Планиметрия на устном туре Турнира Городов

Первое решение. Известно, что точка — пересечение медианы с дугой Пусть — середина этой дуги, а — середина Точки и симметричные и относительно лежат на описанной окружности поэтому

откуда заключаем, что принадлежит окружности

Далее, так как луч пересекает окружность в точке диаметрально противоположной точке следовательно, Отсюда — средняя линия треугольника то есть — середина отрезка Во вписанной трапеции общий серединный перпендикуляр к и проходит через что и даёт требуемое.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение. Пусть — точка на прямой такая, что Докажем, что точки лежат на одной окружности.

Рассмотрим композицию инверсии с центром и симметрии относительно которая взаимно обменяет вершины и Эта же композиция меняет местами прямую и описанную окружность треугольника, поэтому переходит в середину дуги а — в основание внешней биссектрисы угла точка Шалтая переходит в точку пересечения касательных к окружности проведённых в и

Прямая при этом перейдёт в касательную к окружности в точке а окружность с центром проходящая через перейдёт в серединный перпендикуляр к (поскольку образы точек и инверсны относительно этой окружности). Следовательно, переходит в точку пересечения касательных в и

Эта точка, образ точки и точка лежат на одной прямой — поляре точки относительно окружности что завершает доказательство.