Тема Физтех и вступительные по математике в МФТИ

Системы на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех и вступительные по математике в мфти

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#107202

На координатной плоскости изображена фигура $Φ(α)$ , состоящая из всех точек, координаты ( $x;y$ ) которых удовлетворяют системе неравенств

{ √- √- (x2− 322 sinα)(y− 3 2cosα)≤0 x + y ≤25

Найдите максимальное значение $M$ периметра (длины границы) фигуры $Φ(α)$ и укажите все значения $α$ , при которых оно достигается.

Источники: Физтех - 2025, 11.6 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте разберёмся, как графически выглядит фигура. Второе неравенство задаёт круг с центром в начале координат и радиусом 5. Чтобы понять, какую область задаёт первое, нужно нарисовать две прямые x = 3√2sin a, y = 3√2cos a и подумать.

Подсказка 2

Итак, в первом неравенстве подойдут области, в которых у скобочек разные знаки. То есть либо область правее первой прямой и ниже второй, либо левее первой и выше второй. Осталось понять, где находится точка пересечения прямых относительно круга и можно делать выводы про область, которую задаёт система?

Подсказка 3

Итак, чтобы найти периметры этих частей круга, нужно отдельно посчитать длины дуг и хорд. Кажется, что длины дуг как-то связаны с углом между хордами, которые из высекают.

Подсказка 4

Для поиска и минимизации суммы длинн отрезков хорд, отсекающий области круга, вам понадобятся координаты точки пересечения прямых и неравенство о средних.

Показать ответ и решение

$PIC$

$Φ(α)$ — это две части круга $ω$ с центром в точке $O(0;0)$ и радиуса $R = 5$ , отсекаемые хордами $AB$ и $CD$ , лежащими на прямых с уравнениями $√ - x =3 2sinα$ и $√- y = 3 2cosα$ соответственно. Хорды пересекаются в точке $√ - √- N (3 2sinα;3 2cosα )$ , которая принадлежит $ω$ , так как $√- √ - |ON |2 = (3 2sinα)2+ (3 2cosα)2 = 18 <25 =R2$ . Эта точка $N$ является единственной общей точкой двух частей $Φ(α)$ .

Периметр $Φ (α)$ равен $Σ1+ Σ2$ , где $Σ1$ — сумма длин дуг $AC$ и $BD,Σ2$ — сумма длин хорд $AB$ и $CD$ . Угол между $AB$ и $CD$ равен $π2$ , поэтому

Σ1 = 2⋅ π⋅R = 5π 2

Расстояния от точки $O$ до $AB$ и $CD$ равны $ρ1 =|3√2sinα|$ и $ρ2 = |3√2cosα|$ соответственно, поэтому, используя неравенство $∘ ----- a+2b ≤ a2+2b2$ о среднем квадратическом и среднем арифметическом, получаем

∘R2-− ρ2+ ∘R2-−-ρ2 ∘ --2----√-----2---√------2 Σ24 = ------12-------2-≤ 2R-−-(3-2sinα)2-−-(3-2-cosα)-= 4.

Равенство достигается при

∘R2-−-ρ2-=∘R2-−-ρ2 ⇔ ρ1 = ρ2 ⇔ |sin α|= |cosα| ⇔ |tgα|= 1 ⇔ α = π+ πn,n∈ ℤ 1 1 4 2

Тогда $Σ2 = 16$ , а $M = max(Σ1 +Σ2)= 5π+ 16$ .

Ответ:

$5π+ 16 при α = π+ πn, где n ∈ℤ 4 2$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#126183

Ненулевые числа $x,y,z$ удовлетворяют системе уравнений

(| xy =3z+ z2 { yz =3x+ x2 |( 2 zx =3y+ y

Найдите все возможные значения выражения $(x+ 3)2+ (y+3)2+ (z+ 3)2,$ если известно, что система имеет хотя бы одно решение в ненулевых числах.

Источники: Физтех - 2025, 10.1 ( см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Когда мы видим подобные системы, нередко хочется сложить все уравнения, но пока что не очень понятно, что нам это может дать – всё-таки нам хочется как-то выделить выражения х + 3, у + 3 и z + 3 (или хотя бы выразить квадраты наших переменных), можно ли как-то это сделать?

Подсказка 2

Ага, если преобразовать правые части уравнений, как раз получатся нужные нам скобочки! Но сильно легче от этого не стало, ведь мы даже не можем ничего сократить, в каждом уравнении все еще есть все три переменные :( Давайте тогда получим одно длинное уравнение таким образом, чтобы справа и слева какие-то части можно было сократить.

