Системы на Физтехе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите количество пар целых чисел 
, удовлетворяющих системе неравенств
Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более трёх слагаемых.
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем понять, при каких x вообще имеются решения. Для удобства давайте представим x в виде 6^t.
Подсказка 2
Используя неравенства системы, можно получить, что 90 + 6^t - 6^90 ≤ y ≤ t. Отсюда мы получаем, что 90 + 6^t - 6^90 - t ≤ 0. Что можно сказать про поведение выражения слева и как получить ограничения на t?
Подсказка 3
Давайте поймём, что для 1 ≤ x ≤ 6^90 решения есть? Кстати, сколько их при каждом каждом x? Что можно сказать про большие х?
Подсказка 4
Вопрос про количество решений при конкретном х был наводящим на конец решения. Исходя из системы неравенств это количество будет равно разности целой части логарифма и выражения 90 + x - 6⁹⁰. Осталось посчитать суммарное количество решений!
ОДЗ: 
Заметим, что 
. Заметим, что если 
, то 
и при 
функция 
возрастает. 
. Значит, 
и 
. Заметим, что при ![90
x ∈[6,6 ]](/api/latex-service/v1/GetSession/180738/index-a225d1ba254349243ca5a8080cdd3f00.svg)
функция 
и значит, как минимум одно решение с
таким 
есть. При ![x ∈[1,6]](/api/latex-service/v1/GetSession/180738/index-539536cac85551d118bba45e6a545fd2.svg)
такое решение тоже есть и это 
.
Тогда нас интересует такая сумма
![690 690
∑ [log6x]− (90+x − 690)+1= (∑ [log6x]− x)+ (690− 89)690
x=1 x=1](/api/latex-service/v1/GetSession/180738/index-ee3a7cfc9da69d352a34ffca800e1984.svg)
Ее можно разложить на части
![690 ( 89 6y+1−1 ) 89
∑ [log6x]=( ∑ ∑ ([log6x])) +90= ∑ y(6y+1− 6y)+ 90=
x=1 y=0x=6y y=0](/api/latex-service/v1/GetSession/180738/index-a4aac0ce75df4bac1878986516e27545.svg)
Итак,
![6∑90 90 90 90
( [log6x]− x)+(690 − 89)690 = 89⋅690− 6-− 1-+90− 6-(6-+-1) +(690− 89)690 =
x=1 5 2](/api/latex-service/v1/GetSession/180738/index-c83de559d1934cd9f0037f0f7784e4c4.svg)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
