Тема Высшая проба

Алгебраические текстовые задачи на Высшей пробе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела высшая проба

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74782

Через $X (α)$ будем обозначать точку с координатами $(cosα,sinα )$ (все такие лежат на окружности радиуса 1 с центром в начале координат). Выбрали произвольный угол $ϕ$ и провели хорды $( 2 ) P (ϕ)P(2022ϕ),P(2022ϕ)P 2022ϕ ,...$ (на шаге номер $n$ проводится хорда $( n−1) n ) P 2022 ϕ P (2022 ϕ).$ Если хорда уже была проведена — она не проводится второй раз. Оказалось. что все проведенные хорды не пересекаются иначе чем по концам. Докажите, что всего проведено конечное число хорд.

Источники: Высшая проба - 2022, 11.5 (см. olymp.hse.ru)

Показать доказательство

Нам будет полезен аналог целой части $< x> ,$ выражающий для двух чисел с разностью $x$ расстояние по окружности между образами этих чисел, если намотать числовую прямую на единичную окружность: будем говорить, что $<x >= {x}$ при $1 {x}≤ 2$ и $< x>= 1 − {x}$ при $1 {x}> 2$ (здесь ${x}$ обозначает обычную целую часть числа $x$ ). Тогда, например, если длина дуги между точками $α$ и $β$ равна $ϕ,$ то длина дуги между $2022α$ и $2022β$ равна $< 2022ϕ> .$

Для краткости точку $n P(2022ϕ)$ будем обозначать просто $Pn.$ Заметим, что точки не повторяются: если бы оказалось, что $Pm =Pn$ при $m > n,$ то выполнялось бы $Pm+1 = Pn+1,$ $Pm+2 =Pn+2$ и т.д., тогда число хорд было бы конечным. Итак, каждая новая точка попадает строго между ранее поставленными.

Определим по индукции понятие активной дуги $n$ -го шага. Для натурального $n = 1$ будем ей считать ту из двух дуг $P0P1,$ на которую попадает $P2$ . Заметим, что тогда все точки $Pn$ лежат на активной дуге первого шага. В самом деле, пусть все точки от 2 -й до $m$ -й лежат на активной дуге 1 -го шага, а $m +1$ -я там не лежит. Тогда хорды $P0P1$ и $PmPm+1$ пересекаются.

Теперь предположим, что мы уже индукцией по $n$ доказали, что все точки $Pm$ попадают на активную дугу $n$ -го шага при $m >n.$ Определим активную дугу $n+ 1$ -го шага. $Pn+1$ лежит на $n$ -й активной дуге, значит делит ее на две части. На одну из этих частей попадает точка $Pn+2$ — эту часть и будем называть активной дугой $n+ 1$ -го шага. Тогда чтобы индукция работала нам осталось доказать, что все точки $Pm$ лежат на этой дуге при $m ≥n +2.$ Понятно, что концы дуги — это какие-то из предыдущих точек $P,$ значит есть фрагмент ломанной, соединяющий их. Значит если $Pm$ еще лежит на дуге, а $Pm+1$ — уже нет, и $Pm+2$ не совпадает ни с одной из предыдущих точек $P$ (что упоминалось ранее) — значит, $PmPm+1$ пересекается с указанным фрагментом ломанной.

Как легко видеть, каждая следующая активная дуга является подмножеством предыдущей. Более того, обозначим через $ϕn,$ длину активной дуги, а через $ψn$ — длину дуги $Pn−1Pn$ (той из двух, которая лежит внутри активной). Тогда или

ϕn = ψn или ϕn =ϕn−1− ψn

(1)

Поскольку ${ϕ }∞ n n=1$ — невозрастающая последовательность положительных чисел, она имеет предел. Докажем, что этого не может быть.

Если предел равен нулю, то нулю же равен и предел последовательности $∞ {ψn}n=1,$ поскольку $ψn ≤ϕn−1.$ Но заметим, что $ψn+1 =<2022ψn > .$ То есть если $-1- ψn ≤ 4044,$ то $ψn+1 =2022ψn.$ Кроме того, $ψn$ всегда не равно нулю (иначе две точки совпали). Значит для $-1- 𝜀= 4044$ в последовательности встречаются члены большие $𝜀$ со сколь угодно большими номерами — ноль не является пределом.

Пусть предел равен положительному числу $a.$ Тогда по $(1)$ последовательность $ψn$ разбилась на две подпоследовательности, предел одной равен нулю, предел другой — $a$ , причем по доказанному выше вторая содержит бесконечное число членов. Заметим, что $a$ — неподвижная точка преобразования $ψ →< 2022ψn >.$ Тогда аналогично $|ψn+1− a|=2022|ψn − a|$ если $1 |ψn− a|≤ 4044.$

Выберем $𝜀< 20a22,$ будем говорить о числах 0 и $a$ как о двух пределах. Начиная с какого-то номера все $ψn$ должны попадать в $𝜀$ -окрестность одного из двух пределов. Но тогда при переходе от $ψn$ к $ψn+1$ расстояние до предела будет расти в 2022 раза - рано или поздно $ψn$ выскочит из $𝜀$ -окрестности текущего предела и еще не дотянется до $𝜀$ -окрестности другого предела.