Подсказка 3

Перемножим наши уравнения, разделим результат на xyz (так как числа ненулевые, мы с чистой совестью можем это сделать), раскроем скобочки и по возможности упростим результат, видим, что в полученном уравнении есть сумма попарных произведений чисел х, у и z, которую очень просто можно выразить через исходную систему, каким образом можно это сделать?

Подсказка 4

Конечно же, просто сложив наши уравнения! Теперь в нашем равенстве есть сумма квадратов и сумма самих переменных, остается понять, что нужно добавить к равенству, чтобы получилось интересующее нас выражение.

Показать ответ и решение

Перемножим левые и правый части уравнений:

2 2 2 xy⋅yz⋅zx =(3z+ z)(3x +x )(3y+ y )

xy⋅yz⋅zx= xyz(3+ z)(3+ x)(3+y)

$x,y,z$ — ненулевые числа. Разделим обе части на $xyz :$

xyz =(x+ 3)(y+ 3)(z+ 3)

Раскроем скобки:

xyz = xyz+ 3xy+ 3xz +3yz+ 9x +9y+ 9z+ 27

(xy +yz+ zx)+3(x+ y+z)= −9

Сложим три уравнения системы:

xy+ yz+xz =3(x+ y+ z)+ x2+ y2 +z2

Подставим в предыдущее равенство:

x2+y2+ z2+ 6(x+ y+ z) =− 9

В итоге получим

2 2 2 2 2 2 (x+ 3) +(y+ 3) + (z +3) = x +y + z + 6(x+ y+ z)+27= 18

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80763

Решите систему уравнений

{ √x+-3− √4−-x−-z+5 =2∘y-+-x−-x2-+z; |y+ 1|+ 3|y − 12|=√169-− z2.

Источники: Физтех 2024, 4.2 (olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Первое уравнение выглядит не очень приятным, так что попробуем разобраться со вторым уравнением. Тут у нас ограниченный корень и сумма модулей. Чем можно воспользоваться?

Подсказка 2

Правильно, оценкой. Аккуратно оценим обе части уравнения и подумаем при каких условиях достигается равенство.

Подсказка 3

Отлично, у нас получилась единственная пара (y,z), которую можно подставить в первое уравнение и найти x.

Подсказка 4

Чтобы не возводить в много раз в квадрат уравнение, сделаем замену корней на a и b. Тогда можно записать систему и найти x.

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Правая часть не больше 13, так как

∘------2 √--- 169− z ≤ 169=13

Попробуем оценить левую часть второго уравнения. Рассмотрим $|y+ 1|+ |y − 12|,$ которое не меньше $13,$ так как $|a|+|b|≥ a+ b,$ где $a =y+ 1, b= 12− y.$ В итоге имеем

|y+ 1|+|y− 12|≥ 13

Прибавим к последнему неравенству $2|y− 12|,$ тогда получим

|y+1|+ 3|y− 12|≥ 13+ 2|y− 12|

Из последнего выражения делаем вывод, что левая часть второго уравнения системы не меньше $13.$ В итоге, получили, что левая часть не меньше $13,$ а правая часть не больше $13.$ Следовательно, чтобы достигалось равенство необходимо, чтобы $y = 12, z = 0.$ Подставим полученные значения $y$ и $z$ в первое уравнения системы для нахождения $x.$

√x+-3− √4−-x−-0+ 5= 2∘12-+-x−-x2+0

---------- √x-+-3− √4-−-x+5 − 2∘ (x +3)(4− x)= 0

Сделаем замену

{ √ ---- a =√-x+-3, a≥ 0, b= 4 − x, b ≥0

Заметим, что $2 2 a + b =7.$ Запишем систему

{ a−2 b+25− 2ab= 0 a + b =7

(| b−-5- ||{ a= 1− 2b || ( )2 |( 1b−− 52b + b2 =74x4− 4x3− 26x2+18x+ 18

4 3 2 4b-− 4b-−-26b-+2-18b-+18= 0 (1 − 2b)

