сложим уравнения системы и вынесем общие множители, получим

(a− 1)(x+ y)= 5(a− 1)

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a⁄= 1,$ тогда $y = 5− x,$ подставим это во второе уравнение системы

ax− (5− x)= 3a − 5

(a +1)x= 3a

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a⁄= −1,$ тогда

x= -3a- a+ 1

Следовательно,

y = 5− x = 2a-+5 a+ 1

В итоге выражение, которое нужно минимизировать, примет вид

x2+ y2 =--9a2--+ 4a2+-20a+-25= 13a2+20a+-25 (a+1)2 (a+ 1)2 (a+1)2

Исследуем его с помощью производной

6(a− 5) (a+-1)3 =0

a= 5

Посмотрев на порядок смены знака производной с минуса на плюс при переходе через эту точку, можно сказать, что это точка минимума. В этой точке выражение равно $25 -2 .$

Проверим, что выражение не принимает значения меньше при $a∈ (− ∞;−1).$ Для этого выделим целую часть

13a2+-20a+-25- -12-− 6a (a +1)2 = 13 +(a+ 1)2

Так как $a∈ (−∞;−1),$ то $12− 6a > 0,$ тогда

12− 6a 13+ (a+-1)2-> 13

То есть выражение не принимает значения, которые не больше 13, на промежутке $(−∞;−1).$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a= −1,$ тогда исходная система примет вид

{ − x− y = −2 − x− y = −8

Видно, что система не имеет решений.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть $a= 1,$ тогда исходная система примет вид

{ −x +y = 2 x− y = −2

Видно, что система равносильна уравнению

y = x+ 2

Тогда выражение примет вид

x2+ y2 = x2+ (x +2)2 = 2x2+ 4x+ 4

Наименьшее значение парабола с ветвями вверх принимает в вершине, в данном случае наименьшее значение достигается при $x= −1$ и равно $2.$

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Так как $2< 252 ,$ то в итоге наименьшее значение выражения $x2+ y2$ для заданной в условии системы равно 2, достигается оно при $a =1.$

Ответ:

$2$ при $a= 1$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#104740Максимум баллов за задание: 7

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых

√ ---- log5(x+ 2− a)+ log1∕5(a− 1− x) =log259

имеет решение.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Перед нами логарифмы с похожими основаниями, быть может, преобразуем выражения так, чтобы остался логарифм лишь с одним основанием?)

Подсказка 2

После преобразований мы придём к системе, одно из уравнений которой следует из ограничений на ОДЗ. Можем ли мы сделать такие преобразования, чтобы избавиться от x и решать систему для a?

Подсказка 3

4(a-1) > 4x, после чего можно заменить 4x в другом уравнении. Теперь нам нужно сравнить две величины c a.

Подсказка 4

Например, можно изобразить графики √(2-a) и 1-a, чтобы понять, как расположены решения этого неравенства!

Показать ответ и решение

По свойствам логарифмов уравнение равносильно системе