Стереометрия на Высшей пробе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сфера касается всех рёбер пирамиды, в основании которой лежит выпуклый 2024-угольник. Покрасим в шахматном порядке углы между последовательными рёбрами при вершине вне многоугольника в синий и красный цвета. Докажите, что произведение синусов половинок синих углов равно произведению синусов половинок красных.
Источники:
Пусть в основании пирамиды лежит 2024-угольник 
, точка 
— вершина пирамиды. Пусть для всех 
, сфера
касается ребер 
в точке 
, а ребер 
в точке 
(
).
Рассмотрим треугольник 
. Сечением сферы в его плоскости является вписанная в него окружность, которая касается его сторон
в точках 
, 
, 
. Пусть
Из теоремы косинусов имеем
Как известно,
По условию достаточно показать, что произведения квадратов половинных синих и половинных красных углов равны. Но из равенства
выше каждое из таких произведений равно произведению отношений 
для всех 
, что доказывает исходное
равенство.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