Рассмотрим, когда числитель становится равным 0

4b4− 4b3− 26b2+18b+ 18 =0 ⇐ ⇒ 2(b2+b− 3)(2b2− 4b− 3)=0

Из последнего уравнения получаем совокупность решений

√-- ⌊ b= −1±--13- || 2 |⌈ 2± √10 b= --2---

С учетом ограничений получаем следующие $b$

⌊ √-- b= −1+--13- ||| 2 ⌈ 2+-√10 b= 2

Тогда сделаем обратную замену

⌊ √-- √4-− x-=-13−-1 ||| 2 ⌈ √ ---- 2+√10- 4− x = 2

⌊ √-- √-- | x= 4− 7−2-13= 1+-213 ||⌈ √-- √-- x= 4− 7+-2-10= 1−-2-10 2 2

Ответ:

$(1+ √13 ) (1− 2√10 ) ---2--;12;0 , ---2---;12;0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#70774

Решите систему уравнений

({ 3y− 2x= √3xy−-2x− 3y+-2 ( 3x2+ 3y2 − 6x− 4y = 4

Источники: Физтех-2022, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Для начала запишем ОДЗ для первого уравнения, а после этого можем возвести в квадрат. Давайте теперь попробуем перебрать известные нам способы решения. Вот некоторые из них: сложение и вычитание уравнений, решение однородного уравнения, замены различные, решение квадратного уравнения относительно x или y. Какие из них целесообразно здесь применить? Попробуйте сделать это!

Подсказка 2

Попробовали? Скорее всего, заменой ничего не вышло, потому что общих частей особо нет, да и к однородному вряд ли получилось свести. А что если решить первое уравнение, как квадратное относительно одной из переменных? Кажется, что страшное выражение и ничего не выйдет, но не попробуете — не узнаете!

Подсказка 3

Верно, например, после решения квадратного уравнения относительно y в дискриминанте получается полный квадрат, а значит, мы можем выразить y через x. Осталось только подставить каждое из выражений во второе уравнение, найти x и y, и победа! Но не забудьте учесть ОДЗ!

Показать ответ и решение

Первое уравнение при условии $3y− 2x ≥0$ равносильно уравнению

2 (3y− 2x) = 3xy− 2x − 3y+ 2

2 2 4x +(2− 15y)x+ (9y + 3y− 2)= 0

Решая это уравнение как квадратное относительно переменной $x,$ имеем

⌊ x= 3y − 1 D =(2− 15y)2− 16(9y2+3y− 2)= (9y− 6)2 ⇒ ⌈ 3 1 x= 4y+ 2

Подставляем во второе уравнение исходной системы.

Если $x= 3y− 1,$ то

⌊ √-- | y = 4+6-10 6y2− 8y +1= 0⇔ |⌈ 4− √10 y = --6---

Получаем две пары $√-- √-- y = 4+610,x = 2+210$ и $√-- √-- y = 4−610,x= 2−210.$

Если $x= 34y+ 12,$ то

⌊ 2 y =2 3y − 4y− 4= 0⇔ ⌈ y =− 2 3

Также имеем две пары $y =2,x= 2$ и $y = − 2,x= 0. 3$

Из четырёх найденных пар чисел неравенству $3y ≥2x$ удовлетворяют только две из них: $(2;2),(2−√10;4−-√10) . 2 6$

Ответ:

$(2;2),(2−-√10;4−√10) 2 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#33593

Найдите количество пар целых чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ y > 2x+ 3⋅265 y ≤ 70+(264− 1)x

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более двух слагаемых.

Источники: Физтех - 2020, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Так как мы хотим "зажать" y между двумя графиками, имеет смысл порассуждать об их точках пересечений и о том, как графики выглядят.

Подсказка 2

Один из графиков выпуклый вниз, а другой — линейный. Сколько у таких графиков точек пересечений? Попробуем их подобрать ;)

Подсказка 3

У графиков ровно две точки пересечения, абсциссы у них — 6 и 70. Тогда где находятся нужные нам значения y?

Подсказка 4

Нам нужны целочисленные точки, которые лежат "между графиками". Попробуем тогда посчитать целочисленные точки под каждым из графиков (и над осью x), а затем подумать, как же связаны эти величины с ответом!

