Планиметрия на устном туре Турнира Городов
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан неравнобедренный треугольник 
Выберем произвольную окружность 
касающуюся описанной окружности
треугольника 
внутренним образом в точке 
и не пересекающую прямую 
Отметим на 
точки 
и 
так,
чтобы прямые 
и 
касались 
а отрезки 
и 
пересекались внутри треугольника 
Докажите,
что все полученные таким образом прямые 
проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора
окружности 
Источники:
Пусть 
— точка пересечения касательных 
и 
Докажем, что все прямые 
проходят через точку 
— основание внешней
биссектрисы угла 
треугольника 
(точка 
существует, так как треугольник неравнобедренный).
По теореме, обратной к теореме Менелая, для треугольника 
достаточно проверить, что
Поскольку 
и 
равны как касательные, достаточно проверить равенство
Но по свойству внешней биссектрисы
Так что проверяем равенство
Пусть 
и 
пересекают окружность 
в точках 
и 
соответственно. Запишем степени точек 
и 
относительно
окружности 
Осталось проверить равенство
Это равенство следует из того, что 
касается описанной окружности треугольника 
в точке 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