Показать ответ и решение

Пусть $f(x)=2x +3⋅265,g(x)=70+ (264− 1)x$ . В силу того, что $f(x)$ выпукла вниз, а $g(x)$ - линейная, графики функций $f(x)$ и $g(x)$ могут иметь не более двух общих точек (достаточно взять вторую производную разности). Координаты обеих точек легко подобрать. Действительно, $6 65 64 ( 64 ) f(6)=2 + 3⋅2 =64+ 6⋅2 =70+ 2 − 1 6= g(6)$ и $70 65 6 64 64 (64 ) f(70)= 2 + 3⋅2 =2 ⋅2 + 6⋅2 = 70+ 2 − 170= g(70)$ . На промежутке $6< x< 70$ график $f(x)$ лежит ниже графика $g(x)$ . Поэтому система имеет целочисленные решения только при целых $x∈ [7;69]$ (так как первое неравенство системы строгое, точки пересечения графиков не являются решениями системы).

Заметим, что на отрезке $[7;69]$ графики функций $f(x)$ и $g(x)$ лежат выше оси $x$ . Поэтому искомое количество целочисленных точек мы получим, если из количества $S1$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $g(x)$ на отрезке $[7;69]$ , вычтем количество $S2$ целочисленных точек с неотрицательными ординатами, лежащих под графиком $f(x)$ на отрезке $[7;69]$ . При этом мы учтём, что первое неравенство системы строгое, а второе — нет.

Найдём $S1$ . Так как на отрезке $[7;69]$ лежат $69− 7+ 1= 63$ целочисленные точки, то

( ) ( ) S1 =70⋅63+ 264− 1 (7+ 8+ ...+ 69)= 70⋅63+ 264− 1⋅38⋅63=

= 32⋅63+ 264⋅38⋅63= 2016+ 265⋅1197

Найдём $S2 :$

( 7 65) (8 65) (69 65) S2 = 2 + 3⋅2 + 2 + 3⋅2 + ...+ 2 + 3⋅2 =

7 8 69 65 70 7 65 5 65 65 65 = 2 +2 + ...+ 2 + 3⋅2 ⋅63= 2 − 2 + 3⋅2 ⋅63 =2 ⋅2 − 128+ 189⋅2 = 221 ⋅2 − 128

Искомое количество равно

S1− S2 = 2016+ 265⋅1197− (221⋅265 − 128)=

= 2144+ (1197− 221)⋅265 =2144+ 976⋅265 = 2144+ 61⋅269

Ответ:

$61⋅269+2144$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90858

Найдите количество пар целых чисел $(x;y)$ , удовлетворяющих системе неравенств

{ y ≥ 90+ x− 690 y ≤ log x 6

Ответ должен быть представлен в виде алгебраической суммы не более трёх слагаемых.

Источники: Физтех - 2020, 11.7 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Давайте попробуем понять, при каких x вообще имеются решения. Для удобства давайте представим x в виде 6^t.

Подсказка 2

Используя неравенства системы, можно получить, что 90 + 6^t - 6^90 ≤ y ≤ t. Отсюда мы получаем, что 90 + 6^t - 6^90 - t ≤ 0. Что можно сказать про поведение выражения слева и как получить ограничения на t?

Подсказка 3

Давайте поймём, что для 1 ≤ x ≤ 6^90 решения есть? Кстати, сколько их при каждом каждом x? Что можно сказать про большие х?

Подсказка 4

Вопрос про количество решений при конкретном х был наводящим на конец решения. Исходя из системы неравенств это количество будет равно разности целой части логарифма и выражения 90 + x - 6⁹⁰. Осталось посчитать суммарное количество решений!

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x> 0$

Заметим, что $t 90 90+ 6− 6 ≤y ≤t$ . Заметим, что если $t 90 f(t)= 90+ 6− 6 − t$ , то $′ t f (t)= 6ln6− 1$ и при $t> 1$ функция $f(t)$ возрастает. $f(90)= 0$ . Значит, $t≤ 90$ и $90 x ≤6$ . Заметим, что при $90 x ∈[6,6 ]$ функция $f(t)≥0,$ и значит, как минимум одно решение с таким $x$ есть. При $x ∈[1,6]$ такое решение тоже есть и это $y = 0$ .

Тогда нас интересует такая сумма

690 690 ∑ [log6x]− (90+x − 690)+1= (∑ [log6x]− x)+ (690− 89)690 x=1 x=1

Ее можно разложить на части

690 ( 89 6y+1−1 ) 89 ∑ [log6x]=( ∑ ∑ ([log6x])) +90= ∑ y(6y+1− 6y)+ 90= x=1 y=0x=6y y=0

89⋅690− 89⋅689+ 88⋅689− 88⋅688+ ...+ ⋅61− ⋅60+ 90=

690− 1 = 89⋅690 − 689− 688− ...− 1+90 =89⋅690−--5--+ 90

6∑90 90 90 x= 6-(6--+1) x=1 2

Итак,

6∑90 90 90 90 ( [log6x]− x)+(690 − 89)690 = 89⋅690− 6-− 1-+90− 6-(6-+-1) +(690− 89)690 = x=1 5 2

690− 1 690(690− 1) = −--5---+90+ ----2----

Ответ:

$− 690−1+ 90 + 690(690−1) 5 2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#102368

Решите систему уравнений

{ 3x − y− 3xy = −1; 9x2y2+ 9x2+ y2− 6xy =13.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

В этой задаче стоит поработать с более простым уравнением — первым. Попробуйте его преобразовать!

Подсказка 2

Кажется, вы уже смогли разложить первое уравнение на скобки. Если нет, то обязательно разложите. Кажется, теперь задача свелась к подстановке известного значения во второе равенство и решение квадратного уравнения)

Показать ответ и решение

{ (1− y)(3x+1)= 0 9x2y2+ 9x2+y2− 6xy = 13

⌊ { 1− y = 0 || 9x2y2+9x2+ y2− 6xy = 13 ||⌈ { 3x+1 =0 9x2y2+9x2+ y2− 6xy = 13

Решим каждую систему совокупности:

{ { y =1 x =− 13 9x2 +9x2+ 1− 6x =13 или 9(− 13)2y2+ 9(− 13)2+ y2+ 6y13 = 13

( ( |{ [ y = 1 |{ [x =− 13 | x= − 23 или | y =3 ( x = 1 ( y =2

Ответ:

$(− 2;1),(1;1),(− 1;−3),(− 1;2) 3 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#79923

Найдите все пары положительных чисел $(x,y)$ , удовлетворяющих системе уравнений

({ √-- ∘ y- y − 2 xy − x + 2= 0 ( 3x2y2+ y4 =84

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какие-то неприятные выражения с x и y... Сделайте замену!

Подсказка 2

Пусть v = √(xy), u = √(y/x).

Показать ответ и решение

Обозначим $∘ y= u, √xy-= v x$ (при этом $u> 0, v > 0$ ). Тогда $uv = ∘-y⋅√xy = ∘y2-=|y|=y x$ , $v = √xy :∘ y= √x2-=|x|=x u x$ , так как по условию $x$ и $y$ положительны. Система принимает вид

{ uv− 2v− u+ 2= 0, { (v− 1)(u− 2)= 0 4 44 ⇔ 4 4 4 3v + u v =84 3v + u v = 84

Из первого уравнения следует, что $v = 1$ или $u= 2$ . Если $v = 1$ , то $3+u4 =84$ , откуда $u= 3$ ; тогда $x= v = 1,y =uv =3 u 3$ . Если $u =2$ , то $4 4 3v + 16v =84$ , откуда $4∘-84- v = 19$ ; тогда $v 4∘21 4∘ 84- x= u = 76,y = uv = 2⋅ 19$ .

Ответ:

$(1;3),(4∘-21;2⋅ 4∘ 84) 3 76 19$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#93103

Решите систему уравнений

{ x+ √x+-2y− 2y = 7 x2+x +2y− 4y2 =227 2

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Попробуйте преобразовать нижнее уравнение.

Подсказка 2

Воспользуйтесь формулой разности квадратов. Можно ли сделать замену?

Подсказка 3

Пусть a = x - 2y, b = √(x + 2y).

Показать ответ и решение

Пусть $x − 2y = a,√x+-2y = b≥0$ . Тогда

(| 7 |{ a+ b= 2 (1) ||( 2 2 27 b a+ b= 2 (2)

Из $(1)$ получаем, что $7 a= 2 − b.$ Подставим во $(2):$

2( 7 ) 2 27 b 2 − b + b = 2

Домножим обе части уравнения на $2$ и раскроем скобки:

−2b3+ 7b2+2b2 = 27

2b3 − 9b2− 27 =0

Подберём корни: $b= 3$ — один из корней. Тогда вынесем $(b− 3)$ за скобки:

2 (b− 3)(2b − 3b− 9)=0

Найдём корни второй скобки: $b1 = 3,b2 = − 3 2$ — не подходит, так как $b≥ 0.$ Значит, единственное возможное значение $b$ — это $3.$

Тогда $a = 7− b= 1. 2 2$ Получаем систему:

(| 1 { x − 2y = 2 (3) |( x +2y = 9 (4)

Отсюда получаем, что $x= (3)+(4)= 19,y = (4)−-(3)= 17. 2 4 4 8$

Таким образом, система уравнений имеет единственное решение — $(19 17) 4 ;8 .$

Ответ:

$(19;17) 4 8$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#31181

Решите систему

(| 1 + 1--= − 2-; |{ x1 y+1z- 125 ||( y1 +-x+1z = −31; z +x+y = −4.

Источники: Физтех-2015, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Домножим на знаменатели, учитывая все ограничения, и сложим три уравнения, упростив итоговое.

Подсказка 2

Мы смогли выразить три попарных произведения через x+y+z и какой-то коэффициент. Учитывая ограничения, мы на сумму переменных запросто можем поделить, а значит выразить две каких-то буковки через третью и найти её :)

Показать ответ и решение

Домножив каждое уравнение на произведение знаменателей, получим систему

( −7,5(x+ y+ z)= xy+ xz |{ |( −1,5(x+ y+ z)= xy+ yz −4(x +y+ z)= xz+yz

Сложив почленно все три уравнения и разделив полученное равенство пополам, получаем равенство

xy+ xz+ yz =− 6,5(x+ y+z)

Вычитая из него каждое из уравнений последней системы, находим, что

(|{ − 2,5(x+ y+z)= xy (x+ y+ z)=yz |( − 5(x+ y+ z)=xz

Разделив первое уравнение на второе (это возможно, так как из ОДЗ исходной системы следует, что $xyz ⁄=0$ ), получаем, что $x =− 2,5z$ , а разделив первое на третье - что $y = 0,5z$ . Тогда второе уравнение принимает вид $− z = 0,5z2$ , откуда $z =−2,x= 5,y = −1$ .

Ответ:

$(5;− 1;−2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#51858

Решите систему

{ x2 +y2 ≤ 2; 81x4− 18x2y2+ y4− 360x2− 40y2+ 400 =0.

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Второе равенство очень похоже на квадрат суммы трёх слагемых...быть может, попробуем собрать его? А если не получится, то, может, преобразуем в два квадрата?

Подсказка 2

Второе выражение можно преобразовать в равенство двух квадратов (один из которых — квадрат суммы трёх слагаемых). Отсюда несложно разобрать случаи знаков выражений ;)

Подсказка 3

После того как мы разберём два случая для знаков, то у нас получится два равенства, в которых мы можем выразить y через x. Почему бы не применить явно первое условие? :)

Показать ответ и решение

Второе уравнение очень напоминает квадрат тройной суммы, но, к сожалению, им не является, однако можно написать его в таком виде

2 2 2 2 (9x +y − 20)= (6xy)

Что эквивалентно

[ 9x2+ y2 − 20= 6xy [ (3x − y)2 = 20 [ 3x − y =±2√5 9x2+ y2 − 20= −6xy ⇐⇒ (3x +y)2 = 20 ⇐⇒ 3x +y =±2√5-

Остаётся разобрать 4 полученных случая. Например, если $3x− y =2√5$ , то из первого неравенства

x2+ (3x − 2√5)2 ≤ 2 ⇐⇒ 10x2− 12√5x+ 20 ≤2 ⇐ ⇒ (√10x− 3√2-)2 ≤0 ⇐⇒ x= √3- 5

И $1√- y = 5$ . Остальные случаи точно также дают ровно одно решение, откуда получаем ответ.

Ответ:

$(−√3,√1),(− 3√-,−√1),(√ 3-,− 1√-),(√3,√1) 5 5 5 5 5 5 5 5$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#31983

Решите систему уравнений

{ x2− 4xy+ 4y2 = 2x− 4y+3; √3x-− 6y = 2− xy.

Источники: Физтех-2014, 11.3 (см. olymp.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Вспомните формулы сокращённого умножения.

Подсказка 2

Сделайте замену t = x - 2y.

Показать ответ и решение

С учётом замены $t=x − 2y$ первое уравнение равносильно $t2 = 2t+3 ⇐⇒ t= −1$ или $t=3$ , однако для неотрицательности подкоренного во втором уравнении $t≥ 0$ , откуда подходит только $t= x− 2y = 3$ . С учётом первого уравнения системы второе уравнение превращается в $2− xy = 3⇐ ⇒ xy = −1$ . Мы преобразовали систему из условия к:

{ x= 2y+3; (2y+ 3)y +1= 0.

Тогда $y = −3±√9−-8,x = −3±1-+3 = 3±1- 4 2 2$ .

Ответ:

$(1;− 1),(2;−1∕2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#49486

Решите систему уравнений

(| 2x2 = yz− 2x; { 2y2 = −xz+ 2y; |( 2 2z = −xy+ 2z.

Подсказки к задаче

Подсказка 1!

1. заметим, что у нас уравнения симметричные. тогда вычтем, например, из второго третье и разложить на множители. из-за симметрии и слева, и справа будет общий множитель (y-z). тогда можно на него сократить и выразить из оставшегося х через y и z! // не забываем, что нельзя делить на ноль

Подсказка 2!

2. осталось аккуратно подставить, разобрать оба случая (деление на ноль и нет деления на ноль), не забываем сделать проверку, если у вас неравносильные переходы

Показать ответ и решение

Вычтем третье уравнение из второго

2 2 2(y − z)= x(y− z)+ 2(y − z) ⇐⇒ z− y = 0 или 2y+ 2z = x+2

В первом случае подставим $z = y$

{ 2x2 = z2 − 2x 2z2 =− zx+2z =⇒ z = 0 или 2z =− x+2

Для $y = z = 0$ имеем $2x2+ 2x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 1$ , иначе $x =2 − 2z$ и

8z2 − 16z+ 8= z2 − 4+ 4z ⇐⇒ 7z2 − 20z+ 12 =0 ⇐ ⇒ z = 6 или z =2 7

Получаем тройки $(2,6,6) 7 7 7$ и $(−2,2,2)$ ,

Во втором случае $2y+ 2z = x+ 2$ , получаем

(| yz = 2x2+2x (| 8yz =16x2+ 16x { 2y2+ 2z2 = −x(y+ z)+2y+ 2z =⇒ { 4y2 +4z2 = −x2− 2x+2x +4 |( 2y+ 2z = x+2 |( 4y2 +8yz+ 4z2 =x2+ 4x+ 4

Отсюда

16x2+16x− x2+ 4= x2 +4x+ 4 ⇐⇒ 14x2 +12x= 0 ⇐⇒ x= 0,− 6 7

В первом случае $yz = 0$ , не умаляя общности, $y = 0$ , тогда $2z2 = 2z$ , откуда добавляется решение $(0,0,1)$ , а также $(0,1,0)$ для $z =0$ в силу симметрии.Bо втором $y+ z = x+2 = 47,yz = 2x2+ 2x = − 1429$ . Отсюда легко найти оставшиеся две тройки $(− 67,− 27,67),(− 67,67,− 27)$ . Проверкой убеждаемся, что они подойдут.

Ответ:

$(0,0,0),(−1,0,0),(2,6,6),(−2,2,2),(− 6,− 2,6),(− 6,6,− 2),(0,1,0),(0,0,1) 7 7 7 7 7 7 7 7 7$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#79281

Решить систему уравнений

{ 3x+y+1+7 ⋅3y−2 = 8 ∘x-+-y2 =x +y

Источники: Вступительные в МФТИ - 2001 (см. olymp-online.mipt.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Какое уравнение выглядит проще и что с ним можно сделать, как преобразовать?

Подсказка 2

Конечно, второе уравнение выглядит приятнее, и мы можем просто возвести обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня. И оно сразу на скобочки раскладывается, как тогда можем продолжить решение?

Подсказка 3

Мы знаем, чему равен x, тогда можем просто подставить это в первое уравнение, чтобы найти y! Получаются показательные уравнения, которые уже легко решаются через замену

Показать ответ и решение

Рассмотрим второе уравнение системы. Потребуем, чтобы $x +y > 0$ и возведем его в квадрат, тогда получим:

2 2 2 x+ y = x + 2xy +y

Откуда получаем

x(x+ 2y − 1)= 0

Тогда либо $x = 0,$ либо $x =1 − 2y.$

Если $x= 0$ (подставим в первое уравнение системы):

3y+1+ 7⋅3y−2 = 8

( ) 3y 3+ 7 =8 9

( ) 3y = 36⇒ y =log3 36 17 17

Если же $x =1 − 2y :$

32−y+ 7⋅3y−2 = 8

-1--+7⋅3y−2 = 8 3y−2

Сделаем замену $t= 3y−2$ и получим уравнение:

7t2− 8t+1 =0

Корни которого будут равны $t1 =1$ и $t2 = 1. 7$

При $t1 = 1$ нужно решить уравнение $3y−2 = 1⇒ y =2$ . Получаем, что $x= 1− 2y =− 3.$ Вспоминаем, что $x +y >0,$ значит, это решение не подходит.

При $t2 = 1 7$ нужно решить $3y− 2 = 1, 7$ то есть $y = 2− log3 7,$ а $x= 2log37− 3.$ Проверим, что $x+ y > 0.$

x+ y = log37− 1> log33− 1= 0

Значит, это решение нам подходит.

Ответ:

$(0, log (36)) , (2log 7− 3, 2− log 7) 3 17 3 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#79128

Дана система неравенств

(| |x|+ |y|≤2 { x2+y2 ≥4(x+ y− 1), |( (y − 3x− 2)(3y− x+ 2)≤ 0.

Найти площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют:

(a) первому неравенству системы;

(b) первым двум неравенствам системы;

Источники: Вступительные в МФТИ - 1999 (см. olymp.mipt.ru))

Подсказки к задаче

Подсказка 1

С первым неравенством всё понятно, а чтобы построить график функции из второго неравенства, нужно выделить полные квадраты. Чтобы понять, какие точки удовлетворяют третьему неравенству, нужно рассмотреть части плоскости, на которые 2 прямые её делят, и понять, какие знаки в этих частях имеет каждая из линейных функций. И всё, картинка готова!

Подсказка 2

Не забываем, что площадь сегмента находится как разность площадей соответствующего сектора и треугольника, и на этом знаний нам достаточно. Осталось внимательно найти нужные площади и радоваться жизни!

Показать ответ и решение

(a) Первому неравенству удовлетворяют точки, лежащие в квадрате (рис.) с вершинами $A(−1; 0), B(0; 1), C(1; 0), D (0; − 1).$ Площадь этого квадрата $S1 = 8.$

$PIC$

(b) Второму неравенству, которое можно записать в виде

(x− 2)2+ (y − 2)2 ≥ 4,

удовлетворяют точки, лежащие вне круга радиуса $2$ с центром в точке $E (2; 2).$

Площадь заштрихованного на рис. сегмента равна $π− 2,$ а площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют первым двум неравенствам, равна

S2 = 8− (π− 2)= 10− π

(c) Прямые $y− 3x− 2 =0$ и $3y− x+ 2= 0$ пересекаются в точке $F(−1; 1)$ и проходят соответственно через точки $B$ и $C.$

Третьему неравенству удовлетворяют точки двух вертикальных углов с вершиной $F,$ один их этих углов — угол, образуемый лучами $FB$ и $FC$ и содержащий точку $O.$

Пусть $S3$ — площадь фигуры, координаты точек которой удовлетворяют всем трем неравенствам системы, $S4$ — сумма площадей треугольников $ABF$ и $CDF.$ Тогда

S4 = 1S1 =4, S3 =S2− S4 = 6− π 2

Ответ:

$(a) 8$

$(b) 10− π$

$(c) 6− π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#91930

Найдите площадь фигуры $Φ$ , которая задается на координатной плоскости системой неравенств

(| x2+y2 ≥ 10 { 3x2− 4x− 32≤ 0 |( (3x− 2y)(3y− x+10)≥ 0

Показать ответ и решение

Первое неравенство определяет множество точек, лежащих вне и на границе круга с центром в точке $O (0;0)$ и радиусом $√ -- 10$ .

Решив второе неравенство, получим $8 − 3 ≤x ≤4$ . Поэтому второе неравенство задает вертикальную полосу, лежащую между прямыми $8 x =− 3$ и $x= 4$ (включая и точки этих прямых).

Наконец, третьему неравенству удовлетворяют точки множества $M$ , которое состоит из двух острых вертикальных углов, образованных прямыми $3x − 2y = 0$ и $3y− x+ 10 =0$ (включая и точки этих прямых), так как в точке $(4;0)$ , принадлежащей множеству $M$ , левая часть неравенства положительна. Множество $M$ заштриховано на рисунке ниже, а указанные прямые обозначены $l1$ и $l2$ .

Прямая $l1$ пересекается с прямыми $8 x= −3$ и $x =4$ в точках $8 A(−3;−4)$ и $B (4;6)$ , а прямая $l2$ пересекается с теми же прямыми в точках $8 38 D (− 3;−9-)$ , $C (4;−2)$ . Далее, прямая $l2$ касается окружности $x2 +y2 = 10$ , так как система уравнений